登录
1. 对于反比例函数 $y=\frac{2}{x}$，下列结论正确的是 （
A.点(2,2)在该函数的图象上
B.函数图象的两支分别位于第二、第四象限
C.当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
D.当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
D
）A.点(2,2)在该函数的图象上
B.函数图象的两支分别位于第二、第四象限
C.当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
D.当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查反比例函数的相关性质，解题时先明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k$的取值，再结合性质逐一判断每个选项：首先判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数，验证纵坐标是否匹配；其次根据$k$的正负判断图象所在象限；最后根据$k$的正负判断不同象限内函数的增减性即可得出正确选项。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，可知比例系数$k=2＞0$。
选项A：把$x=2$代入函数解析式，得$y=\frac{2}{2}=1≠2$，因此点$(2,2)$不在该函数图象上，A错误；
选项B：当$k＞0$时，反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限，B错误；
选项C：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，因此当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，C错误；
选项D：由反比例函数的增减性可知，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查反比例函数的基本性质，解题关键是明确比例系数$k$的取值对图象位置、函数增减性的影响，结合代入验证法即可快速完成判断。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的相关性质，解题时先明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k$的取值，再结合性质逐一判断每个选项：首先判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数，验证纵坐标是否匹配；其次根据$k$的正负判断图象所在象限；最后根据$k$的正负判断不同象限内函数的增减性即可得出正确选项。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，可知比例系数$k=2＞0$。
选项A：把$x=2$代入函数解析式，得$y=\frac{2}{2}=1≠2$，因此点$(2,2)$不在该函数图象上，A错误；
选项B：当$k＞0$时，反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限，B错误；
选项C：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，因此当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，C错误；
选项D：由反比例函数的增减性可知，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查反比例函数的基本性质，解题关键是明确比例系数$k$的取值对图象位置、函数增减性的影响，结合代入验证法即可快速完成判断。
【难度系数】
0.8
2.若点$A(-3,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(3,y_3)$都在反比例函数$y=-\frac{9}{x}$的图象上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
D
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
答案
2. D
解析
【分析】
要比较反比例函数上三个点的纵坐标大小，有两种常用解题思路：一是直接将各点横坐标代入函数解析式，求出对应的y值后直接比较大小；二是结合反比例函数的图象性质，根据各点所在象限及函数的增减性判断大小，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一：代入求值法
将各点横坐标分别代入反比例函数$y=-\frac{9}{x}$：
当$x=-3$时，$y_1=-\frac{9}{-3}=3$；
当$x=1$时，$y_2=-\frac{9}{1}=-9$；
当$x=3$时，$y_3=-\frac{9}{3}=-3$。
比较数值大小：$-9＜-3＜3$，即$y_2＜y_3＜y_1$。
方法二：性质判断法
反比例函数$y=-\frac{9}{x}$中$k=-9＜0$，因此函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
点$A(-3,y_1)$的横坐标为负，位于第二象限，故$y_1＞0$；
点$B(1,y_2)$、$C(3,y_3)$的横坐标为正，位于第四象限，故$y_2＜0,y_3＜0$；
在第四象限内，因为$1＜3$，所以$y_2＜y_3$，综上可得$y_2＜y_3＜y_1$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题方法灵活，既可以直接计算数值比较，也可以借助函数性质快速判断，能有效考查对反比例函数相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要比较反比例函数上三个点的纵坐标大小，有两种常用解题思路：一是直接将各点横坐标代入函数解析式，求出对应的y值后直接比较大小；二是结合反比例函数的图象性质，根据各点所在象限及函数的增减性判断大小，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一：代入求值法
将各点横坐标分别代入反比例函数$y=-\frac{9}{x}$：
当$x=-3$时，$y_1=-\frac{9}{-3}=3$；
当$x=1$时，$y_2=-\frac{9}{1}=-9$；
当$x=3$时，$y_3=-\frac{9}{3}=-3$。
比较数值大小：$-9＜-3＜3$，即$y_2＜y_3＜y_1$。
方法二：性质判断法
反比例函数$y=-\frac{9}{x}$中$k=-9＜0$，因此函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
点$A(-3,y_1)$的横坐标为负，位于第二象限，故$y_1＞0$；
点$B(1,y_2)$、$C(3,y_3)$的横坐标为正，位于第四象限，故$y_2＜0,y_3＜0$；
在第四象限内，因为$1＜3$，所以$y_2＜y_3$，综上可得$y_2＜y_3＜y_1$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题方法灵活，既可以直接计算数值比较，也可以借助函数性质快速判断，能有效考查对反比例函数相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
【典型例题2】如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数$y_1=kx+b$的图象与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$的图象相交于点A和B(-4,-3),已知点A的横坐标为2.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)观察图象,直接写出当$y_1≤y_2$时x的取值范围.
(3)点C为x轴上一动点,连接AC,BC.若$△ ABC$的面积为18,求点C的坐标.
思路导引 (1)用待定系数法求解.
(2)观察图象,得出答案.
(3)设一次函数图象与x轴相交于点D,得出D(-2,0).设点C的坐标,求出CD的长,然后根据三角形的面积公式列出方程,求解即可.
