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1. 若函数 $ y = ( 2 k - 1 ) x ^ { 2 } + x + k ^ { 2 } - 2 $ 是二次函数,则 $ k $ 的取值范围是____.
答案
$ k \neq \frac{1}{2} $
解析
要使函数 $ y = (2k - 1)x^2 + x + k^2 - 2 $ 是二次函数，二次项系数不能为零，即 $ 2k - 1 \neq 0 $，解得 $ k \neq \frac{1}{2} $。
$ k \neq \frac{1}{2} $
$ k \neq \frac{1}{2} $
2. 已知二次函数：(1) $ y _ { 1 } = - 3 x ^ { 2 } $；(2) $ y _ { 2 } = - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } $；(3) $ y _ { 3 } = \frac { 3 } { 2 } x ^ { 2 } $,它们的图象开口由小到大的顺序是____.
答案
(1)
(3)
(2)
3. 由抛物线 $ y = 2 x ^ { 2 } $ 向____平移____个单位长度可得到抛物线 $ y = 2 ( x + 1 ) ^ { 2 } $；函数 $ y = x ^ { 2 } + 4 x - 5 $ 的图象可由函数 $ y = x ^ { 2 } $ 的图象向____平移____个单位长度,再向____平移____个单位长度得到.
答案
左;1;左;2;下;9
4. 抛物线 $ y = x ^ { 2 } - 3 x + 2 $ 的开口____,顶点坐标为____,对称轴为直线____.
答案
向上;$ \left( \frac{3}{2}, -\frac{1}{4} \right) $;$ x = \frac{3}{2} $
5. 若方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $ 的两根为 $ x _ { 1 } = - 3 $, $ x _ { 2 } = 1 $,则抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 的对称轴是直线____.
答案
$ x = -1 $
6. 已知点 $ A ( 4, y _ { 1 } ) $, $ B ( \sqrt { 2 }, y _ { 2 } ) $, $ C ( - 2, y _ { 3 } ) $ 都在二次函数 $ y = ( x - 2 ) ^ { 2 } - 1 $ 的图象上,则 $ y _ { 1 } $, $ y _ { 2 } $, $ y _ { 3 } $ 的大小关系是____.
答案
$ y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3} $
解析
当$x=4$时，$y_{1}=(4 - 2)^{2}-1=2^{2}-1=4 - 1=3$；
当$x=\sqrt{2}$时，$y_{2}=(\sqrt{2}-2)^{2}-1=(\sqrt{2})^{2}-4\sqrt{2}+4 - 1=2 - 4\sqrt{2}+4 - 1=5 - 4\sqrt{2}\approx5 - 5.656=-0.656$；
当$x=-2$时，$y_{3}=(-2 - 2)^{2}-1=(-4)^{2}-1=16 - 1=15$；
因为$-0.656＜3＜15$，所以$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$。
当$x=\sqrt{2}$时，$y_{2}=(\sqrt{2}-2)^{2}-1=(\sqrt{2})^{2}-4\sqrt{2}+4 - 1=2 - 4\sqrt{2}+4 - 1=5 - 4\sqrt{2}\approx5 - 5.656=-0.656$；
当$x=-2$时，$y_{3}=(-2 - 2)^{2}-1=(-4)^{2}-1=16 - 1=15$；
因为$-0.656＜3＜15$，所以$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$。
7. 已知抛物线的顶点坐标为 $ ( - 3, 2 ) $,且过点 $ ( - 1, - 2 ) $,则二次函数的解析式为____.
