二次函数与一元二次方程的关系
(1)如果抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与x轴有公共点，公共点的横坐标是 $ x_0 $，那么当 $ x = x_0 $ 时，函数值是0，因此 是一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的一个根。
(2)二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象
与x轴的公共点的情况有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点,分别对应着一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根的三种情况: 实数根,有两个 的实数根,有两个 的实数根。

(1) $x_0$
(2) 没有 相等 不相等

典例1 若二次函数$y=x^2 -3x +k$（k为常数）的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是（）。

A.$k≥\frac{9}{4}$
B.$k≤\frac{9}{4}$
C.$k＞\frac{9}{4}$
D.$k＜\frac{9}{4}$

答案D
解析 $\because$二次函数$y=x^2 - 3x + k$的图象与$x$轴有两个公共点，
$\therefore \Delta = (-3)^2 - 4k ＞ 0$，
$\therefore k ＜ \frac{9}{4}$。故选D.

举一反三 已知抛物线$y=x^2 - bx + c$与$x$轴交于点$A(1,0),B(-3,0)$,则关于$x$的方程$x^2 - bx + c = 0$的根是().

A.$-1,-3$
B.$-1,3$
C.$1,-3$
D.$1,3$

C

典例2 在某次航空航天博览会上，某型号飞机进行飞行表演，在其中一个表演中，飞机从低空迅速拉升，冲向高空，到达
预定高度后，随即向下俯冲，到达起始高度（开始拉升时的高度）后拉平，沿水平方向飞出.该表演的飞行轨迹可近似看成一条如图所示的抛物线.以飞机进入该表演的起始位置为坐标原点，飞行的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)满足二次函数关系.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)飞机完成该表演时，距离该表演的起始位置的水平距离是多少？

解 (1)设$y$关于$x$的函数解析式为$y=ax^2 + bx + c(a≠0)$，
$\because$点$(0,0),(5,437.5)$和$(10,750)$都在该函数的图象上，
$\therefore \begin{cases} c=0, \\ 25a + 5b + c = 437.5, \\ 100a + 10b + c = 750, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-2.5, \\ b=100, \\ c=0. \end{cases}$
$\therefore$该函数的解析式为$y=-2.5x^2 + 100x$.
(2)当$y=0$时，$-2.5x^2 + 100x = 0$，
解得$x_1=0$(舍去)，$x_2=40$，
$\therefore$飞机完成该表演时，距离该表演的起始位置的水平距离是40 m.