【解】(1)把$(-4,-3)$代入$y_2=\frac{m}{x}$,得$-3=\frac{m}{-4}$.解得$m=12$.
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{12}{x}$.
把$x=2$代入$y_2=\frac{12}{x}$,得$y_2=\frac{12}{2}=6$.
∴$A(2,6)$.
把点A和点B的坐标分别代入$y_1=kx+b$,得$\begin{cases}2k+b=6,\\-4k+b=-3.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{3}{2},\\b=3.\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y_1=\frac{3}{2}x+3$.
(2)$x≤-4$或$0＜x≤2$.
(3)如图,设$y_1=\frac{3}{2}x+3$的图象与x轴相交于点D.
把$y_1=0$代入$y_1=\frac{3}{2}x+3$,得$0=\frac{3}{2}x+3$.
解得$x=-2$.
∴$D(-2,0)$.
设$C(t,0)$,则$CD=|t+2|$.
∵$△ ABC$的面积为18,$S_{△ ABC}=S_{△ CDA}+S_{△ CDB}$,
∴$\frac{1}{2}|t+2|×[6-(-3)]=18$.
解得$t=2$或$t=-6$.
∴点C的坐标为$(2,0)$或$(-6,0)$.
规律方法 反比例函数与一次函数的综合题常涉及特殊线段、三角形面积等.解题关键是找到特殊点,再结合几何图形的相关知识进行求解.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)观察图象,直接写出当$y_1≤y_2$时x的取值范围.
(3)点C为x轴上一动点,连接AC,BC.若$△ ABC$的面积为18,求点C的坐标.
思路导引 (1)用待定系数法求解.
(2)观察图象,得出答案.
(3)设一次函数图象与x轴相交于点D,得出D(-2,0).设点C的坐标,求出CD的长,然后根据三角形的面积公式列出方程,求解即可.
【解】(1)把$(-4,-3)$代入$y_2=\frac{m}{x}$,得$-3=\frac{m}{-4}$.解得$m=12$.
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{12}{x}$.
把$x=2$代入$y_2=\frac{12}{x}$,得$y_2=\frac{12}{2}=6$.
∴$A(2,6)$.
把点A和点B的坐标分别代入$y_1=kx+b$,得$\begin{cases}2k+b=6,\\-4k+b=-3.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{3}{2},\\b=3.\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y_1=\frac{3}{2}x+3$.
(2)$x≤-4$或$0＜x≤2$.
(3)如图,设$y_1=\frac{3}{2}x+3$的图象与x轴相交于点D.
把$y_1=0$代入$y_1=\frac{3}{2}x+3$,得$0=\frac{3}{2}x+3$.
解得$x=-2$.
∴$D(-2,0)$.
设$C(t,0)$,则$CD=|t+2|$.
∵$△ ABC$的面积为18,$S_{△ ABC}=S_{△ CDA}+S_{△ CDB}$,
∴$\frac{1}{2}|t+2|×[6-(-3)]=18$.
解得$t=2$或$t=-6$.
∴点C的坐标为$(2,0)$或$(-6,0)$.
规律方法 反比例函数与一次函数的综合题常涉及特殊线段、三角形面积等.解题关键是找到特殊点,再结合几何图形的相关知识进行求解.
答案
(1) 把$(-4,-3)$代入$y_2=\frac{m}{x}$,得$-3=\frac{m}{-4}$.解得$m=12$.
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{12}{x}$.
把$x=2$代入$y_2=\frac{12}{x}$,得$y_2=\frac{12}{2}=6$.
∴$A(2,6)$.
把点A和点B的坐标分别代入$y_1=kx+b$,得$\begin{cases}2k+b=6,\\-4k+b=-3.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{3}{2},\\b=3.\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y_1=\frac{3}{2}x+3$.
(2) $x≤-4$或$0＜x≤2$.
(3) 如图,设$y_1=\frac{3}{2}x+3$的图象与x轴相交于点D.
把$y_1=0$代入$y_1=\frac{3}{2}x+3$,得$0=\frac{3}{2}x+3$.
解得$x=-2$.
∴$D(-2,0)$.
设$C(t,0)$,则$CD=|t+2|$.
∵$△ ABC$的面积为18,$S_{△ ABC}=S_{△ CDA}+S_{△ CDB}$,
∴$\frac{1}{2}|t+2|×[6-(-3)]=18$.
解得$t=2$或$t=-6$.
∴点C的坐标为$(2,0)$或$(-6,0)$.
规律方法 反比例函数与一次函数的综合题常涉及特殊线段、三角形面积等.解题关键是找到特殊点,再结合几何图形的相关知识进行求解.