答案
$ y = -x^{2} - 6x - 7 $
解析
设抛物线的解析式为$y = a(x + 3)^2 + 2$。
将点$(-1, -2)$代入解析式得：$-2 = a(-1 + 3)^2 + 2$
即$-2 = a(2)^2 + 2$
$-2 = 4a + 2$
$4a = -4$
$a = -1$
所以抛物线的解析式为$y = - (x + 3)^2 + 2$
展开得$y = - (x^2 + 6x + 9) + 2 = -x^2 - 6x - 9 + 2 = -x^2 - 6x - 7$
$y = -x^{2} - 6x - 7$
将点$(-1, -2)$代入解析式得：$-2 = a(-1 + 3)^2 + 2$
即$-2 = a(2)^2 + 2$
$-2 = 4a + 2$
$4a = -4$
$a = -1$
所以抛物线的解析式为$y = - (x + 3)^2 + 2$
展开得$y = - (x^2 + 6x + 9) + 2 = -x^2 - 6x - 9 + 2 = -x^2 - 6x - 7$
$y = -x^{2} - 6x - 7$
8. 以 $ x $ 为自变量的二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 ( b - 2 ) x + b ^ { 2 } - 1 $ 的图象不经过第三象限,则 $ b $ 的取值范围是____.
答案
$ b \geqslant \frac{5}{4} $
解析
二次函数$y=x^{2}-2(b-2)x+b^{2}-1$，其中$a=1＞0$，抛物线开口向上。
对称轴为$x=-\frac{-2(b-2)}{2}=b-2$。
当$x=0$时，$y=b^{2}-1$，即抛物线与$y$轴交点为$(0,b^{2}-1)$。
因为抛物线不经过第三象限，所以需满足：
1. 抛物线与$y$轴交点在非负半轴，即$b^{2}-1\geq0$，解得$b\geq1$或$b\leq-1$；
2. 对称轴在$y$轴右侧或为$y$轴，即$b-2\geq0$，解得$b\geq2$；
3. 判别式$\Delta\leq0$或顶点在第一象限。
$\Delta =[-2(b-2)]^{2}-4×1×(b^{2}-1)=4(b^{2}-4b + 4)-4b^{2}+4=4b^{2}-16b + 16 - 4b^{2}+4=-16b + 20$。
当$\Delta\leq0$时，$-16b + 20\leq0$，解得$b\geq\frac{5}{4}$。
综合上述条件，当$b\geq2$时，抛物线与$y$轴交点在非负半轴，对称轴在$y$轴右侧，且开口向上，不经过第三象限；当$\frac{5}{4}\leq b＜2$时，判别式$\Delta\leq0$，抛物线与$x$轴无交点或只有一个交点，且与$y$轴交点非负，开口向上，也不经过第三象限。
综上，$b\geq\frac{5}{4}$。
$b \geqslant \frac{5}{4}$
对称轴为$x=-\frac{-2(b-2)}{2}=b-2$。
当$x=0$时，$y=b^{2}-1$，即抛物线与$y$轴交点为$(0,b^{2}-1)$。
因为抛物线不经过第三象限，所以需满足：
1. 抛物线与$y$轴交点在非负半轴，即$b^{2}-1\geq0$，解得$b\geq1$或$b\leq-1$；
2. 对称轴在$y$轴右侧或为$y$轴，即$b-2\geq0$，解得$b\geq2$；
3. 判别式$\Delta\leq0$或顶点在第一象限。
$\Delta =[-2(b-2)]^{2}-4×1×(b^{2}-1)=4(b^{2}-4b + 4)-4b^{2}+4=4b^{2}-16b + 16 - 4b^{2}+4=-16b + 20$。
当$\Delta\leq0$时，$-16b + 20\leq0$，解得$b\geq\frac{5}{4}$。
综合上述条件，当$b\geq2$时，抛物线与$y$轴交点在非负半轴，对称轴在$y$轴右侧，且开口向上，不经过第三象限；当$\frac{5}{4}\leq b＜2$时，判别式$\Delta\leq0$，抛物线与$x$轴无交点或只有一个交点，且与$y$轴交点非负，开口向上，也不经过第三象限。
综上，$b\geq\frac{5}{4}$。
$b \geqslant \frac{5}{4}$
9. 与抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 $ 关于 $ x $ 轴对称的抛物线的解析式为____；关于 $ y $ 轴对称的抛物线的解析式为____.
答案
$ y = x^{2} - 2x - 3 $;$ y = -x^{2} - 2x + 3 $
解析
关于$x$轴对称的抛物线解析式为$y = x^{2} - 2x - 3$；关于$y$轴对称的抛物线解析式为$y = -x^{2} - 2x + 3$.
