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6. 长方形的长$a(\mathrm{cm})(a＞3)$，宽为$4\ \mathrm{cm}$。
（1）长方形的周长是多少？
（2）如果把长方形的长减少$3\ \mathrm{cm}$，宽减少一半，所得长方形的面积是多少？
（1）长方形的周长是多少？
（2）如果把长方形的长减少$3\ \mathrm{cm}$，宽减少一半，所得长方形的面积是多少？
答案
(1) $(2a+8)\mathrm{cm}$ (2) $2(a-3)\mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题思路：本题需要结合长方形的周长、面积公式，根据题目给出的边长条件列代数式求解。
第（1）问：先回忆长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，已知长为$a\ \mathrm{cm}$，宽为$4\ \mathrm{cm}$，直接代入公式化简就能得到周长的代数式。
第（2）问：先根据题目描述求出变化后新长方形的长和宽：原长减少3 cm后为$(a-3)\ \mathrm{cm}$，宽减少一半即原宽的$\frac{1}{2}$，计算得新宽为$4×\frac{1}{2}=2\ \mathrm{cm}$，再代入长方形面积公式：面积=长×宽，整理即可得到新的面积代数式，注意不要漏写单位。
【解析】
（1）根据长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$
将长$a\ \mathrm{cm}$，宽$4\ \mathrm{cm}$代入公式得：
周长$=2×(a+4)=2a+8$，单位为$\mathrm{cm}$。
（2）先计算变化后长方形的长和宽：
新长：$(a-3)\ \mathrm{cm}$
新宽：$4×\frac{1}{2}=2\ \mathrm{cm}$
根据长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$
将新长和新宽代入得：面积$=(a-3)×2=2(a-3)$，单位为$\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $(2a+8)\mathrm{cm}$；(2) $2(a-3)\mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式；长方形周长计算；长方形面积计算
【点评】
本题是代数式的基础应用题，解题的关键是熟练掌握长方形周长和面积的计算公式，准确提取题目中的数量关系，计算时注意单位的规范书写即可。
【难度系数】
0.9
解题思路：本题需要结合长方形的周长、面积公式，根据题目给出的边长条件列代数式求解。
第（1）问：先回忆长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，已知长为$a\ \mathrm{cm}$，宽为$4\ \mathrm{cm}$，直接代入公式化简就能得到周长的代数式。
第（2）问：先根据题目描述求出变化后新长方形的长和宽：原长减少3 cm后为$(a-3)\ \mathrm{cm}$，宽减少一半即原宽的$\frac{1}{2}$，计算得新宽为$4×\frac{1}{2}=2\ \mathrm{cm}$，再代入长方形面积公式：面积=长×宽，整理即可得到新的面积代数式，注意不要漏写单位。
【解析】
（1）根据长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$
将长$a\ \mathrm{cm}$，宽$4\ \mathrm{cm}$代入公式得：
周长$=2×(a+4)=2a+8$，单位为$\mathrm{cm}$。
（2）先计算变化后长方形的长和宽：
新长：$(a-3)\ \mathrm{cm}$
新宽：$4×\frac{1}{2}=2\ \mathrm{cm}$
根据长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$
将新长和新宽代入得：面积$=(a-3)×2=2(a-3)$，单位为$\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $(2a+8)\mathrm{cm}$；(2) $2(a-3)\mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式；长方形周长计算；长方形面积计算
【点评】
本题是代数式的基础应用题，解题的关键是熟练掌握长方形周长和面积的计算公式，准确提取题目中的数量关系，计算时注意单位的规范书写即可。
【难度系数】
0.9
7. 如图为一系列用小木棒搭成的图案。第1个图(图①)需3根小木棒，第2个图(图②)需
$5$
根小木棒，第3个图(图③)需$7$
根小木棒……第n个图需$(2n+1)$
根小木棒。答案
$5$ ; $7$ ; $(2n+1)$
解析
