【典例1】某校在冬季长跑活动中,要给获得一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总金额不超过200元.已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不高于$\frac{1}{3}$,且获得一等奖的人数不能少于2.设获得一等奖的学生有$x$人,获得二等奖的学生有$y$人,求$x,y$满足的不等关系.

解题指导 第1步:审题,分析题中表示不等关系的关键词语“不超过”“不高于”“不能少于”;
第2步:找出“总金额”“人数的比值”等关键词,并根据关键词列出不等式;
第3步:组成不等式组,注意隐性不等关系,如某些变量受实际意义限制所得范围.
答案 解:由“花费总金额不超过200元”,得$20x + 10y \leqslant 200$,即$2x + y \leqslant 20$;由“一等奖人数与二等奖人数的比值不高于$\frac{1}{3}$”,得$\frac{x}{y} \leqslant \frac{1}{3}$,即$3x - y \leqslant 0$;由“获得一等奖的人数不能少于2”,得$x \geqslant 2$.根据题意可知,$x和y$均是正整数,故$x,y满足的不等关系为\begin{cases}2x + y \leqslant 20, \\ 3x - y \leqslant 0, \\ x \geqslant 2,x \in \mathbf{N}^{*}, \\ y \in \mathbf{N}^{*}.\end{cases}$

【变式1】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于216m^2,设与墙平行的一边长为$x$m,其中的不等关系可用不等式组表示为____.

$\begin{cases}0 ＜ x \leq 18, \\x(15 - \frac{1}{2}x) \geq 216\end{cases}$
由题意，知 $0 ＜ x \leq 18$. 因为要求菜园的面积不小于 $216m^{2}$，所以 $x \cdot \frac{30 - x}{2} \geq 216$，所以
$\begin{cases}0 ＜ x \leq 18, \\x(15 - \frac{1}{2}x) \geq 216\end{cases}$

【典例2】(1)比较$A = a^{2} + b^{2} + 14和B = 2a + 4b$的大小;

(1) $A$与$B$的大小关系为$A ＞ B$；

(2)已知$x \in \mathbf{R}$,比较$3x^{3}与3x^{2} - x + 1$的大小.

(2) 当$x ＞ 1$时，$3x^{3} ＞ 3x^{2}-x + 1$；当$x = 1$时，$3x^{3} = 3x^{2}-x + 1$；当$x ＜ 1$时，$3x^{3} ＜ 3x^{2}-x + 1$。