【例3】如图,已知AB⊥AF,CD⊥DE,点E,F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB= CD,BE= CF.求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.
证明:∵$BE = CF$，∴$BE + EF = CF + EF$，即。∵$AB\perp AF$，$CD\perp DE$，∴。在$Rt\triangle ABF$和$Rt\triangle DCE$中，$\begin{cases}BF = CE \\AB = DC\end{cases}$，∴。

【解析】：首先根据已知条件$BE = CF$，通过等式的性质得到$BF = CE$，再由垂直的定义得出$\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，最后利用“$HL$”定理证明$Rt\triangle ABF$与$Rt\triangle DCE$全等。
【答案】：证明:∵$BE = CF$，∴$BE + EF = CF + EF$，即$BF = CE$。∵$AB\perp AF$，$CD\perp DE$，∴$\angle A=\angle D = 90^{\circ}$。在$Rt\triangle ABF$和$Rt\triangle DCE$中，$\begin{cases}BF = CE \\AB = DC\end{cases}$，∴$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle DCE(HL)$。

【练3】如图,AB= CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,BF= CE.求证:AE= DF.
证明:∵BF=CE,
　　∴BF−EF=CE−EF,即.
　　∵AE⊥BC,DF⊥BC,∴.
　　在Rt△AEB和Rt△DFC中, {,,
　　∴Rt△AEB≌Rt△DFC(),∴AE=DF.

证明:∵BF=CE,
　　∴BF−EF=CE−EF,即BE=CF.
　　∵AE⊥BC,DF⊥BC,∴∠AEB=∠DFC=90°.
　　在Rt△AEB和Rt△DFC中, {AB=DC,BE=CF,
　　∴Rt△AEB≌Rt△DFC(HL),∴AE=DF.

1. 如图,学校门口设置的护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的,这里面蕴含的数学原理是()

A.两点之间,线段最短
B.三角形的稳定性
C.三角形的任意两边之和大于第三边
D.三角形的内角和是 $ 180 ^ { \circ } $

B

2. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程示意图如图所示,则能说明 $ \angle A ^ { \prime } O ^ { \prime } B ^ { \prime } = \angle A O B $ 的依据是()

A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.ASA

A [解析]由题意,得 $OD = O'D'$, $OC = O'C'$, $CD = C'D'$,
$\therefore \triangle COD \cong \triangle C'O'D'(SSS)$,
$\therefore \angle A'O'B' = \angle AOB$ (全等三角形的对应角相等).
【解题技巧】作一个角等于已知角的依据为 SSS.

3. 如图,在 $ \triangle A B C $ 和 $ \triangle C D E $ 中, $ \angle A C B = \angle C E D = 90 ^ { \circ } $, $ A B = C D $, $ C E = A C $,则下列结论中不一定成立的是( )






A. $ \triangle A B C \cong \triangle C D E $
B. $ \angle C A B = \angle D C E $
C. $ A B \perp C D $
D. $ E $ 为 $ B C $ 的中点

D [解析]A. $\because \angle ACB = \angle CED = 90^{\circ}$, $AB = CD$, $AC = CE$,
$\therefore Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle CDE(HL)$, 故本选项不符合题意.
B. $\because \triangle ABC \cong \triangle CDE$,
$\therefore \angle CAB = \angle DCE$, 故本选项不符合题意.
C. 如图, 记 $AB$ 与 $CD$ 相交于点 $G$, 与 $DE$ 相交于点 $F$.

$\because \triangle ABC \cong \triangle CDE$, $\therefore \angle B = \angle D$.
$\because \angle DGF + \angle D + \angle GFD = 180^{\circ}$, $\angle FEB + \angle B + \angle EFB = 180^{\circ}$, $\angle GFD = \angle EFB$,
$\therefore \angle DGF = \angle FEB = 90^{\circ}$,
$\therefore AB \perp CD$, 故本选项不符合题意.
D. 根据题目条件无法推出 $E$ 为 $BC$ 的中点, 故本选项符合题意.

4. 如图, $ C $ 是 $ A D $, $ B E $ 的中点,若要用“SSS”证明 $ \triangle A B C \cong \triangle D E C $,则只需添加的一个条件是______.

$AB = DE$ [解析]$\because C$ 是 $AD$, $BE$ 的中点, $\therefore AC = DC$, $BC = EC$,
$\therefore$ 当添加 $AB = DE$ 时, $\triangle ABC \cong \triangle DEC(SSS)$.