1.计算：$\frac{2x}{x+1} + \frac{2}{x+1} =$

解：
原式$=\frac{2x+2}{x+1}$
$=\frac{2(x+1)}{x+1}$
$=2$

【分析】本题是同分母分式的加法计算，解题思路如下：第一步先观察两个分式的分母，发现均为$x+1$，属于同分母分式相加，根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加；第二步对相加后的分子进行因式分解，找到分子和分母的公因式；第三步约去公因式，将结果化为最简形式即可。
【解析】
解：根据同分母分式加法法则，分母不变，分子相加，可得：
原式$=\frac{2x+2}{x+1}$
对分子提取公因式2，得：
$=\frac{2(x+1)}{x+1}$
由分式有意义的条件可知$x+1≠0$，约去公因式$x+1$，得：
$=2$
【答案】$\boxed{2}$
【知识点】同分母分式加减法；分式约分；提公因式法因式分解
【点评】本题属于分式运算的基础题型，核心考查同分母分式的加减运算规则和约分方法，计算时需注意先确认分母是否相同，运算后要把结果化为最简形式，避免出现没有约分的错误。
【难度系数】0.9

2. 计算：$\frac{b^2}{2a - b} + \frac{4a^2}{b - 2a} =$ .

$\boldsymbol{-2a - b}$

【分析】
拿到这道分式加法计算题，首先观察两个分式的分母：$2a-b$和$b-2a$互为相反数，因此第一步先利用分式的基本性质，将第二个分式的分母转化为与第一个分式相同的$2a-b$，变形时注意分子要同步变号保证分式值不变；转化为同分母分式后，按照同分母分式加减法则，分母不变，分子相加减；得到的分子$b^2-4a^2$符合平方差公式的结构，因式分解后和分母约分，最后化简即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式 &= \frac{b^2}{2a - b} - \frac{4a^2}{2a - b} \\&= \frac{b^2 - 4a^2}{2a - b} \\&= \frac{(b - 2a)(b + 2a)}{2a - b} \\&= \frac{-(2a - b)(2a + b)}{2a - b} \\&= -(2a + b) \\&= -2a - b\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-2a - b}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题关键是准确识别互为相反数的分母，统一分母的过程中注意符号不要出错，最后结合因式分解完成约分即可，计算时要仔细核对每一步的符号变化。
【难度系数】
0.7

3.计算：$\frac{a^2}{a-1} - a + 1 =$ .

解：
$\begin{aligned}\frac{a^2}{a-1} - a + 1&=\frac{a^2}{a-1} - (a - 1)\\&=\frac{a^2}{a-1} - \frac{(a-1)^2}{a-1}\\&=\frac{a^2 - (a^2 - 2a + 1)}{a-1}\\&=\frac{2a - 1}{a-1}\end{aligned}$
最终结果为$\frac{2a-1}{a-1}$。

【分析】本题是分式与整式的混合加减运算，思考步骤如下：首先将后两项$-a+1$变形为$-(a-1)$，把整式部分看作分母为1的式子，再与前面的分式进行通分，统一分母为$a-1$，随后对分子进行相减运算，运算时注意去括号的符号变化，最后化简分子即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}\frac{a^2}{a-1} - a + 1&=\frac{a^2}{a-1} - (a - 1)\\&=\frac{a^2}{a-1} - \frac{(a-1)^2}{a-1}\\&=\frac{a^2 - (a^2 - 2a + 1)}{a-1}\\&=\frac{a^2 - a^2 + 2a - 1}{a-1}\\&=\frac{2a - 1}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2a-1}{a-1}$
【知识点】
分式加减法、通分、完全平方公式
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式与整式加减的运算方法，解题的核心是将整式合理变形后通分，运算中要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7

4.计算：
(1)$\frac{b}{a}-\frac{a}{b}+\frac{a^2 + b^2}{ab}$；
(2)$\frac{x^2 +4x +4}{x^2 -4}-\frac{x}{x -2}$.

解：
(1) 原式$=\frac{b^2}{ab}-\frac{a^2}{ab}+\frac{a^2+b^2}{ab}$
$=\frac{b^2 - a^2 + a^2 + b^2}{ab}$
$=\frac{2b^2}{ab}$
$=\frac{2b}{a}$
(2) 原式$=\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)} - \frac{x}{x-2}$
$=\frac{x+2}{x-2} - \frac{x}{x-2}$
$=\frac{x+2 - x}{x-2}$
$=\frac{2}{x-2}$

【分析】
这两道题均为分式的加减运算题，解题思路如下：
(1) 属于异分母分式加减，首先确定三个分式的最简公分母为ab，将各分式通分为同分母分式后，按照“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”的规则运算，最后约分为最简分式即可。
(2) 首先观察第一个分式的分子、分母可分别用完全平方公式、平方差公式因式分解，先对第一个分式约分，即可得到和第二个分式同分母的分式，再按照同分母分式加减规则运算，最后化简为最简结果。
【解析】
(1) 原式$=\frac{b^2}{ab}-\frac{a^2}{ab}+\frac{a^2+b^2}{ab}$
$=\frac{b^2 - a^2 + a^2 + b^2}{ab}$
$=\frac{2b^2}{ab}$
$=\frac{2b}{a}$
(2) 原式$=\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)} - \frac{x}{x-2}$
$=\frac{x+2}{x-2} - \frac{x}{x-2}$
$=\frac{x+2 - x}{x-2}$
$=\frac{2}{x-2}$
【答案】
(1)$\frac{2b}{a}$；(2)$\frac{2}{x-2}$
【知识点】
分式的加减运算，因式分解，分式的约分
【点评】
本题是分式加减运算的常规题型，核心是掌握异分母分式加减需先转化为同分母分式的运算思路，运算过程中要注意分子运算的符号，最终结果必须化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.8

