【即学即练】
1. 若把二次函数$y=-2x^2+3x+1$变形为$y=a(x-h)^2+k$的形式，则$h+k$的值为________.

1.$\frac{23}{8}$

【分析】
要解决本题，需用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$：首先提取二次项系数，将含$x$的项整理到括号内，再对括号内的式子配方，整理得到顶点式后确定$h$、$k$的值，最后计算$h+k$即可。
【解析】
解：对二次函数$y=-2x^2+3x+1$进行配方：
1. 提取二次项系数$-2$，分离含$x$的项与常数项：
$y=-2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1$
2. 对括号内的式子配方：一次项系数为$-\frac{3}{2}$，其一半的平方为$(-\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，括号内加、减$\frac{9}{16}$保证式子值不变：
$y=-2[(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}) - \frac{9}{16}] + 1$
3. 展开整理为顶点式：
$y=-2(x - \frac{3}{4})^2 + (-2)×(-\frac{9}{16}) + 1$
计算常数项：$\frac{9}{8}+1=\frac{17}{8}$，因此顶点式为$y=-2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{17}{8}$
可得$h=\frac{3}{4}$，$k=\frac{17}{8}$，则：
$h+k=\frac{3}{4}+\frac{17}{8}=\frac{6}{8}+\frac{17}{8}=\frac{23}{8}$
【答案】
$\frac{23}{8}$
【知识点】
二次函数一般式化顶点式，配方法，代数式求值
【点评】
本题考查配方法在二次函数解析式变形中的应用，属于基础题，解题时需注意提取二次项系数后，括号内配方时常数项的变化，避免符号或计算错误。
【难度系数】
0.7

【典型例题 2】已知二次函数 $y=-x^2-2x+3$ 图象的顶点为 $P$.
(1)求点 $P$ 的坐标.
(2)若点 $Q(m,n)$ 在该函数图象上，且 $-2≤ m≤1$，求 $n$ 的取值范围.
【解】(1) $\because -\frac{-2}{2×(-1)}=-1$，
$\frac{4×(-1)×3-(-2)^2}{4×(-1)}=4$，
$\therefore$点 $P$ 的坐标为 $(-1,4)$.
(2)由(1)可知，抛物线 $y=-x^2-2x+3$ 的对称轴为直线 $x=-1$.
$\because -2≤ m≤1$，
$\therefore$当 $m=-1$ 时，$n$ 取最大值，最大值为 $4$；当 $m=1$ 时，$n$ 取最小值，最小值为 $0$.
$\therefore n$ 的取值范围为 $0≤ n≤4$.

解：
(1) 在二次函数$y=-x^2-2x+3$中，$a=-1$，$b=-2$，$c=3$。
顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$，
顶点的纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-1)×3-(-2)^2}{4×(-1)}=4$，
∴点$P$的坐标为$(-1,4)$。
(2) 由(1)可知，抛物线$y=-x^2-2x+3$的对称轴为直线$x=-1$，且$a=-1＜0$，抛物线开口向下。
∵$-2≤ m≤1$，
∴当$m=-1$时，$n$取最大值，最大值为$4$；
将$m=-2$代入解析式得$n=-(-2)^2-2×(-2)+3=3$，
将$m=1$代入解析式得$n=-1^2-2×1+3=0$，
∴当$m=1$时，$n$取最小值，最小值为$0$。
∴$n$的取值范围为$0≤ n≤4$。

