一、基础
1. 有下列方程：①$10x + 9 = 0$；②$\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x}=0$；③$2x^{2}-3x - 1 = 0$. 其中是一元二次方程的有()
A.①②
B.①③
C.②③
D.③

D

2. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(k + 3)x + 2 = 0$的一个根是$-2$，则另一个根是()

A.$2$
B.$1$
C.$-1$
D.$0$

C

设方程的另一个根为$x_1$，根据韦达定理，两根之积为$2$，即$-2 × x_1 = 2$，解得$x_1 = -1$。

3. 已知$a$，$b$，$c$分别是三角形三条边的长，则方程$(a + b)x^{2}+2cx+(a + b)=0$的根的情况是()

A.没有实数根
B.有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根

A

对于方程$(a + b)x^{2} + 2cx + (a + b) = 0$，其判别式为：
$\Delta = (2c)^{2} - 4(a + b)(a + b) = 4c^{2} - 4(a + b)^{2}$，
由于$a$，$b$，$c$是三角形的三条边，根据三角形的三边关系，有：
$a + b ＞ c$，
进一步推导，得到：
$c - (a + b) ＜ 0$，
同时，由于$a + b + c ＞ 0$（三角形的任意两边之和大于第三边，所以三边之和必然大于0），
将上述两个不等式代入判别式，得到：
$\Delta = 4c^{2} - 4(a + b)^{2} = 4(c + a + b)(c - a - b) ＜ 0$，
由于判别式小于0，所以方程没有实数根。

4. 下列方程中，一定是关于$x$的一元二次方程的是()

A.$ax^{2}+bx + c = 0$
B.$3(x - 1)^{2}=2(x + 1)$
C.$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}-2 = 0$
D.$x^{2}+3x = x^{2}-1$

B

A选项：当$a=0$时，方程不是关于$x$的一元二次方程，故A错误；
B选项：方程展开后为$3x^2 - 6x + 3 = 2x + 2$，进一步整理为$3x^2 - 8x + 1 = 0$，满足一元二次方程的形式，故B正确；
C选项：方程中含有$\frac{1}{x^2}$和$\frac{1}{x}$，不是整式方程，故C错误；
D选项：方程整理后为$3x + 1 = 0$（或$3x = -1$），是一元一次方程，故D错误。

5. 如果关于$x$的一元二次方程$kx^{2}-6x + 9 = 0$有两个不相等的实数根，那么$k$的取值范围是()

A.$k ＜ 1$
B.$k\neq0$
C.$k ＜ 1$且$k\neq0$
D.$k ＞ 1$

C

由题意得，方程 $kx^{2}-6x + 9 = 0$ 为一元二次方程，所以 $k\neq0$，
又因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^{2}-4ac＞0$，
$\Delta =(-6)^{2}-4× k×9 = 36 - 36k＞0$，
解不等式 $36 - 36k＞0$，
移项可得 $36＞36k$，
两边同时除以 $36$，解得 $k ＜ 1$。
综合可得 $k$ 的取值范围是 $k ＜ 1$ 且 $k\neq0$。