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1. 根据下面表格的对应值，判断方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,a,b,c$为常数)的一个解$x$的范围是（）
A.$3＜x＜3.23$
B.$3.23＜x＜3.24$
C.$3.24＜x＜3.25$
D.$3.25＜x＜3.26$
A.$3＜x＜3.23$
B.$3.23＜x＜3.24$
C.$3.24＜x＜3.25$
D.$3.25＜x＜3.26$
答案
C
解析
【分析】
要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，需明确：二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时对应的x值就是方程的解。由于二次函数的图像是连续的曲线，当函数值在两个相邻的x取值之间从负变为正（或从正变为负）时，这两个x值之间必然存在一个x使得$y=0$，即方程的一个解在这个区间内，接下来观察表格中y值的正负变化即可找到对应区间。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解。
观察表格数据：
当$x=3.24$时，$y=-0.02＜0$；
当$x=3.25$时，$y=0.03＞0$。
说明在$3.24＜x＜3.25$这个区间内，存在一个x使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的范围是$3.24＜x＜3.25$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.估算方程的解
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解二次函数和对应一元二次方程的关系，掌握通过函数值的正负变化估算方程解的范围的方法。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，需明确：二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时对应的x值就是方程的解。由于二次函数的图像是连续的曲线，当函数值在两个相邻的x取值之间从负变为正（或从正变为负）时，这两个x值之间必然存在一个x使得$y=0$，即方程的一个解在这个区间内，接下来观察表格中y值的正负变化即可找到对应区间。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解。
观察表格数据：
当$x=3.24$时，$y=-0.02＜0$；
当$x=3.25$时，$y=0.03＞0$。
说明在$3.24＜x＜3.25$这个区间内，存在一个x使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的范围是$3.24＜x＜3.25$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.估算方程的解
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解二次函数和对应一元二次方程的关系，掌握通过函数值的正负变化估算方程解的范围的方法。
【难度系数】
0.8
2.已知抛物线$y=x^2+mx$的对称轴为直线$x=2$,则关于$x$的方程$x^2+mx=5$的根是（）
A.0,4
B.1,5
C.1,-5
D.-1,5
A.0,4
B.1,5
C.1,-5
D.-1,5
答案
D
解析
【分析】
解题可分两步进行：第一步，利用二次函数的对称轴公式求出参数m的值；第二步，将求得的m代入方程$x^2+mx=5$，解一元二次方程得到根后匹配选项。首先回忆二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，结合题干给出的对称轴即可列式求出m，再代入方程求解即可。
【解析】
解：对于抛物线$y=x^2+mx$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$。
已知对称轴为直线$x=2$，代入对称轴公式得：
$\frac{-m}{2×1}=2$
解得$m=-4$。
把$m=-4$代入方程$x^2+mx=5$，可得：
$x^2-4x=5$
移项整理得：$x^2-4x-5=0$
因式分解得：$(x-5)(x+1)=0$
即$x-5=0$或$x+1=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数对称轴公式
2.因式分解法解一元二次方程
3.二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础题型，结合了二次函数的基本性质与一元二次方程的解法，核心是先通过对称轴求出未知参数，再解方程，计算量小，只要掌握相关基础知识点就能快速作答。
【难度系数】
0.8
解题可分两步进行：第一步，利用二次函数的对称轴公式求出参数m的值；第二步，将求得的m代入方程$x^2+mx=5$，解一元二次方程得到根后匹配选项。首先回忆二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，结合题干给出的对称轴即可列式求出m，再代入方程求解即可。
【解析】
解：对于抛物线$y=x^2+mx$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$。
已知对称轴为直线$x=2$，代入对称轴公式得：
$\frac{-m}{2×1}=2$
解得$m=-4$。
把$m=-4$代入方程$x^2+mx=5$，可得：
$x^2-4x=5$
移项整理得：$x^2-4x-5=0$
因式分解得：$(x-5)(x+1)=0$
即$x-5=0$或$x+1=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数对称轴公式
2.因式分解法解一元二次方程
3.二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础题型，结合了二次函数的基本性质与一元二次方程的解法，核心是先通过对称轴求出未知参数，再解方程，计算量小，只要掌握相关基础知识点就能快速作答。
【难度系数】
0.8
3. (2024·长春)若抛物线$y=x^2 -x +c$（$c$是常数）与$x$轴没有交点，则$c$的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{c＞\dfrac{1}{4}}$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数与x轴交点的判定逻辑：抛物线与x轴的交点个数和对应一元二次方程的实数根个数完全对应，若抛物线与x轴无交点，说明对应的一元二次方程没有实数根，此时根的判别式Δ=b²-4ac＜0。接下来只需提取本题抛物线的各项系数，代入判别式列出不等式，解不等式即可得到c的取值范围。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=x^2 -x +c$与x轴没有交点
∴ 对应的一元二次方程$x^2 -x +c=0$无实数根
根据一元二次方程根的判别式规则，可得$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项为$c$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1× c = 1 - 4c ＜ 0$
解不等式：
移项得$-4c ＜ -1$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$c ＞ \dfrac{1}{4}$
【答案】
