基础知识·预习
问题1 整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式有什么关系？
问题2 举例说明如何运用平方差公式分解因式。

解：
问题1：
整式乘法的平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，运算方向是将两个整式的乘积转化为二次多项式的和差形式；
因式分解的平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，运算方向是将符合特征的二次多项式转化为两个整式的乘积形式；
二者是方向相反的互逆恒等变形。
问题2：
举例：分解因式$9x^2 - 25$
步骤1：先将多项式的两项改写为平方的形式，验证是否满足平方差公式的使用条件：
$9x^2=(3x)^2$，$25=5^2$，原式可变形为$(3x)^2 - 5^2$，属于两个数的平方差，符合平方差公式的结构特征。
步骤2：对应平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令公式中的$a=3x$，$b=5$，代入公式可得：
$9x^2 - 25=(3x+5)(3x-5)$。

【典型例题】分解因式：
(1)$x^2 - \frac{1}{36}y^2$；(2)$9a^2 -16b^2$；
(3)$-4a^2b^2 +1$；
(4)$9(a+2b)^2 -4(a-b)^2$.
思路导引 先整理成两数平方差的形式，再运用平方差公式进行因式分解。
【解】(1)$x^2 - \frac{1}{36}y^2 = x^2 - (\frac{1}{6}y)^2$
$=(x+\frac{1}{6}y)(x-\frac{1}{6}y)$.
(2)$9a^2 -16b^2=(3a)^2-(4b)^2$
$=(3a+4b)(3a-4b)$.
(3)$-4a^2b^2 +1=1 -4a^2b^2$
$=(1+2ab)(1-2ab)$.
(4)$9(a+2b)^2 -4(a-b)^2$
$=[3(a+2b)]^2 - [2(a-b)]^2$
$=[3(a+2b)+2(a-b)][3(a+2b)-2(a-b)]=(5a+4b)(a+8b)$.

解：
(1)
$x^2 - \frac{1}{36}y^2 = x^2 - (\frac{1}{6}y)^2$
$= (x + \frac{1}{6}y)(x - \frac{1}{6}y)$
(2)
$9a^2 - 16b^2 = (3a)^2 - (4b)^2$
$= (3a + 4b)(3a - 4b)$
(3)
$-4a^2b^2 + 1 = 1 - (2ab)^2$
$= (1 + 2ab)(1 - 2ab)$
(4)
$9(a+2b)^2 - 4(a-b)^2$
$= [3(a+2b)]^2 - [2(a-b)]^2$
$= [3(a+2b) + 2(a-b)][3(a+2b) - 2(a-b)]$
$= (3a + 6b + 2a - 2b)(3a + 6b - 2a + 2b)$
$= (5a + 4b)(a + 8b)$

1. 如果实数$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}x - y = -\dfrac{1}{2}, \\2x + 2y = 5,\end{cases}$那么$x^2 - y^2$的值为________。
2. 分解因式：
(1)$16 - 9a^2$；(2)$4m^2 - n^2$；
(3)$(a - b)^2 - 4b^2$；(4)$36(x - y)^2 - x^4$。

1. $-\frac{5}{4}$
【解析】根据题意，得$x-y=-\frac{1}{2},x+y=\frac{5}{2}$,所以 $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = \frac{5}{2} × (-\frac{1}{2})=-\frac{5}{4}$.
2.【解】(1)$16-9a^2=4^2-(3a)^2=(4+3a)(4-3a)$.
(2)$4m^2-n^2=(2m)^2-n^2=(2m+n)(2m-n)$.
(3)$(a-b)^2-4b^2=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b)$.
(4)$36(x-y)^2-x^4=(6x-6y)^2-(x^2)^2=(6x-6y+x^2)(6x-6y-x^2)$.