25.(月考·天津南开翔宇学校)(本小题10分)平面直角坐标系中,点A,C分别是x轴和y轴上的动点,AC=BC,∠ACB=90°.
(1)如图①,若A(-6,0),C(0,3),求点B的坐标.
(2)如图②,设BC交x轴于点D,AD=8,若AD平分∠BAC,求点B的纵坐标.
(3)如图③,当点C运动到原点O时,∠BAO的平分线交y轴于点E,F(t,0),将△EOF沿EF翻折,FO的对应边的延长线交AB于点G,H为线段AG上一点,且EF=EH,求FG+HG的值(用含t的式子表示).

25.【解】(1)如图①,过点 B 作 BH⊥y 轴于点 H,
∵ A(−6,0),C(0,3),
∴ OA=6,OC=3.
∵ ∠ACB=∠BHC=90°,
∴ ∠ACO + ∠HCB = ∠HCB + ∠CBH=90°,
∴ ∠ACO=∠CBH.
在△AOC 和△CHB 中,
$\begin{cases} ∠AOC=∠CHB, \\ ∠ACO=∠CBH, \\ AC=CB, \end{cases}$
∴ △AOC≌△CHB(AAS),
∴ BH=OC=3,CH=OA=6,
∴ OH=3,则 B(3,−3).
(2)如图②,过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E,并延长交 AC 的延长线于点 F.
∵ AD=8,AD 平分∠BAC,
∴ ∠BAE=∠FAE.
在△ABE 和△AFE 中,
$\begin{cases} ∠AEB=∠AEF=90°, \\ AE=AE, \\ ∠BAE=∠FAE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△AFE(ASA),
∴ BE=FE.
∵ ∠ACB=∠AEB=90°,
∴ ∠CAD=∠CBF.
在△ACD 和△BCF 中,
$\begin{cases} ∠ACD=∠BCF, \\ AC=BC, \\ ∠CAD=∠CBF, \end{cases}$
∴ △ACD≌△BCF(ASA),
∴ BF=AD=8.
又
∵ BE=FE,
∴ BE=4,
∴ 点 B 的纵坐标为−4.
(3)如图③,连接 EG,过点 E 作 EM⊥AB 于点 M,EN⊥FG 于点 N,
∵ 点 E 在∠BAO 的平分线上,EF 平分∠GFO,
∴ EM=EN=EO.
在 Rt△ENG 和 Rt△EMG 中,
$\begin{cases} EN=EM, \\ EG=EG, \end{cases}$
∴ Rt△ENG≌Rt△EMG(HL),
∴ MG=NG.
在 Rt△ENF 和 Rt△EMH 中,
$\begin{cases} EN=EM, \\ EF=EH, \end{cases}$
∴ Rt△ENF≌Rt△EMH(HL),
∴ FN=HM,
∴ FG+HG=FN+NG+HG=FN+MG+HG=FN+HM=2FN.
由折叠可知 FN=FO,
∴ FG+HG=2FO.
∵ F(t,0),
∴ FO=−t.
∴ FG+HG=−2t.