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1. (2024·南通期中)如图所示的是“顺风车”与“快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象,有下列说法:①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元;②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分,每公里计费1.2元;③点A的坐标是(6.5,10.4);④若甲、乙两地之间的路程是15公里,则“顺风车”要比“快车”少用3.4元.其中正确的个数为()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案
D 解析:①根据“快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象可知，“快车”行驶里程不超过5公里计费8元,故①正确;
②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分,每公里计费为(14.6−5)÷(10−2)=1.2(元),故②正确;
③当x≥5时,设“快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数表达式为y₁=k₁x+b₁(k₁≠0),将(5,8),(10,16)代入函数表达式,得$\begin{cases}8 = 5k₁ + b₁\\16 = 10k₁ + b₁\end{cases}$，解得$\begin{cases}k₁ = 1.6\\b₁ = 0\end{cases}$
∴当x≥5时,“快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数表达式为y₁=1.6x;
当x≥2时,设“顺风车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数表达式为y₂=k₂x+b₂(k₂≠0),将(2,5),(10,14.6)代入函数表达式,得$\begin{cases}5 = 2k₂ + b₂\\14.6 = 10k₂ + b₂\end{cases}$，解得$\begin{cases}k₂ = 1.2\\b₂ = 2.6\end{cases}$，∴当x≥2时，“顺风车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数表达式为y₂=1.2x + 2.6。联立y₁,y₂得$\begin{cases}y₁ = 1.6x\\y₂ = 1.2x + 2.6\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 6.5\\y = 10.4\end{cases}$，∴点A的坐标为(6.5,10.4)，故③正确;
④将x = 15分别代入y₁,y₂，y₁=1.6×15 = 24，y₂=1.2×15 + 2.6 = 20.6，
∴y₁ - y₂=24 - 20.6 = 3.4，即若甲、乙两地之间的路程是15公里,则“顺风车”要比“快车”少用3.4元,故④正确。
综上可知，正确结论的个数为4.故选D。
②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分,每公里计费为(14.6−5)÷(10−2)=1.2(元),故②正确;
③当x≥5时,设“快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数表达式为y₁=k₁x+b₁(k₁≠0),将(5,8),(10,16)代入函数表达式,得$\begin{cases}8 = 5k₁ + b₁\\16 = 10k₁ + b₁\end{cases}$，解得$\begin{cases}k₁ = 1.6\\b₁ = 0\end{cases}$
∴当x≥5时,“快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数表达式为y₁=1.6x;
当x≥2时,设“顺风车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数表达式为y₂=k₂x+b₂(k₂≠0),将(2,5),(10,14.6)代入函数表达式,得$\begin{cases}5 = 2k₂ + b₂\\14.6 = 10k₂ + b₂\end{cases}$，解得$\begin{cases}k₂ = 1.2\\b₂ = 2.6\end{cases}$，∴当x≥2时，“顺风车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数表达式为y₂=1.2x + 2.6。联立y₁,y₂得$\begin{cases}y₁ = 1.6x\\y₂ = 1.2x + 2.6\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 6.5\\y = 10.4\end{cases}$，∴点A的坐标为(6.5,10.4)，故③正确;
④将x = 15分别代入y₁,y₂，y₁=1.6×15 = 24，y₂=1.2×15 + 2.6 = 20.6，
∴y₁ - y₂=24 - 20.6 = 3.4，即若甲、乙两地之间的路程是15公里,则“顺风车”要比“快车”少用3.4元,故④正确。
综上可知，正确结论的个数为4.故选D。
2. (2025·连云港期末)已知甲、乙两地相距480 km,一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地,一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地,两车同时出发,货车途经服务区时,停下来装完货物后,发现此时与出租车相距120 km,货车改变速度继续出发$\frac {2}{3}$h后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早15分钟到达甲地.如图是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象,则下列说法错误的是()
A. $a= 120$
B. 点F的坐标为$(8,0)$
C. 出租车从乙地返回甲地的速度为128 km/h
D. 出租车返回的过程中,货车出发$\frac {125}{17}$h或$\frac {123}{15}$h都与出租车相距12 km
A. $a= 120$
B. 点F的坐标为$(8,0)$
C. 出租车从乙地返回甲地的速度为128 km/h
D. 出租车返回的过程中,货车出发$\frac {125}{17}$h或$\frac {123}{15}$h都与出租车相距12 km
答案
D 解析:结合题中图象，可得C(4,480)，设直线OC的表达式为y = kx，将C(4,480)代入表达式，可得480 = 4k，解得k = 120，∴直线OC的表达式为y = 120x，把(1,a)代入y = 120x，得a = 120，故A选项正确;
根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120 + 120 = 240(km)，∴出租车距离甲地为480 - 240 = 240(km)，把y = 240代入y = 120x，可得240 = 120x，解得x = 2，∴货车装完货时，x = 2，可得B(2,120)，根据货车继续出发$\frac{2}{3}$h后与出租车相遇，可得$\frac{2}{3}$×(出租车的速度 + 货车的速度)=120，根据直线OC的表达式为y = 120x，可得出租车的速度为120km/h，∴相遇时，货车的速度为120÷$\frac{2}{3}$ - 120 = 60(km/h)，故可设直线BG的表达式为y = 60x + b，将B(2,120)代入y = 60x + b，可得120 = 120 + b，解得b = 0，∴直线BG的表达式为y = 60x，把y = 480代入y = 60x，可得480 = 60x，解得x = 8，∴G(8,480)，∴F(8,0)，故B选项正确;
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得EF = $\frac{15}{60}$ = $\frac{1}{4}$，∴E($\frac{31}{4}$,0)，出租车返回时的速度为480÷($\frac{31}{4}$ - 4)=128(km/h)，故C选项正确;
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60tkm，出租车距离乙地为128(t - 4)=(128t - 512)km，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，可得60t₁ - (128t₁ - 512)=12，解得t₁ = $\frac{125}{17}$;②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，可得(128t₂ - 512)-60t₂ = 12，解得t₂ = $\frac{131}{17}$，故在出租车返回的行驶过程中，货车出发$\frac{125}{17}$h或$\frac{131}{17}$h与出租车相距12km.故D选项错误.故选D.
