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一、选择题
1. 下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是(
A.$(-a+b)(a-b)$
B.$(x+2)(2+x)$
C.$(\dfrac{1}{3}x+y)(y-\dfrac{1}{3}x)$
D.$(x-2)(x+1)$
1. 下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是(
C
).A.$(-a+b)(a-b)$
B.$(x+2)(2+x)$
C.$(\dfrac{1}{3}x+y)(y-\dfrac{1}{3}x)$
D.$(x-2)(x+1)$
答案
1. C
2. 下列计算中,错误的有(
① $(3a+4)(3a-4)=9a^{2}-4$; ② $(2a^{2}-b)(2a^{2}+b)=4a^{2}-b^{2}$; ③ $(3-x)(x+3)=x^{2}-9$; ④ $(-x+y)(x+y)=-x^{2}-y^{2}$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
).① $(3a+4)(3a-4)=9a^{2}-4$; ② $(2a^{2}-b)(2a^{2}+b)=4a^{2}-b^{2}$; ③ $(3-x)(x+3)=x^{2}-9$; ④ $(-x+y)(x+y)=-x^{2}-y^{2}$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. D
解析
①$(3a+4)(3a-4)=(3a)^{2}-4^{2}=9a^{2}-16≠9a^{2}-4$；
②$(2a^{2}-b)(2a^{2}+b)=(2a^{2})^{2}-b^{2}=4a^{4}-b^{2}≠4a^{2}-b^{2}$；
③$(3-x)(x+3)=3^{2}-x^{2}=9-x^{2}≠ x^{2}-9$；
④$(-x+y)(x+y)=y^{2}-x^{2}≠ -x^{2}-y^{2}$。
错误的有4个。
D
②$(2a^{2}-b)(2a^{2}+b)=(2a^{2})^{2}-b^{2}=4a^{4}-b^{2}≠4a^{2}-b^{2}$；
③$(3-x)(x+3)=3^{2}-x^{2}=9-x^{2}≠ x^{2}-9$；
④$(-x+y)(x+y)=y^{2}-x^{2}≠ -x^{2}-y^{2}$。
错误的有4个。
D
3. 边长为$m$的正方形边长减少$n(m＞n)$所得较小正方形的面积比原正方形面积少(
A.$n^{2}$
B.$2mn$
C.$2mn-n^{2}$
D.$2mn+n^{2}$
C
).A.$n^{2}$
B.$2mn$
C.$2mn-n^{2}$
D.$2mn+n^{2}$
答案
3. C
解析
原正方形面积为$m^2$，边长减少$n$后，较小正方形边长为$m - n$，面积为$(m - n)^2$。面积差为$m^2 - (m - n)^2 = m^2 - (m^2 - 2mn + n^2) = 2mn - n^2$。
C
C
二、填空题
4. (1) $(2x+\_\_\_\_\_\_)(\_\_\_\_\_\_-y)=4x^{2}-y^{2}$; (2)$(-a-b)(\_\_\_\_\_\_)=a^{2}-b^{2}$.
4. (1) $(2x+\_\_\_\_\_\_)(\_\_\_\_\_\_-y)=4x^{2}-y^{2}$; (2)$(-a-b)(\_\_\_\_\_\_)=a^{2}-b^{2}$.
答案
4. (1) y 2x (2) -a + b
5. 已知$x+2y=13$，$x^{2}-4y^{2}=39$,则多项式$x-2y$的值为
3
.答案
5. 3
解析
因为$x^{2}-4y^{2}=39$，而$x^{2}-4y^{2}=(x + 2y)(x - 2y)$，已知$x + 2y = 13$，所以$13(x - 2y)=39$，则$x - 2y=39÷13 = 3$。
6. 一个长方形的长为$(2a+3b)$,宽为$(2a-3b)$,则长方形的面积为
4a² - 9b²
.答案
6. 4a² - 9b²
解析
长方形的面积 = 长×宽 = (2a + 3b)(2a - 3b) = (2a)² - (3b)² = 4a² - 9b²
三、解答题
7. 已知$a=\sqrt{7}+2$，$b=\sqrt{7}-2$，求代数式$a^{2}-b^{2}$的值.
7. 已知$a=\sqrt{7}+2$，$b=\sqrt{7}-2$，求代数式$a^{2}-b^{2}$的值.
答案
7. 8√7
解析
$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
$a+b=(\sqrt{7}+2)+(\sqrt{7}-2)=2\sqrt{7}$
$a-b=(\sqrt{7}+2)-(\sqrt{7}-2)=4$
原式$=2\sqrt{7}×4=8\sqrt{7}$
$a+b=(\sqrt{7}+2)+(\sqrt{7}-2)=2\sqrt{7}$
$a-b=(\sqrt{7}+2)-(\sqrt{7}-2)=4$
原式$=2\sqrt{7}×4=8\sqrt{7}$
8. 化简:$(a+2)(a-2)(a^{2}+4)(a^{4}+16)$.
答案
8. a⁸ - 256
解析
$(a+2)(a-2)(a^{2}+4)(a^{4}+16)$
$=(a^{2}-4)(a^{2}+4)(a^{4}+16)$
$=(a^{4}-16)(a^{4}+16)$
$=a^{8}-256$
$=(a^{2}-4)(a^{2}+4)(a^{4}+16)$
$=(a^{4}-16)(a^{4}+16)$
$=a^{8}-256$
9. 在边长为$a$的正方形中挖去一个边长为$b$的小正方形$(a＞b)$,如图(1)所示;把余下的部分拼成一个矩形,如图(2)所示.根据两个图形中的阴影部分面积相等,可以验证一个重要的等式,请写出这个等式,并说明其正确性.
答案
9. a² - b² = (a + b)(a - b)，说明略
解析
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
图(1)阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2 - b^2$。
图(2)矩形的长为$a + b$，宽为$a - b$，面积为$(a + b)(a - b)$。
因为两个图形阴影部分面积相等，所以$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
图(1)阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2 - b^2$。
图(2)矩形的长为$a + b$，宽为$a - b$，面积为$(a + b)(a - b)$。
因为两个图形阴影部分面积相等，所以$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