【分析】
(1) 求二次函数顶点坐标可直接用顶点坐标公式求解：先确定二次函数解析式中$a、b、c$的取值，再分别代入顶点横坐标公式$-\frac{b}{2a}$、纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算，即可得到顶点$P$的坐标。
(2) 求给定自变量范围内的函数值取值范围时，先根据$a$的符号判断抛物线开口方向，结合对称轴位置可知，开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值；再分别计算自变量区间两个端点对应的函数值，比较大小得到最小值，最终确定$n$的取值范围。
【解析】
(1) 在二次函数$y=-x^2-2x+3$中，$a=-1$，$b=-2$，$c=3$。
顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$，
顶点的纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-1)×3-(-2)^2}{4×(-1)}=4$，
∴点$P$的坐标为$(-1,4)$。
(2) 由(1)可知，抛物线$y=-x^2-2x+3$的对称轴为直线$x=-1$，且$a=-1＜0$，抛物线开口向下。
∵$-2≤ m≤1$，
∴当$m=-1$时，$n$取最大值，最大值为$4$；
将$m=-2$代入解析式得$n=-(-2)^2-2×(-2)+3=3$，
将$m=1$代入解析式得$n=-1^2-2×1+3=0$，
∴当$m=1$时，$n$取最小值，最小值为$0$。
∴$n$的取值范围为$0≤ n≤4$。
【答案】
(1) $P(-1,4)$；(2) $0≤n≤4$
【知识点】
二次函数顶点坐标公式；二次函数的增减性；二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数基础应用题，核心考查二次函数的基本性质，解题时牢记顶点坐标公式，结合开口方向、对称轴判断函数的增减规律即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

2. 关于抛物线 $ y = -x^2 + 6x -7 $，下列说法正确的是（）

A.开口向上
B.对称轴是直线 $ x = -3 $
C.与 $ y $ 轴的交点坐标是 $ (0,7) $
D.顶点坐标是 $ (3,2) $

2.D

【分析】
本题需结合二次函数$y=ax^2+bx+c$的相关性质，逐个分析选项：①由$a$的正负判断开口方向；②利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算对称轴；③令$x=0$求函数值即可得到与$y$轴的交点坐标；④通过配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标，最终选出正确选项。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2+6x-7$：
1. 判断开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，A选项错误；
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1,b=6$，得$x=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，即对称轴为直线$x=3$，B选项错误；
3. 求与$y$轴交点：令$x=0$，代入得$y=-0+0-7=-7$，即与$y$轴交点坐标为$(0,-7)$，C选项错误；
4. 求顶点坐标：用配方法变形函数，$y=-x^2+6x-7=-(x^2-6x+9)+9-7=-(x-3)^2+2$，因此顶点坐标为$(3,2)$，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称轴与顶点计算，二次函数与坐标轴交点求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，覆盖了二次函数的核心基础考点，只要熟练掌握相关公式和性质即可快速解题，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8

1. 若抛物线 $ y = x^2 - 2tx + 9 $ 的顶点在 $ x $ 轴上，则 $ t $ 的值为 （）

A.$-3$
B.$3$
C.$3$或$-3$
D.$6$或$-6$

1.C

【分析】
解题思路：首先明确抛物线顶点在x轴上的核心特征：顶点的纵坐标为0。有两种常用思路求解：①将二次函数配方为顶点式，直接令顶点纵坐标等于0，解关于t的方程；②转化为抛物线与x轴只有一个交点，对应一元二次方程有两个相等的实数根，利用判别式Δ=b²-4ac=0求解。两种方法都能快速得到结果，这里选择判别式法计算。
【解析】
解：
∵抛物线$y = x^2 - 2tx + 9$的顶点在$x$轴上，
∴抛物线与x轴仅有1个公共点，对应一元二次方程$x^2 - 2tx + 9=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，
在二次函数$y = x^2 - 2tx + 9$中，$a=1$，$b=-2t$，$c=9$，
代入得：$\Delta=(-2t)^2 - 4×1×9=0$，
化简得$4t^2-36=0$，即$t^2=9$，
解得$t=3$或$t=-3$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点性质，一元二次方程判别式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是掌握“抛物线顶点在x轴上等价于其与x轴仅有一个交点、对应一元二次方程判别式为0”的转化关系，熟练运用性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 将抛物线$y=x^2+3x-4$向左平移1个单位长度后得到的新抛物线为（）