【分析】
解题时先从已知的前几个图案入手，先逐个计数小木棒数量，再对比木棒数量和图案序号的关系总结规律：首先第1个图有3根木棒，观察后续图案，每增加1个三角形，就会和前一个三角形共用1条边，因此每次只需要新增2根木棒。我们先计算前几个图的木棒数，再推导第n个图的通用表达式即可。
【解析】
首先计数：
第2个图（图②）的小木棒数量：比第1个图多2根，即$3+2=5$（根）；
第3个图（图③）的小木棒数量：比第2个图多2根，即$5+2=7$（根）；
接下来找规律：
当$n=1$时，木棒数$=3=2×1+1$；
当$n=2$时，木棒数$=5=2×2+1$；
当$n=3$时，木棒数$=7=2×3+1$；
……
由此可得，第$n$个图需要的小木棒数量为$(2n+1)$根。
【答案】
$5$；$7$；$(2n+1)$
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题是基础的图形规律探究题，解题的核心是找到图形增量和木棒增量的对应关系，无需每次都逐根计数，通过总结规律即可快速得出任意序号的图案所需木棒数，这类题型是代数式应用的常见考法。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的前几个图案入手，先逐个计数小木棒数量，再对比木棒数量和图案序号的关系总结规律：首先第1个图有3根木棒，观察后续图案，每增加1个三角形，就会和前一个三角形共用1条边，因此每次只需要新增2根木棒。我们先计算前几个图的木棒数，再推导第n个图的通用表达式即可。
【解析】
首先计数：
第2个图（图②）的小木棒数量：比第1个图多2根，即$3+2=5$（根）；
第3个图（图③）的小木棒数量：比第2个图多2根，即$5+2=7$（根）；
接下来找规律：
当$n=1$时，木棒数$=3=2×1+1$；
当$n=2$时，木棒数$=5=2×2+1$；
当$n=3$时，木棒数$=7=2×3+1$；
……
由此可得，第$n$个图需要的小木棒数量为$(2n+1)$根。
【答案】
$5$；$7$；$(2n+1)$
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题是基础的图形规律探究题，解题的核心是找到图形增量和木棒增量的对应关系，无需每次都逐根计数，通过总结规律即可快速得出任意序号的图案所需木棒数，这类题型是代数式应用的常见考法。
【难度系数】
0.8
8. 一辆汽车原计划以a千米/时的速度行驶500千米的路程，现在实际速度比原计划提高10千米/时。现在行驶完全程需多少时间？比原来节省多少时间？（用含a的代数式表示）
答案
$\frac{500}{a+10}$时 ; $(\frac{500}{a}-\frac{500}{a+10})$时
解析
【分析】
解题时首先回忆行程问题的核心等量关系：时间=路程÷速度。先解决第一个问题：要求现在行驶完全程的时间，需先确定实际行驶速度，已知原计划速度为a千米/时，实际速度比原计划高10千米/时，因此实际速度为(a+10)千米/时，将总路程500千米和实际速度代入等量关系，即可求出现在所需的时间。再解决第二个问题：求节省的时间，只需用原计划行驶全程的时间减去实际行驶的时间即可，原计划时间同样用路程除以原计划速度得到，再作差即可得到结果。
【解析】
第一步：求实际行驶速度
由题意可知，实际速度 = 原计划速度 + 提高的速度 = $(a + 10)$千米/时
第二步：求现在行驶完全程的时间
根据行程公式$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$，总路程为500千米，
因此现在行驶完全程的时间为 $\frac{500}{a+10}$ 时。
第三步：求原计划行驶完全程的时间
原计划速度为a千米/时，因此原计划时间为 $\frac{500}{a}$ 时。
第四步：求节省的时间
节省的时间 = 原计划时间 - 实际时间，即 $( \frac{500}{a} - \frac{500}{a+10} )$ 时。
【答案】
$\frac{500}{a+10}$时 ; $(\frac{500}{a}-\frac{500}{a+10})$时
【知识点】
列代数式；行程问题数量关系
【点评】
本题是基础的代数式应用类题目，核心是掌握行程问题中路程、速度、时间三者的运算关系，准确找到对应数量代入列式即可，需注意代数式的书写要符合规范。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆行程问题的核心等量关系：时间=路程÷速度。先解决第一个问题：要求现在行驶完全程的时间，需先确定实际行驶速度，已知原计划速度为a千米/时，实际速度比原计划高10千米/时，因此实际速度为(a+10)千米/时，将总路程500千米和实际速度代入等量关系，即可求出现在所需的时间。再解决第二个问题：求节省的时间，只需用原计划行驶全程的时间减去实际行驶的时间即可，原计划时间同样用路程除以原计划速度得到，再作差即可得到结果。
【解析】
第一步：求实际行驶速度
由题意可知，实际速度 = 原计划速度 + 提高的速度 = $(a + 10)$千米/时
