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8. 如图，反比例函数$ y = \frac{k}{x} $的图象经过点$ A(-1, 4) $，直线$ y = -x + b $（$ b \neq 0 $）与双曲线$ y = \frac{k}{x} $在第二、四象限分别相交于$ P $，$ Q $两点，与$ x $轴，$ y $轴分别相交于$ C $，$ D $两点.
(1)求$ k $的值.
(2)当$ b = -2 $时，求$ \triangle OCD $的面积.
(3)连接$ OQ $，是否存在实数$ b $，使得$ S_{\triangle ODQ} = S_{\triangle OCD} $？若存在，请求出$ b $的值；若不存在，请说明理由.
(1)求$ k $的值.
(2)当$ b = -2 $时，求$ \triangle OCD $的面积.
(3)连接$ OQ $，是否存在实数$ b $，使得$ S_{\triangle ODQ} = S_{\triangle OCD} $？若存在，请求出$ b $的值；若不存在，请说明理由.
答案
(1) 因为反比例函数$ y = \frac{k}{x} $经过点$ A(-1, 4) $，代入得$ 4 = \frac{k}{-1} $，解得$ k = -4 $。
(2) 当$ b = -2 $时，直线方程为$ y = -x - 2 $。令$ y = 0 $，得$ x = -2 $，则$ C(-2, 0) $；令$ x = 0 $，得$ y = -2 $，则$ D(0, -2) $。$ OC = 2 $，$ OD = 2 $，$ S_{\triangle OCD} = \frac{1}{2} × OC × OD = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2 $。
(3) 直线$ y = -x + b $与$ x $轴交于$ C(b, 0) $，与$ y $轴交于$ D(0, b) $，$ S_{\triangle OCD} = \frac{1}{2}b^2 $。联立$ y = -x + b $与$ y = \frac{-4}{x} $，得$ x^2 - bx - 4 = 0 $。设$ Q(x_Q, y_Q) $在第四象限，$ x_Q ＞ 0 $，$ S_{\triangle ODQ} = \frac{1}{2} × |b| × x_Q $。由$ S_{\triangle ODQ} = S_{\triangle OCD} $，得$ \frac{1}{2}|b|x_Q = \frac{1}{2}b^2 $，即$ x_Q = |b| $。因为$ Q $在第四象限，$ b ＜ 0 $，$ x_Q = -b $，代入直线得$ y_Q = 2b $，又$ y_Q = \frac{4}{b} $，则$ 2b = \frac{4}{b} $，解得$ b = -\sqrt{2} $。
(1) $ k = -4 $；(2) 2；(3) 存在，$ b = -\sqrt{2} $。
(2) 当$ b = -2 $时，直线方程为$ y = -x - 2 $。令$ y = 0 $，得$ x = -2 $，则$ C(-2, 0) $；令$ x = 0 $，得$ y = -2 $，则$ D(0, -2) $。$ OC = 2 $，$ OD = 2 $，$ S_{\triangle OCD} = \frac{1}{2} × OC × OD = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2 $。
(3) 直线$ y = -x + b $与$ x $轴交于$ C(b, 0) $，与$ y $轴交于$ D(0, b) $，$ S_{\triangle OCD} = \frac{1}{2}b^2 $。联立$ y = -x + b $与$ y = \frac{-4}{x} $，得$ x^2 - bx - 4 = 0 $。设$ Q(x_Q, y_Q) $在第四象限，$ x_Q ＞ 0 $，$ S_{\triangle ODQ} = \frac{1}{2} × |b| × x_Q $。由$ S_{\triangle ODQ} = S_{\triangle OCD} $，得$ \frac{1}{2}|b|x_Q = \frac{1}{2}b^2 $，即$ x_Q = |b| $。因为$ Q $在第四象限，$ b ＜ 0 $，$ x_Q = -b $，代入直线得$ y_Q = 2b $，又$ y_Q = \frac{4}{b} $，则$ 2b = \frac{4}{b} $，解得$ b = -\sqrt{2} $。
(1) $ k = -4 $；(2) 2；(3) 存在，$ b = -\sqrt{2} $。
阅读材料：为解方程$ x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0 $，我们可以将$ x^{2} $视为一个整体，然后设$ x^{2} = y $，则$ x^{4} = y^{2} $.
