9. 如图,一个正五棱柱的底面边长为2 cm,高为4 cm。
(1)这个棱柱共有多少个面？有多少个顶点？有多少条棱？
(2)n棱柱的顶点数、面数与棱的条数是多少？

解：
(1) 正五棱柱有2个底面，5个侧面，
总面数：$2+5=7$，
上下两个底面各有5个顶点，
总顶点数：$5×2=10$，
上下两个底面各有5条棱，另有5条侧棱，
总棱数：$5×2+5=15$。
答：这个棱柱共有7个面，10个顶点，15条棱。
(2) $n$棱柱的上下底面均为$n$边形，
顶点数为$2n$，
面数为$n+2$，
棱的条数为$3n$。

【分析】
解决本题首先要明确棱柱的基本结构：棱柱由2个完全相同的多边形底面和若干个长方形侧面组成。第(1)问针对正五棱柱，分别统计底面、侧面的数量求和得到总面数；上下两个五边形底面各有5个顶点，求和即可得到总顶点数；棱分为上下底面的边和侧棱两部分，分别计数再求和得到总棱数。第(2)问将具体的“五”替换为通用的“n”，通过正五棱柱的计数规律，归纳推导得出n棱柱对应的顶点数、面数、棱数的通用公式即可。
【解析】
(1) 正五棱柱有2个五边形底面，5个长方形侧面：
总面数：$2+5=7$（个）
每个底面有5个顶点，总顶点数：$5×2=10$（个）
每个底面有5条棱，另有5条侧棱，总棱数：$5×2+5=15$（条）
(2) 对于n棱柱，上下底面均为n边形：
每个底面有n个顶点，因此总顶点数为$2n$；
侧面共有n个，加上2个底面，因此总面数为$n+2$；
每个底面有n条棱，加上n条侧棱，因此总棱数为$2n+n=3n$。
【答案】
(1) 这个棱柱共有7个面，10个顶点，15条棱；
(2) n棱柱的顶点数为$2n$，面数为$n+2$，棱的条数为$3n$。
【知识点】
棱柱的构成、立体图形计数、归纳推理
【点评】
本题是立体图形入门的基础题，既考查对棱柱各组成部分的认知与计数能力，也考查从特殊到一般的规律归纳能力，有助于学生熟练掌握棱柱的基本性质。
【难度系数】
0.85

10. (1)补全如图所示的图形,使之成为长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的直观图;(不必写画法)
(2)若这个长方体框架的长、宽、高分别是4 dm、3 dm和5 dm,则需要多少分米的铁丝才能搭成这样的框架?(接缝处忽略不计)

解：
(1) 按要求补全线段，连接$CC_1$、$B_1C_1$、$D_1C_1$，被遮挡的线段用虚线表示，即可得到完整的长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的直观图。
(2) 长方体共有12条棱，其中长、宽、高各有4条，所需铁丝总长度为：
$4×(4+3+5)=48\ (\mathrm{dm})$
答：需要48分米的铁丝才能搭成这样的框架。

【分析】
(1) 补全长方体直观图时，首先要明确长方体的结构特点：长方体的12条棱中，相对的棱互相平行且长度相等，绘制直观图时被遮挡的棱需要用虚线表示。观察现有图形，缺少侧棱$CC_1$以及下底面的$B_1C_1$、$D_1C_1$，按照平行等长的规则补全对应线段即可。
(2) 求搭框架所需铁丝长度，本质是求长方体的棱长总和。首先明确长方体的12条棱可分为4组，每组各包含1条长、1条宽、1条高，因此棱长总和公式为$4×(长+宽+高)$，代入题目给出的长宽高数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 补全操作：作侧棱$CC_1$，使$CC_1$与$AA_1$平行且长度相等，再依次连接$B_1C_1$、$D_1C_1$，其中被遮挡的线段用虚线表示，即可得到完整的长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$直观图。
(2) 长方体共有12条棱，长、宽、高各有4条，所需铁丝总长度就是长方体的棱长总和：
$4×(4+3+5)=4×12=48\ (\mathrm{dm})$
【答案】
(1) 连接$CC_1$、$B_1C_1$、$D_1C_1$，遮挡线段用虚线表示，即可得到完整直观图（图略）；
(2) $\boxed{48\ \mathrm{dm}}$
【知识点】
1. 长方体的特征
2. 棱长和计算
3. 直观图绘制
【点评】
本题属于基础习题，围绕长方体的基本性质命题，第一问考查立体图形直观图的绘制规范，需注意虚线的使用规则；第二问考查棱长和的实际应用，只要掌握长方体棱的分组特征即可快速求解，是巩固立体图形基础认知的典型题。
【难度系数】
0.85