根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120 + 120 = 240(km)，∴出租车距离甲地为480 - 240 = 240(km)，把y = 240代入y = 120x，可得240 = 120x，解得x = 2，∴货车装完货时，x = 2，可得B(2,120)，根据货车继续出发$\frac{2}{3}$h后与出租车相遇，可得$\frac{2}{3}$×(出租车的速度 + 货车的速度)=120，根据直线OC的表达式为y = 120x，可得出租车的速度为120km/h，∴相遇时，货车的速度为120÷$\frac{2}{3}$ - 120 = 60(km/h)，故可设直线BG的表达式为y = 60x + b，将B(2,120)代入y = 60x + b，可得120 = 120 + b，解得b = 0，∴直线BG的表达式为y = 60x，把y = 480代入y = 60x，可得480 = 60x，解得x = 8，∴G(8,480)，∴F(8,0)，故B选项正确;
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得EF = $\frac{15}{60}$ = $\frac{1}{4}$，∴E($\frac{31}{4}$,0)，出租车返回时的速度为480÷($\frac{31}{4}$ - 4)=128(km/h)，故C选项正确;
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60tkm，出租车距离乙地为128(t - 4)=(128t - 512)km，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，可得60t₁ - (128t₁ - 512)=12，解得t₁ = $\frac{125}{17}$;②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，可得(128t₂ - 512)-60t₂ = 12，解得t₂ = $\frac{131}{17}$，故在出租车返回的行驶过程中，货车出发$\frac{125}{17}$h或$\frac{131}{17}$h与出租车相距12km.故D选项错误.故选D.
3. (2025·苏州期末)如图①,底面积为$36cm^{2}$的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”,现向容器内均匀注水,注满为止,在注水过程中,水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示,若“几何体”下方圆柱体的底面积为$12cm^{2}$,则“几何体”上方圆柱体的底面积为______$cm^{2}$.
答案
24 解析:根据函数图象得到长方体容器的高为14cm,两个实心圆柱体组成的“几何体”的高度为10cm,水从刚满过由两个实心圆柱体组成的“几何体”到注满用了42 - 24 = 18(s),这段高度为14 - 10 = 4(cm),设匀速注水的水流速度为xcm³/s,则18·x = 36×4,解得x = 8,即匀速注水的水流速度为8cm³/s.设“几何体”下方圆柱体的高为a cm,则a·(36 - 12)=18×8,解得a = 6,所以“几何体”上方圆柱体的高为10 - 6 = 4(cm),设“几何体”上方圆柱体的底面积为Scm²,根据题意得4·(36 - S)=8×(24 - 18),解得S = 24,即“几何体”上方圆柱体的底面积为24cm².
4. (2025·扬州期末)公路旁依次有A,B,C三个村庄,小明和小红骑自行车分别从A村,B村同时出发匀速前往C村(到了C村不继续往前骑行,也不返回),如图所示,$l_{1},l_{2}$分别表示小明和小红与B村的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系,下列结论:①A,B两村相距12 km;②小明每小时比小红多骑行9 km;③出发1.5 h后两人相遇;④图中$a= 1.65$.其中正确的是______.(填序号)
答案
①③ 解析:由图象可得,A,B两村相距12km,故①正确;
小明的骑行速度为12÷0.6 = 20(km/h),小红的骑行速度为33÷2.75 = 12(km/h),小明每小时比小红多骑行20 - 12 = 8(km),故②错误;
设二人出发m h后相遇,由题意可得(20 - 12)m = 12,解得m = 1.5,又出发1.5h后两人相遇,故③正确;
小明到达C村所用时间为(12 + 33)÷20 = 2.25(h),∴a = 2.25,故④错误.
综上所述,正确的有①③.
小明的骑行速度为12÷0.6 = 20(km/h),小红的骑行速度为33÷2.75 = 12(km/h),小明每小时比小红多骑行20 - 12 = 8(km),故②错误;
设二人出发m h后相遇,由题意可得(20 - 12)m = 12,解得m = 1.5,又出发1.5h后两人相遇,故③正确;
小明到达C村所用时间为(12 + 33)÷20 = 2.25(h),∴a = 2.25,故④错误.
综上所述,正确的有①③.