第二步：求现在行驶完全程的时间
根据行程公式$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$，总路程为500千米，
因此现在行驶完全程的时间为 $\frac{500}{a+10}$ 时。
第三步：求原计划行驶完全程的时间
原计划速度为a千米/时，因此原计划时间为 $\frac{500}{a}$ 时。
第四步：求节省的时间
节省的时间 = 原计划时间 - 实际时间，即 $( \frac{500}{a} - \frac{500}{a+10} )$ 时。
【答案】
$\frac{500}{a+10}$时 ; $(\frac{500}{a}-\frac{500}{a+10})$时
【知识点】
列代数式；行程问题数量关系
【点评】
本题是基础的代数式应用类题目，核心是掌握行程问题中路程、速度、时间三者的运算关系，准确找到对应数量代入列式即可，需注意代数式的书写要符合规范。
【难度系数】
0.85
9. 剪纸是在纸上剪刻花纹的艺术，很多作品具有对称的数学美感(如图)。假如剪纸工人工作效率相同，100名工人1天内可以完成$m$幅作品，完成下列问题：
(1) 200名工人$a$天内可以完成多少幅作品？
(2) 结合本题情境，解释代数式$\frac{1}{2}bm$的实际意义。
(1) 200名工人$a$天内可以完成多少幅作品？
(2) 结合本题情境，解释代数式$\frac{1}{2}bm$的实际意义。
答案
(1) $2am$ (2) 答案不唯一。例如,50名工人$b$天内可以完成的作品数量。
解析
【分析】
(1) 解题时先理清工作总量的计算逻辑：工作总量和人数、工作时间都成正比。我们可以先根据已知的100名工人1天的工作量，先求出1名工人1天的工作效率，再代入200名工人、a天的条件，就能求出总作品数；也可以直接对比人数、天数和已知条件的倍数关系，直接计算总工作量。
(2) 解释代数式的实际意义时，先拆分代数式各部分的含义：m是100名工人1天的工作量，$\frac{1}{2}m$就是50名工人1天的工作量，乘b就是对应时长的总工作量，结合情境合理描述即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 已知100名工人1天可以完成m幅作品，
则1名工人1天完成的作品数量为$\frac{m}{100}$幅，
200名工人1天可完成的作品数量为：$200×\frac{m}{100}=2m$幅，
因此200名工人a天可完成的作品数量为：$2m× a=2am$幅。
(2) $m$是100名工人1天的完成量，$\frac{1}{2}m$就是50名工人1天的完成量，因此$\frac{1}{2}bm$可以表示50名工人b天内可以完成的作品数量（答案不唯一，符合题意即可）。
【答案】
(1) $2am$
(2) 示例：50名工人$b$天内可以完成的作品数量（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
列代数式；代数式的实际意义
【点评】
本题结合传统剪纸文化的情境出题，考查了工作总量相关数量关系的应用，以及对代数式实际含义的理解，解题时理清已知量和所求量的关系即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时先理清工作总量的计算逻辑：工作总量和人数、工作时间都成正比。我们可以先根据已知的100名工人1天的工作量，先求出1名工人1天的工作效率，再代入200名工人、a天的条件，就能求出总作品数；也可以直接对比人数、天数和已知条件的倍数关系，直接计算总工作量。
(2) 解释代数式的实际意义时，先拆分代数式各部分的含义：m是100名工人1天的工作量，$\frac{1}{2}m$就是50名工人1天的工作量，乘b就是对应时长的总工作量，结合情境合理描述即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 已知100名工人1天可以完成m幅作品，
则1名工人1天完成的作品数量为$\frac{m}{100}$幅，
200名工人1天可完成的作品数量为：$200×\frac{m}{100}=2m$幅，
因此200名工人a天可完成的作品数量为：$2m× a=2am$幅。
(2) $m$是100名工人1天的完成量，$\frac{1}{2}m$就是50名工人1天的完成量，因此$\frac{1}{2}bm$可以表示50名工人b天内可以完成的作品数量（答案不唯一，符合题意即可）。
【答案】
(1) $2am$
(2) 示例：50名工人$b$天内可以完成的作品数量（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
列代数式；代数式的实际意义
【点评】
本题结合传统剪纸文化的情境出题，考查了工作总量相关数量关系的应用，以及对代数式实际含义的理解，解题时理清已知量和所求量的关系即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