10. 二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 x - 1 $ 的图象在 $ x $ 轴上截得的线段长为____.
答案
$ 2\sqrt{2} $
解析
令$y=0$，则$x^{2}-2x - 1=0$。
$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(-1)=4 + 4=8$。
$x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$。
设方程两根为$x_{1}$，$x_{2}$，则$x_{1}=1+\sqrt{2}$，$x_{2}=1-\sqrt{2}$。
$|x_{1}-x_{2}|=|(1+\sqrt{2})-(1-\sqrt{2})|=|2\sqrt{2}|=2\sqrt{2}$。
$2\sqrt{2}$
$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(-1)=4 + 4=8$。
$x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$。
设方程两根为$x_{1}$，$x_{2}$，则$x_{1}=1+\sqrt{2}$，$x_{2}=1-\sqrt{2}$。
$|x_{1}-x_{2}|=|(1+\sqrt{2})-(1-\sqrt{2})|=|2\sqrt{2}|=2\sqrt{2}$。
$2\sqrt{2}$
11. 若二次函数 $ y = - ( x - a ) ^ { 2 } + 1 $,当 $ x \geq 1 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则 $ a $ 的取值范围是____.
答案
$ a \leqslant 1 $
解析
二次函数$y=-(x-a)^2 + 1$的对称轴为直线$x=a$，开口向下。当$x \geq a$时，$y$随$x$的增大而减小。已知当$x \geq 1$时，$y$随$x$的增大而减小，所以$a \leq 1$。
$a \leqslant 1$
$a \leqslant 1$
12. 已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $( $ a \neq 0 $)的图象如图所示,则下列结论中正确的是____.
(1) $ a ＞ 0 $；
(2) $ c ＜ 0 $；
(3) $ 3 $ 是方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $( $ a \neq 0 $)的一个根；
(4)当 $ x ＜ 1 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.
(1) $ a ＞ 0 $；
(2) $ c ＜ 0 $；
(3) $ 3 $ 是方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $( $ a \neq 0 $)的一个根；
(4)当 $ x ＜ 1 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.
答案
(3)
解析
解：
(1)
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$，结论
(1)错误；
(2)
∵抛物线与$y$轴交于正半轴，
∴$c＞0$，结论
(2)错误；
(3)
∵抛物线对称轴为$x=1$，且过点$(-1,0)$，
∴抛物线与$x$轴另一交点为$(3,0)$，
∴$3$是方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个根，结论
(3)正确；
(4)
∵抛物线对称轴为$x=1$，开口向下，
∴当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，结论
(4)错误。
正确的是
(3)。
(1)
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$，结论
(1)错误；
(2)
∵抛物线与$y$轴交于正半轴，
∴$c＞0$，结论
(2)错误；
(3)
∵抛物线对称轴为$x=1$，且过点$(-1,0)$，
∴抛物线与$x$轴另一交点为$(3,0)$，
∴$3$是方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个根，结论
(3)正确；
(4)
∵抛物线对称轴为$x=1$，开口向下，
∴当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，结论
(4)错误。
正确的是
(3)。
1. 求抛物线 $ y = 2 x ^ { 2 } + 4 x + 1 $ 的对称轴和最大值(或最小值).
答案
解法一: $ \because y = 2x^{2} + 4x + 1 = 2\left( x^{2} + 2x + \frac{1}{2} \right) = 2\left( x^{2} + 2x + 1 - 1 + \frac{1}{2} \right) = 2(x + 1)^{2} - 1 $. $ \therefore $ 对称轴为直线 $ x = -1 $. $ \because a = 2 ＞ 0 $, $ \therefore y $ 有最小值,为 -1. 解法二: $ \because -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 × 2} = -1 $, $ \frac{4ac - b^{2}}{4a} = \frac{4 × 2 × 1 - 16}{4 × 2} = -1 $. $ \therefore $ 对称轴为直线 $ x = -1 $. $ \because a = 2 ＞ 0 $, $ \therefore y $ 有最小值,为 -1.