A.$y=x^2+5x$
B.$y=x^2 -x -8$
C.$y=x^2+3x-2$
D.$y=x^2+3x+1$

2.A

【分析】
要解决二次函数图象平移后解析式的问题，首先需牢记二次函数平移的核心规律：“左加右减，上加下减”，其中“左加右减”是对自变量x本身进行的操作，向左平移n个单位就将原解析式中的所有x替换为(x+n)，向右平移则替换为(x-n)。本题是向左平移1个单位，因此只需将原抛物线解析式中的x全部替换为(x+1)，再化简整理即可得到新抛物线的解析式，最后匹配对应选项。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=x^2+3x-4$，向左平移1个单位长度，根据“左加右减”的平移规律，将解析式中所有的$x$替换为$x+1$，代入得：
$\begin{aligned}y&=(x+1)^2+3(x+1)-4\\&=x^2+2x+1+3x+3-4\\&=x^2+5x\end{aligned}$
对比选项可知结果为A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移规律、整式的化简
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心易错点是容易混淆“左加右减”的适用对象，切记平移规则是针对自变量x进行调整，而非直接修改常数项，掌握平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 已知二次函数$y=x^2 -2x +c$的图象上有两点$A(-3,y_1),B(-2,y_2)$，则$y_1$与$y_2$的大小关系是（）

A.$y_1＜y_2$
B.$y_1＞y_2$
C.$y_1=y_2$
D.无法确定

3.B

【分析】
要比较二次函数上两点的函数值大小，有两种常用思路：一是直接将两点横坐标代入函数表达式，求出$y_1$、$y_2$的表达式再比较；二是利用二次函数的增减性判断。本题中二次项系数$a=1＞0$，先求出对称轴，再判断两点在对称轴的位置，结合开口方向对应的增减性即可快速得出结果，无需计算参数$c$的值。
【解析】
方法一：利用二次函数增减性求解
对于二次函数$y=x^2 -2x +c$，
∵二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，
∴当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，
∵点$A(-3,y_1)$、$B(-2,y_2)$的横坐标均满足$-3＜-2＜1$，都在对称轴左侧，
∴根据增减性可得$y_1＞y_2$。
方法二：代入计算比较
将$x=-3$代入函数得：$y_1=(-3)^2 -2×(-3)+c=15+c$，
将$x=-2$代入函数得：$y_2=(-2)^2 -2×(-2)+c=8+c$，
∵$15+c＞8+c$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数增减性；函数值比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，既可以通过代入计算直接比较，也可以结合抛物线的开口方向、对称轴和增减性快速判断，熟练掌握二次函数的增减性规律能提高解题效率。
【难度系数】
0.8

4. 已知抛物线$y=2x^2+bx+c$在直线$x=2$的左侧从左到右下降，写出一个符合条件的$b$的值：.

4.$-8$(答案不唯一,$b≤ -8$即可)

【分析】
解题时先回忆二次函数的增减性规律：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，当$a＞0$时抛物线开口向上，对称轴左侧图象从左到右下降（$y$随$x$增大而减小），对称轴右侧图象从左到右上升。本题中抛物线$a=2＞0$，要满足$x=2$左侧图象从左到右下降，说明$x=2$在对称轴上或对称轴左侧，即对称轴的横坐标≥2，再结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$列不等式求解$b$的取值范围，最后在范围内任取一个值即可。
【解析】
解：对于抛物线$y=2x^2+bx+c$，
$\because$二次项系数$a=2＞0$，
$\therefore$抛物线开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，即图象从左到右下降。
已知抛物线在直线$x=2$左侧从左到右下降，说明对称轴在直线$x=2$的右侧或与$x=2$重合，可得：
$-\frac{b}{2a} ≥ 2$
将$a=2$代入不等式：
$-\frac{b}{2×2} ≥ 2$
化简得$-\frac{b}{4} ≥ 2$，解得$b ≤ -8$。
因此可取$b=-8$（任意小于等于$-8$的实数均符合要求）。
【答案】
$-8$（答案不唯一，$b≤ -8$即可）
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴公式
【点评】
本题考查二次函数图象性质与对称轴的关联，解题核心是根据开口方向和给定的增减区间确定对称轴的取值范围，属于基础题型，熟练掌握二次函数基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8