13. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = BC$,$\angle ABC = 100^{\circ}$,边 $BA$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $m^{\circ}(0 ＜ m ＜ 180)$ 得到线段 $BD$,连接 $AD$,$DC$,若 $\triangle ADC$ 为等腰三角形,则 $m$ 所有可能的取值是____.

130或100或160　解析:由旋转可得BD=AB=BC。∵△ADC为等腰三角形,∴分三种情况讨论。①当DA=DC时,∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$(360°−∠ABC)=130°,∴m=130。②当AD=AC时,∠ABD=∠ABC=100°,∴m=100。③当CA=CD时,∠CBD=∠ABC=100°,∴∠ABD=360°−100°−100°=160°,∴m=160。综上所述,m所有可能的取值为130或100或160。

14. 如图,$\angle BOC = 60^{\circ}$,点 $A$ 是 $BO$ 延长线上的一点,$OA = 10$ cm,动点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $AB$ 以 2 cm/s 的速度移动,动点 $Q$ 从点 $O$ 出发沿 $OC$ 以 1 cm/s 的速度移动,如果点 $P$,$Q$ 同时出发,用 $t(\text{s})$ 表示移动的时间,当 $t = $____s 时,$\triangle POQ$ 是等腰三角形.

$\frac{10}{3}$或10　解析:当PO=QO且P点在AO上时,△POQ是等腰三角形。如图①所示,∵PO=AO−AP=10−2t,OQ=t,∴10−2t=t,解得t=$\frac{10}{3}$。当PO=QO且P点在AO延长线上时,∵∠COB=60°,∴△POQ是等边三角形,如图②所示。∵PO=AP−AO=2t−10,OQ=t,∴当PO=QO时,2t−10=t,解得t=10。故答案为$\frac{10}{3}$或10。
　　　　 　　

15. (2023·泰州中考)如图,$\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$\angle A = 30^{\circ}$,射线 $CP$ 从射线 $CA$ 开始绕点 $C$ 逆时针旋转 $\alpha$ 角 $(0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 75^{\circ})$,与射线 $AB$ 相交于点 $D$,将 $\triangle ACD$ 沿射线 $CP$ 翻折至 $\triangle A'CD$ 处,射线 $CA'$ 与射线 $AB$ 相交于点 $E$.若 $\triangle A'DE$ 是等腰三角形,则 $\angle \alpha$ 的度数为____.

45°或22.5°或67.5°　解析:由翻折得∠C'A'D=∠A=30°,∠ACD=∠A'CD=∠α,∴∠ACE=2∠α。∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ACB=∠ABC=$\frac{180°−∠A}{2}$=75°。当DE=A'E时,如图①,∴∠A'DE=∠A'=30°,∴∠AEC=∠A'DE+∠A'=60°。在△ACE中,∵∠A+∠ACE+∠AEC=180°,∴30°+2∠α+60°=180°,∴∠α=45°。当DE=DA'时,则∠DEA'=∠A'=30°。∵∠A=30°,∴∠DEA'=∠A,∴AC//A'E,这与AC与A'E交于点C矛盾,这种情形不存在,舍去。当A'E=A'D时,有两种情形:一是点E在线段AB上时,如图②,∴∠A'DE=∠A'ED=$\frac{180°−∠A'}{2}$=75°,∴∠AEC=180°−∠A'ED=105°。在△ACE中,∵∠A+∠ACE+∠AEC=180°,∴30°+2∠α+105°=180°,∴∠α=22.5°。二是点E在线段AB的延长线上时,如图③,∴∠A'DE=∠A'ED。又∵∠A'DE+∠A'ED=∠C'A'D=30°,∴∠A'ED=15°。在△ACE中,∵∠A+∠ACE+∠AEC=180°,∴30°+2∠α+15°=180°,∴∠α=67.5°。综上所述,∠α的度数为45°或22.5°或67.5°。
　　　　
　　　　

16. (苏州中考)定义:一个三角形的一边长是另一边长的 2 倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰 $\triangle ABC$ 是“倍长三角形”,底边 $BC$ 的长为 3,则腰 $AB$ 的长为____.

