基本事实:两边及其____分别相等的两个三角形全等(简写成“____”或“____”).

夹角 边角边 SAS

典例1 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D$,$E分别是AC$,$AB$的中点,求证:$BD= CE$.

点拨 由$AB= AC$,$D$,$E分别是AC$,$AB$的中点,得到$AD= AE$,再根据“SAS”判定$\triangle ABD\cong\triangle ACE$即可.
解答:
解有所悟:抓住$D$,$E分别是AC$,$AB$的中点,推出$AD= AE$是关键,利用$\angle A是\triangle ABD与\triangle ACE$的公共角可以构造“SAS”的基本模型.

因为D，E分别是AC，AB的中点，所以$AD=\frac{1}{2}AC$，$AE=\frac{1}{2}AB$。因为$AB=AC$，所以$AD=AE$。在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，因为$\left\{\begin{array}{l}AB=AC,\\ \angle A=\angle A,\\ AD=AE,\end{array}\right.$所以$\triangle ABD≌\triangle ACE(SAS)$。所以$BD=CE$。

典例2 如图,在$\triangle ABC$中,$BE$,$CF分别是AC$,$AB$两边上的高,在$BE上截取BD= AC$,在$CF的延长线上截取CG= AB$,连结$AD$,$AG$.线段$AD与GA$的关系如何?请说明理由.

点拨 将问题转化为证明$AD$,$AG所在的\triangle ABD$,$\triangle GCA$是全等三角形.
解答:
解有所悟:判定线段或角所在的三角形全等是证明线段相等、角相等常用的方法,进而可以证明两条线段互相平行或垂直等.

$AD=GA$且$AD\perp GA$。理由：因为BE，CF分别是AC，AB两边上的高，所以$\angle BEC=\angle BEA=\angle AFC=\angle BFC=90^{\circ}$。所以$\angle BAC+\angle ACF=90^{\circ}$，$\angle BAC+\angle ABE=90^{\circ}$。所以$\angle ABE=\angle ACF$。在$\triangle ABD$和$\triangle GCA$中，因为$\left\{\begin{array}{l}BD=CA,\\ \angle ABD=\angle GCA,\\ AB=GC,\end{array}\right.$所以$\triangle ABD≌\triangle GCA(SAS)$。所以$AD=GA$，$\angle ADB=\angle GAC$。因为$\angle ADB=\angle AED+\angle DAE$，$\angle GAC=\angle GAD+\angle DAE$，所以$\angle AED=\angle GAD=90^{\circ}$。所以$AD\perp GA$。