解析
【分析】
(1) 求函数解析式可使用待定系数法：反比例函数已知过点B(-4,-3)，将B点坐标代入反比例函数表达式即可求出m的值，得到反比例函数解析式；再将A点横坐标2代入反比例函数，求出A点纵坐标，得到完整的A点坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组求出k、b的值，即可得到一次函数解析式。
(2) $y_1≤y_2$的几何意义是一次函数图像位于反比例函数图像下方（含交点）的区域，结合A、B两点的横坐标，分x＜0和x＞0两个区间观察图像，同时注意反比例函数自变量x≠0的限制，即可得到对应x的取值范围。
(3) 求解与x轴上动点相关的三角形面积，可先找到一次函数与x轴的交点D，将$△ ABC$的面积拆分为$△ CDA$和$△ CDB$的面积和：两个三角形共底CD，高分别为A、B两点到x轴的距离，设C点坐标为(t,0)，用含t的绝对值表示CD的长度，根据面积为18列方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1) 把$(-4,-3)$代入$y_2=\frac{m}{x}$,得$-3=\frac{m}{-4}$，解得$m=12$。
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{12}{x}$。
把$x=2$代入$y_2=\frac{12}{x}$,得$y_2=\frac{12}{2}=6$，
∴$A(2,6)$。
把点A和点B的坐标分别代入$y_1=kx+b$,得$\begin{cases}2k+b=6,\\-4k+b=-3.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{3}{2},\\b=3.\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y_1=\frac{3}{2}x+3$。
(2) 观察图像，一次函数图像位于反比例函数图像下方（含交点）的区域对应x的取值为：$x≤-4$或$0＜x≤2$。
(3) 设$y_1=\frac{3}{2}x+3$的图象与x轴相交于点D。
把$y_1=0$代入$y_1=\frac{3}{2}x+3$,得$0=\frac{3}{2}x+3$，解得$x=-2$，
∴$D(-2,0)$。
设$C(t,0)$,则$CD=|t+2|$。
∵$△ ABC$的面积为18，$S_{△ ABC}=S_{△ CDA}+S_{△ CDB}$，
∴$\frac{1}{2}|t+2|×[6-(-3)]=18$，解得$t=2$或$t=-6$。
∴点C的坐标为$(2,0)$或$(-6,0)$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y_2=\frac{12}{x}$，一次函数解析式为$y_1=\frac{3}{2}x+3$；
(2) $x≤-4$或$0＜x≤2$；
(3) 点C的坐标为$(2,0)$或$(-6,0)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数与不等式，坐标系内面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题，既考查了待定系数法求函数解析式的基础能力，也考查了数形结合思想的应用，以及动点背景下的面积计算，解题时要注意反比例函数自变量的取值限制，涉及动点距离计算时需用绝对值避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求函数解析式可使用待定系数法：反比例函数已知过点B(-4,-3)，将B点坐标代入反比例函数表达式即可求出m的值，得到反比例函数解析式；再将A点横坐标2代入反比例函数，求出A点纵坐标，得到完整的A点坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组求出k、b的值，即可得到一次函数解析式。
(2) $y_1≤y_2$的几何意义是一次函数图像位于反比例函数图像下方（含交点）的区域，结合A、B两点的横坐标，分x＜0和x＞0两个区间观察图像，同时注意反比例函数自变量x≠0的限制，即可得到对应x的取值范围。
(3) 求解与x轴上动点相关的三角形面积，可先找到一次函数与x轴的交点D，将$△ ABC$的面积拆分为$△ CDA$和$△ CDB$的面积和：两个三角形共底CD，高分别为A、B两点到x轴的距离，设C点坐标为(t,0)，用含t的绝对值表示CD的长度，根据面积为18列方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1) 把$(-4,-3)$代入$y_2=\frac{m}{x}$,得$-3=\frac{m}{-4}$，解得$m=12$。
∴反比例函数的解析式为$y_2=\frac{12}{x}$。
把$x=2$代入$y_2=\frac{12}{x}$,得$y_2=\frac{12}{2}=6$，
∴$A(2,6)$。
把点A和点B的坐标分别代入$y_1=kx+b$,得$\begin{cases}2k+b=6,\\-4k+b=-3.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{3}{2},\\b=3.\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y_1=\frac{3}{2}x+3$。
(2) 观察图像，一次函数图像位于反比例函数图像下方（含交点）的区域对应x的取值为：$x≤-4$或$0＜x≤2$。
(3) 设$y_1=\frac{3}{2}x+3$的图象与x轴相交于点D。
把$y_1=0$代入$y_1=\frac{3}{2}x+3$,得$0=\frac{3}{2}x+3$，解得$x=-2$，
∴$D(-2,0)$。
设$C(t,0)$,则$CD=|t+2|$。
∵$△ ABC$的面积为18，$S_{△ ABC}=S_{△ CDA}+S_{△ CDB}$，
∴$\frac{1}{2}|t+2|×[6-(-3)]=18$，解得$t=2$或$t=-6$。
∴点C的坐标为$(2,0)$或$(-6,0)$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y_2=\frac{12}{x}$，一次函数解析式为$y_1=\frac{3}{2}x+3$；
(2) $x≤-4$或$0＜x≤2$；
(3) 点C的坐标为$(2,0)$或$(-6,0)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数与不等式，坐标系内面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题，既考查了待定系数法求函数解析式的基础能力，也考查了数形结合思想的应用，以及动点背景下的面积计算，解题时要注意反比例函数自变量的取值限制，涉及动点距离计算时需用绝对值避免漏解。
【难度系数】
0.6