原方程化为$ y^{2} - 5y + 4 = 0 $.(*)解得$ y_{1} = 1 $，$ y_{2} = 4 $.
当$ y = 1 $时，$ x^{2} = 1 $，得$ x = \pm 1 $；当$ y = 4 $时，$ x^{2} = 4 $，得$ x = \pm 2 $.
故原方程的解为$ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = -1 $，$ x_{3} = 2 $，$ x_{4} = -2 $.
解答问题：(1)在由原方程得到方程(*)的过程中，利用
(2)解方程：$ (x^{2} - 2x)^{2} + x^{2} - 2x - 6 = 0 $.
原方程化为$ y^{2} - 5y + 4 = 0 $.(*)解得$ y_{1} = 1 $，$ y_{2} = 4 $.
当$ y = 1 $时，$ x^{2} = 1 $，得$ x = \pm 1 $；当$ y = 4 $时，$ x^{2} = 4 $，得$ x = \pm 2 $.
故原方程的解为$ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = -1 $，$ x_{3} = 2 $，$ x_{4} = -2 $.
解答问题：(1)在由原方程得到方程(*)的过程中，利用
换元
法达到了降次的目的，体现了转化
的数学思想.(2)解方程：$ (x^{2} - 2x)^{2} + x^{2} - 2x - 6 = 0 $.
答案
(1)
换元；转化。
(2)
设$x^{2} - 2x = y$，则原方程可化为$y^{2}+y - 6 = 0$。
对于一元二次方程$y^{2}+y - 6 = 0$，其中$a = 1$，$b = 1$，$c = -6$，根据求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得：
$y=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4×1×(-6)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{1 + 24}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}$
解得$y_{1}=\frac{-1 + 5}{2}=2$，$y_{2}=\frac{-1 - 5}{2}=-3$。
当$y = 2$时，即$x^{2}-2x = 2$，移项得$x^{2}-2x - 2 = 0$。
其中$a = 1$，$b = -2$，$c = -2$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4×1×(-2)}}{2×1}=\frac{2\pm\sqrt{4 + 8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{2}=1\pm\sqrt{3}$
当$y = - 3$时，即$x^{2}-2x=-3$，移项得$x^{2}-2x + 3 = 0$。
此时$\Delta=(-2)^{2}-4×1×3=4 - 12=-8\lt0$，方程无实数解。
所以原方程的解为$x_{1}=1+\sqrt{3}$，$x_{2}=1-\sqrt{3}$。
换元；转化。
(2)
设$x^{2} - 2x = y$，则原方程可化为$y^{2}+y - 6 = 0$。
对于一元二次方程$y^{2}+y - 6 = 0$，其中$a = 1$，$b = 1$，$c = -6$，根据求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得：
$y=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4×1×(-6)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{1 + 24}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}$
解得$y_{1}=\frac{-1 + 5}{2}=2$，$y_{2}=\frac{-1 - 5}{2}=-3$。
当$y = 2$时，即$x^{2}-2x = 2$，移项得$x^{2}-2x - 2 = 0$。
其中$a = 1$，$b = -2$，$c = -2$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4×1×(-2)}}{2×1}=\frac{2\pm\sqrt{4 + 8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{2}=1\pm\sqrt{3}$
当$y = - 3$时，即$x^{2}-2x=-3$，移项得$x^{2}-2x + 3 = 0$。
此时$\Delta=(-2)^{2}-4×1×3=4 - 12=-8\lt0$，方程无实数解。
所以原方程的解为$x_{1}=1+\sqrt{3}$，$x_{2}=1-\sqrt{3}$。
