典例2 如图, 在$\odot O$中,AB,CD为两条弦,且$AB // CD$,直径MN经过AB的中点E,交CD于点F.
(1)F是CD的中点吗?并说明理由.
(2)$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$吗?

典例解析

解：
(1) F是CD的中点，理由如下：
∵ E是AB的中点，MN是⊙O的直径，AB不是直径，
∴ 由垂径定理的推论可得 $MN⊥ AB$。
又∵ $AB// CD$，
∴ $MN⊥ CD$。
∵ MN是⊙O的直径，且$MN⊥ CD$，
∴ 根据垂径定理，F是CD的中点。
(2) $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，理由如下：
∵ 直径$MN⊥ AB$，
∴ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$。
∵ 直径$MN⊥ CD$，
∴ $\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{DM}$。
∴ $\overset{\frown}{CM}-\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}-\overset{\frown}{BM}$，
即 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。

举一反三 如图，AB是$\odot O$的弦，OC交AB于中点D.若$AB=8$，$OD=3$，求$\odot O$的半径.

$\because GF=19\ \mathrm{m},$
$\therefore OG=GF-OF=19-9=10(\mathrm{m}),$
$\therefore CG=\sqrt{OC^2 - OG^2} = \sqrt{15^2 - 10^2} = 5\sqrt{5}\ (\mathrm{m}), \therefore CD=2CG=10\sqrt{5}\ \mathrm{m},$
故此时水面CD的宽为$10\sqrt{5}\ \mathrm{m}.$
典例2
解 (1)F是CD的中点.理由如下：
$\because$直径MN平分不是直径的弦AB，
$\therefore MN⊥ AB.$
$\because AB// CD, \therefore MN⊥ CD,$
$\therefore CF=FD,$
$\therefore F是CD的中点.$
(2)由$MN⊥ AB, MN⊥ CD$,得$\overset{\frown}{AN} = \overset{\frown}{BN}, \overset{\frown}{CN} = \overset{\frown}{DN},$
$\therefore \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}.$

解 如图,连接OA，
∵D是弦AB的中点，
∴OC⊥AB,AD=BD=4.
在Rt△OAD中,OD=3，
OA²=AD²+OD²,即OA²=4²+3²，
∴OA=5,即⊙O的半径为5.