8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=50°$,$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线相交于点$O$,则$∠ BOC$的度数是().


A.$105°$
B.$115°$
C.$125°$
D.$130°$

B

【分析】
本题可通过三角形内角和定理结合角平分线的性质求解：首先根据已知的∠BAC的度数，利用三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的度数和；再由角平分线的定义，得到∠OBC与∠OCB的度数和；最后在△BOC中再次利用三角形内角和，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 180° - 50° = 130°$
∵BO平分$∠ ABC$，CO平分$∠ ACB$
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×130° = 65°$
在△BOC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 65° = 115°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，主要考查对三角形内角和、角平分线性质的掌握和应用，解题的核心是通过角平分线的性质将大三角形的内角关系转化到小三角形中，熟练掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

9.(创新题)如图(1),称△AOB和△DOC为“对顶三角形”,其中∠A+∠B=∠C+∠D.利用这个结论,我们可以求出图(2)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为.

$\boldsymbol{180°}$

【分析】
要求五个分散角的和，可利用题目给出的“对顶三角形”的角度结论，通过构造对顶三角形实现角度转化：首先作辅助线连接CD，此时△BOE和△DOC构成对顶三角形，可将∠B+∠E替换为和∠A、∠C、∠D同处一个三角形中的角，最终把所有待求角集中到同一个三角形中，再用三角形内角和定理计算总和即可。
【解析】
解：连接CD，
∵ △BOE和△DOC是“对顶三角形”，根据题中结论可得：
$∠ B + ∠ E = ∠ OCD + ∠ ODC$，
根据三角形内角和定理，$△ ACD$的内角和为$180°$，即：
$∠ A + ∠ ACD + ∠ ADC = 180°$，
其中$∠ ACD = ∠ C + ∠ OCD$，$∠ ADC = ∠ D + ∠ ODC$，代入上式可得：
$∠ A + ∠ C + ∠ OCD + ∠ D + ∠ ODC = 180°$，
将$∠ OCD + ∠ ODC$替换为$∠ B + ∠ E$，最终得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E = 180°$。
【答案】
$\boldsymbol{180°}$
【知识点】
三角形内角和定理；对顶三角形的性质
【点评】
本题为创新型角度计算问题，解题核心是通过添加辅助线构造对顶三角形，将分散的多个角集中到同一个三角形中求解，考查了知识迁移能力和转化的数学思想。
【难度系数】
0.7

10. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,P为AD延长线上一点,PE⊥BC于点E.已知∠ACB=80°,∠B=24°,求∠P的度数.

解：在△ABC中，
∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB = 180° - 24° - 80° = 76°，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 38°，
在△ADC中，
∠ADC = 180° - ∠CAD - ∠ACB = 180° - 38° - 80° = 62°，
∴ ∠PDE = ∠ADC = 62°，
∵ PE⊥BC，
∴ ∠PED = 90°，
在Rt△PDE中，
∠P = 90° - ∠PDE = 90° - 62° = 28°。

【分析】
要求∠P的度数，观察可得∠P在Rt△PDE中，已知∠PED=90°，因此只需求出∠PDE的度数即可。∠PDE与∠ADC是对顶角，二者相等，因此可以先求∠ADC的度数。要得到∠ADC，需要在△ADC中利用内角和定理计算，这就需要先求出∠CAD的度数，而∠CAD是∠BAC的一半，因此首先可以在△ABC中利用内角和定理算出∠BAC的度数，再结合角平分线的定义得到∠CAD，逐步推导即可求出∠P。
【解析】
在△ABC中，
∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB = 180° - 24° - 80° = 76°，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 38°，
在△ADC中，
∠ADC = 180° - ∠CAD - ∠ACB = 180° - 38° - 80° = 62°，
∴ ∠PDE = ∠ADC = 62°，
∵ PE⊥BC，
∴ ∠PED = 90°，
在Rt△PDE中，
∠P = 90° - ∠PDE = 90° - 62° = 28°。
【答案】
28°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形内角和的基础综合应用题，解题核心是通过角的转化建立未知角和已知角的联系，熟练掌握三角形相关基础性质和定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

11.(推理能力)如图,在△ABC中,∠1=∠2=∠3.
(1)求证:∠BAC=∠DEF;
(2)若∠BAC=70°,∠DFE=50°,求∠ABC的度数.

证明：(1)
根据三角形外角的性质，得∠DEF = ∠3 + ∠CAE
∵ ∠1 = ∠3
∴ ∠DEF = ∠1 + ∠CAE
又∵ ∠BAC = ∠1 + ∠CAE
∴ ∠BAC = ∠DEF
(2) 解：
同理，根据三角形外角的性质，得∠DFE = ∠2 + ∠BCF
∵ ∠2 = ∠3
∴ ∠DFE = ∠3 + ∠BCF = ∠ACB
∵ ∠DFE = 50°
∴ ∠ACB = 50°
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°
∴ ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB = 180° - 70° - 50° = 60°
答：∠ABC的度数为60°。

【分析】
(1) 要证明∠BAC=∠DEF，首先利用三角形外角的性质分析∠DEF的组成：∠DEF是△AEC的外角，因此∠DEF=∠3+∠CAE；结合已知∠1=∠3，将∠3替换为∠1后可得∠DEF=∠1+∠CAE，而∠BAC恰好是∠1与∠CAE的和，由此即可推出两角相等。
(2) 求∠ABC的度数，可类比第一问的推导思路：先利用三角形外角性质推导∠DFE与∠ACB的等量关系，求出∠ACB的度数，再结合三角形内角和为180°，代入已知的∠BAC度数，即可计算出∠ABC的度数。
【解析】
(1) 证明：
根据三角形外角的性质，得∠DEF = ∠3 + ∠CAE
∵ ∠1 = ∠3
∴ ∠DEF = ∠1 + ∠CAE
又
∵ ∠BAC = ∠1 + ∠CAE
∴ ∠BAC = ∠DEF
(2) 解：
同理，根据三角形外角的性质，得∠DFE = ∠2 + ∠BCF
∵ ∠2 = ∠3
∴ ∠DFE = ∠3 + ∠BCF = ∠ACB
∵ ∠DFE = 50°
∴ ∠ACB = 50°
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°
∴ ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB = 180° - 70° - 50° = 60°
【答案】
(1) ∠BAC=∠DEF得证；(2) ∠ABC的度数为60°
【知识点】
1. 三角形外角性质
2. 三角形内角和定理
3. 等量代换
【点评】
本题是三角形性质应用的典型基础题，核心是通过角的等量代换建立已知角和未知角的关联，侧重考查基础定理的灵活运用能力，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7