1. 抛物线 $ y = ax^2 $ 与 $ y = a(x - h)^2 $ 的平移变换
二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 的图象可以看成由 $ y = ax^2 $ 的图象向 (h＜0) 或向 (h＞0) 平移|h|个单位长度得到的.
2. 二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 的图象和性质
| 二次函数 | $ y = a(x - h)^2 $ (a＞0) | $ y = a(x - h)^2 $ (a＜0) |
| --- | --- | --- |
| 图象 | | |
续 表
| 二次函数 | $ y = a(x - h)^2 $ (a＞0) | $ y = a(x - h)^2 $ (a＜0) |
| --- | --- | --- |
| 开口方向 | 向 | 向 |
| 对称轴 | 直线 | |
| 顶点坐标 | | |
| 增减性 | 当 $ x ＜ h $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而 ；当 $ x ＞ h $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而 | 当 $ x ＜ h $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而 ；当 $ x ＞ h $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而 |
| 最值 | 当 $ x = h $ 时，$ y $ 取最小值，最小值为 | 当 $ x = h $ 时，$ y $ 取最大值，最大值为 |

1. 左 右
2. 上 下 直线$x=h$ $(h,0)$ 减小 增大 增大 减小 0 0

典例1 把抛物线 $y=x^2$ 向左平移1个单位长度，所得抛物线为().

A.$y=x^2+1$
B.$y=(x+1)^2$
C.$y=x^2-1$
D.$y=(x-1)^2$

B

根据二次函数图象平移“左加右减”的规则，将抛物线$y=x^2$向左平移1个单位长度，把原解析式中的$x$替换为$x+1$，可得平移后抛物线的解析式为$y=(x+1)^2$。

举一反三 将二次函数$y=-3x^2$的图象平移后，得到二次函数$y=-3(x-1)^2$的图象，平移的方式可以是().

A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向上平移1个单位长度
D.向下平移1个单位长度

B

典例2 对于二次函数$y=-2(x+3)^2$的图象，下列说法正确的是().

A.开口向上
B.对称轴是直线$x=3$
C.当$x＞-4$时，$y$随$x$的增大而减小
D.顶点坐标为$(-3,0)$

D

对于二次函数$y=a(x-h)^2$，本题中$a=-2$，$h=-3$：
1. 由$a=-2＜0$，可知抛物线开口向下，A错误；
2. 该函数对称轴为直线$x=h=-3$，B错误；
3. 抛物线开口向下，对称轴为$x=-3$，当$-4＜x＜-3$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞-4$时$y$随$x$增大而减小的结论不成立，C错误；
4. 该函数顶点坐标为$(h,0)$，即$(-3,0)$，D正确。

举一反三 已知抛物线 $y=(x-1)^2$，当$x＞m$时，$y$随$x$的增大而增大，写出一个符合题意的$m$的值：。

2(答案不唯一)