5.某同学计算 $a+2+\frac{a^2}{2-a}$时,是这样做的:
$a+2+\frac{a^2}{2-a}$
$=2+a+\frac{a^2}{2-a}$ ………第一步
$=(2+a)(2-a)+a^2$ ………第二步
$=2-a^2+a^2$ ………第三步
$=2.$ ………第四步
(1)该同学的做法从第步开始出现了错误,正确的计算结果是;
(2)计算:$\frac{x^2}{x-1}-x-1.$

解：
(1) 该同学的做法从第二步开始出现了错误，正确计算过程如下：
$\begin{aligned}a+2+\frac{a^2}{2-a}&=\frac{(a+2)(2-a)}{2-a}+\frac{a^2}{2-a}\\&=\frac{4-a^2+a^2}{2-a}\\&=\frac{4}{2-a}\end{aligned}$
正确的计算结果是$\frac{4}{2-a}$。
(2)
$\begin{aligned}\frac{x^2}{x-1}-x-1&=\frac{x^2}{x-1}-\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}\\&=\frac{x^2-(x^2-1)}{x-1}\\&=\frac{x^2-x^2+1}{x-1}\\&=\frac{1}{x-1}\end{aligned}$

【分析】
(1) 进行分式加减运算时，需遵循运算法则：异分母分式相加减，要先通分化为同分母分式，再保持分母不变，将分子相加减。该同学在第二步直接去掉了分母，混淆了分式运算和方程去分母的步骤，违反了分式加减的运算规则，因此从第二步开始出错。正确的思路是先将整式$a+2$看作分母为1的分式，通分后化为分母是$(2-a)$的分式，再与$\frac{a^2}{2-a}$相加，最后化简即可。
(2) 第二问的计算思路与第一问一致，先将整式部分$-x-1$变形为分母是$(x-1)$的分式，再和$\frac{x^2}{x-1}$相减，计算分子时注意正确使用平方差公式和去括号的符号规则，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 该同学从第二步开始出错，正确计算过程如下：
$\begin{aligned}a+2+\frac{a^2}{2-a}&=\frac{(a+2)(2-a)}{2-a}+\frac{a^2}{2-a}\\&=\frac{4-a^2+a^2}{2-a}\\&=\frac{4}{2-a}\end{aligned}$
(2) 计算$\frac{x^2}{x-1}-x-1$的过程如下：
$\begin{aligned}\frac{x^2}{x-1}-x-1&=\frac{x^2}{x-1}-\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}\\&=\frac{x^2-(x^2-1)}{x-1}\\&=\frac{x^2-x^2+1}{x-1}\\&=\frac{1}{x-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) 二；$\frac{4}{2-a}$
(2) $\frac{1}{x-1}$
【知识点】
分式的加减法；通分；平方差公式
【点评】
本题是分式加减运算的基础易错题，核心要区分分式运算和整式方程的运算差异，分式加减不能随意去掉分母，通分后要保留公分母作为结果的分母，计算时注意去括号的符号变化，合理运用乘法公式可简化计算过程。
【难度系数】
0.7

6. 提升题 若计算$\frac{y}{x+y}+\frac{\otimes}{x^2-y^2}$的结果是$\frac{y}{x-y}$，求“$\otimes$”代表的单项式。

解：
由题意得：
$\frac{\otimes}{x^2 - y^2} = \frac{y}{x-y} - \frac{y}{x+y}$
等式两边同乘$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，得：
$\otimes = y(x+y) - y(x-y)$
展开计算：
$\otimes = xy + y^2 - xy + y^2$
$\otimes = 2y^2$
答：“⊗”代表的单项式是$2y^2$。

【分析】
本题可利用加减运算的互逆关系求解：已知两个分式相加的结果与其中一个分式，求含⊗的分式，只需用结果减去已知的分式即可。观察两个分式的分母，分母$x^2-y^2$可利用平方差公式分解为$(x+y)(x-y)$，刚好是$\frac{y}{x-y}$和$\frac{y}{x+y}$的最简公分母，因此给等式两边同乘公分母即可消去分母，转化为整式运算，化简后就能得到⊗代表的单项式。
【解析】
解：由题意得：
$\frac{\otimes}{x^2 - y^2} = \frac{y}{x-y} - \frac{y}{x+y}$
等式两边同乘$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，得：
$\otimes = y(x+y) - y(x-y)$
展开计算：
$\otimes = xy + y^2 - xy + y^2$
合并同类项得：
$\otimes = 2y^2$
【答案】
$2y^2$
【知识点】
分式的加减法、平方差公式、整式的化简
【点评】
本题属于分式运算的逆向应用题型，解题关键是先分离出未知项，再利用分式通分规则将分式运算转化为整式运算，计算时需注意去括号的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6