5. 已知甲、乙两种商品的进价之和为 100 元，为了促销而打折销售. 若甲商品打八折，乙商品打六折，则可赚 50 元；若甲商品打六折，乙商品打八折，则可赚 30 元. 甲、乙两种商品的定价分别为()

A.50 元，150 元
B.50 元，100 元
C.100 元，50 元
D.150 元，50 元

5. D

设甲商品的定价为$x$元，乙商品的定价为$y$元。
根据题意，甲、乙两种商品的进价之和为100元，可列出方程组：
$\begin{cases}0.8x + 0.6y - 100 = 50 \\0.6x + 0.8y - 100 = 30\end{cases}$
化简第一个方程：$0.8x + 0.6y = 150$，两边同时乘以5得：$4x + 3y = 750$ ①
化简第二个方程：$0.6x + 0.8y = 130$，两边同时乘以5得：$3x + 4y = 650$ ②
①×4 - ②×3得：$16x + 12y - 9x - 12y = 3000 - 1950$，即$7x = 1050$，解得$x = 150$
将$x = 150$代入①得：$4×150 + 3y = 750$，$600 + 3y = 750$，$3y = 150$，解得$y = 50$
甲、乙两种商品的定价分别为150元，50元。
D

6. 为表彰 8 名优秀学生，某班决定购买 A，B 两种奖品共 8 件. 若购买 A 奖品 5 件，B 奖品 3 件，则还差 30 元；若购买 A 奖品 3 件，B 奖品 5 件，则剩余 30 元. 若该班实际购买了 A 奖品 1 件，B 奖品 7 件，则剩余元.

6. 90

设A奖品单价为$x$元，B奖品单价为$y$元，该班总钱数为$m$元。
根据题意，得：
$\begin{cases}5x + 3y = m + 30 \\3x + 5y = m - 30\end{cases}$
两式相减，得：$2x - 2y = 60$，即$x - y = 30$，$x = y + 30$。
将$x = y + 30$代入$3x + 5y = m - 30$，得：$3(y + 30) + 5y = m - 30$，$8y + 90 = m - 30$，$m = 8y + 120$。
购买1件A，7件B的费用为：$x + 7y = (y + 30) + 7y = 8y + 30$。
剩余钱数为：$m - (8y + 30) = (8y + 120) - (8y + 30) = 90$。
90

7. (2025·建邺区期末)邮购每册 1.8 元的某种杂志，邮寄费和优惠率如下表：

两次邮购这种杂志共 200 册，总计金额 342 元. 两次各邮购杂志多少册？

7. 解:设两次各邮购杂志 $x,y$ 册 $(x≤ y)$.
因为 $1.8×200×(1 - 10\%) = 324$ (元),$324＜342$,
所以 $x＜100$,$y＞100$,
根据题意,得
$\begin{cases}x + y = 200,\\1.8×(1 + 10\%)x + 1.8×(1 - 10\%)y = 342,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x = 50,\\y = 150.\end{cases}$
答:两次各邮购杂志 50 册,150 册.

8. (2025·江西)某文物考古研究院用 $ 1:1 $ 复原的青铜蒸馏器(如图)进行了蒸馏酒实验. 用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率$(\mathrm{出酒率}=\dfrac{\mathrm{出酒量}}{\mathrm{糟醅量}}× 100\%)$如表：

如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共 16 千克；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共 36 千克，且所用的粮食糟醅量是第一次的 2 倍，芋头糟醅量是第一次的 3 倍.
(1)求第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅？
(2)受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的 $ 80\% $. 若粮食糟醅中大米占比约为 $\dfrac{1}{4}$，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少千克大米？

8. 解:(1)设第一次实验用了 x 公斤粮食糟醅,y 公斤芋头糟醅,
根据题意,得 $\begin{cases}30\%x + 20\%y = 16,\\30\%×2x + 20\%×3y = 36,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x = 40,\\y = 20.\end{cases}$
答:第一次实验用了 40 公斤粮食糟醅,20 公斤芋头糟醅.