6　解析:∵△ABC是等腰三角形,底边BC=3,∴AB=AC。当AB=AC=2BC时,△ABC是“倍长三角形”;当BC=2AB=2AC时,AB+AC=BC,根据三角形三边关系,此时构不成三角形，不符合题意,∴当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3时,腰AB的长为6。

17. 新趋势 新定义 【定义】数学课上,陈老师对我们说,如果 1 条线段将一个三角形分成 2 个等腰三角形,那么这 1 条线段就称为这个三角形的“好线”,如果 2 条线段将一个三角形分成 3 个等腰三角形,那么这 2 条线段就称为这个三角形的“好好线”.
【理解】(1)如图①,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 27^{\circ}$,$\angle C = 72^{\circ}$,请你在这个三角形中画出它的“好线”,并标出等腰三角形顶角的度数.
(2)如图②,已知 $\triangle ABC$ 是一个顶角为 $45^{\circ}$ 的等腰三角形,请你在这个三角形中画出它的“好好线”,并标出所分得的等腰三角形底角的度数.
【应用】(3)在 $\triangle ABC$ 中,已知一个内角为 $42^{\circ}$,若它只有“好线”,请你写出这个三角形最大内角的所有可能值:____.
(4)在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 27^{\circ}$,$AD$ 和 $DE$ 分别是 $\triangle ABC$ 的“好好线”,点 $D$ 在 $BC$ 边上,点 $E$ 在 $AB$ 边上,且 $AD = DC$,$BE = DE$,请你根据题意画出示意图,并求 $\angle B$ 的度数.

(1) 如图所示。
　　　　　　　　　　
(2) 如图所示(任选一种即可)。
　　
(3) 84°,117°,124°,103.5°,126°　解析:如图①,AD=CD,CD=BC,∠A=42°,则△ACD和△BCD都是等腰三角形,∴∠B=84°,∠ACB=54°,∴最大内角为84°。如图②,AD=BD,BD=CD,∠A=42°,则△ABD和△BCD都是等腰三角形,∴∠ABC=90°,∠C=48°,∴最大内角为90°,但此时△ABC既有“好线”又有“好线”，应舍去。如图③,AB=AD,BD=CD,∠A=42°,则△ABD和△BCD都是等腰三角形,∴∠ABC=103.5°,∠C=34.5°,∴最大内角为103.5°。如图④,AB=BD,BD=CD,∠A=42°,则△ABD和△BCD都是等腰三角形,∴∠ABC=117°,∠C=21°,∴最大内角为117°。如图⑤,AB=BD,AD=CD,∠BAC=42°,则△ABD和△ADC都是等腰三角形，∠B=124°,最大内角为124°。如图⑥,AD=BD,BC=CD,∠A=42°,则△ABD和△BCD都是等腰三角形,∴∠ABC=126°,∠C=12°,∴最大内角为126°。综上,△ABC中最大内角的所有可能值为84°,117°,124°,103.5°,126°。
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(4) 如图⑦,当DA=DE时,又AD=DC,BE=DE,∴∠CAD=∠C=27°。设∠B=x,则∠BDE=x,∠BAD=∠AED=2x。∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∴x+27°+2x+27°=180°,解得x=42°,∴∠B=42°。如图⑧,当AD=AE时,∵AD=CD,BE=DE,∴∠CAD=∠C=27°。设∠B=x,则∠BDE=x,∠ADE=∠AED=2x。又∠ADB=∠DAC+∠C=54°,∠ADB=∠ADE+∠BDE=3x,∴3x=54°,解得x=18°,∴∠B=18°。如图⑨,当AE=DE时,又BE=DE,∴∠ADB=90°。又AD=CD,∴∠C=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠ADB=45°≠27°。故∠B的度数为18°或42°。