$\boldsymbol{c＞\dfrac{1}{4}}$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定、根的判别式应用、解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数章节的基础常考题，核心考查二次函数图象性质与一元二次方程根的情况的对应关系，解题时要注意系数符号不要代错，解含负系数的不等式时记得改变不等号方向。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆二次函数与x轴交点的判定逻辑：抛物线与x轴的交点个数和对应一元二次方程的实数根个数完全对应，若抛物线与x轴无交点，说明对应的一元二次方程没有实数根，此时根的判别式Δ=b²-4ac＜0。接下来只需提取本题抛物线的各项系数，代入判别式列出不等式，解不等式即可得到c的取值范围。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=x^2 -x +c$与x轴没有交点
∴ 对应的一元二次方程$x^2 -x +c=0$无实数根
根据一元二次方程根的判别式规则，可得$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项为$c$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1× c = 1 - 4c ＜ 0$
解不等式：
移项得$-4c ＜ -1$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$c ＞ \dfrac{1}{4}$
【答案】
$\boldsymbol{c＞\dfrac{1}{4}}$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定、根的判别式应用、解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数章节的基础常考题，核心考查二次函数图象性质与一元二次方程根的情况的对应关系，解题时要注意系数符号不要代错，解含负系数的不等式时记得改变不等号方向。
【难度系数】
0.75
4. (2024·徐州改编)在平面直角坐标系中,将二次函数$y=(x-2026)(x-2027)+5$的图象向下平移5个单位长度,所得抛物线与x轴有两个公共点P,Q,则$PQ=$。
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①首先根据二次函数图象“上加下减”的平移规律，求出向下平移5个单位后的抛物线解析式；②抛物线与x轴的公共点的横坐标对应y=0时一元二次方程的根，解方程得到两个交点的横坐标；③x轴上两点的距离等于两点横坐标差的绝对值，代入计算即可得到PQ的长度。
【解析】
1. 求平移后的抛物线解析式：
根据二次函数图象平移“上加下减常数项”的规律，将原函数$y=(x-2026)(x-2027)+5$向下平移5个单位后，所得解析式为：
$y=(x-2026)(x-2027)+5-5=(x-2026)(x-2027)$
2. 求抛物线与x轴的交点横坐标：
抛物线与x轴交点处y=0，令$y=0$，可得方程：
$(x-2026)(x-2027)=0$
解得$x_1=2026$，$x_2=2027$，即P、Q两点的横坐标分别为2026、2027。
3. 计算PQ的长度：
x轴上两点的距离为横坐标差的绝对值，因此：
$PQ=|2027-2026|=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数平移性质以及二次函数与x轴交点的计算，解题的关键是正确推导平移后的函数解析式，再通过解一元二次方程得到交点坐标即可求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：①首先根据二次函数图象“上加下减”的平移规律，求出向下平移5个单位后的抛物线解析式；②抛物线与x轴的公共点的横坐标对应y=0时一元二次方程的根，解方程得到两个交点的横坐标；③x轴上两点的距离等于两点横坐标差的绝对值，代入计算即可得到PQ的长度。
【解析】
1. 求平移后的抛物线解析式：
根据二次函数图象平移“上加下减常数项”的规律，将原函数$y=(x-2026)(x-2027)+5$向下平移5个单位后，所得解析式为：
$y=(x-2026)(x-2027)+5-5=(x-2026)(x-2027)$
2. 求抛物线与x轴的交点横坐标：
抛物线与x轴交点处y=0，令$y=0$，可得方程：
$(x-2026)(x-2027)=0$
解得$x_1=2026$，$x_2=2027$，即P、Q两点的横坐标分别为2026、2027。
3. 计算PQ的长度：
x轴上两点的距离为横坐标差的绝对值，因此：
$PQ=|2027-2026|=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数平移性质以及二次函数与x轴交点的计算，解题的关键是正确推导平移后的函数解析式，再通过解一元二次方程得到交点坐标即可求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
5. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象和对称轴如图8所示。
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若方程$ax^2+bx+c=k$总有两个不相等的正实数根，直接写出k的取值范围。
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若方程$ax^2+bx+c=k$总有两个不相等的正实数根，直接写出k的取值范围。
答案
解：(1) 由图象可知，二次函数的对称轴为直线$x=1$，且图象过点$(-1,0)$、$(0,3)$。
将三点条件代入$y=ax^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}-\dfrac{b}{2a}=1 \\a - b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
把$c=3$，$b=-2a$代入$a - b + c = 0$，得：
$a + 2a + 3 = 0$，解得$a=-1$，
则$b=-2a=2$。
所以该二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) $k$的取值范围是$\boldsymbol{3＜k＜4}$。
将三点条件代入$y=ax^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}-\dfrac{b}{2a}=1 \\a - b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
把$c=3$，$b=-2a$代入$a - b + c = 0$，得：
$a + 2a + 3 = 0$，解得$a=-1$，
则$b=-2a=2$。
所以该二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) $k$的取值范围是$\boldsymbol{3＜k＜4}$。
解析
【分析】
(1) 求二次函数表达式可使用待定系数法，首先从图像提取已知条件：二次函数对称轴为直线$x=1$，图像过点$(-1,0)$和$(0,3)$，结合对称轴公式$-\frac{b}{2a}=1$、点在函数图像上则坐标满足解析式，列出三元一次方程组求解即可得到$a、b、c$的值，进而得到解析式。
(2) 方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的正实数根，等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与直线$y=k$有两个交点，且两个交点的横坐标均为正数。先求出二次函数的最大值（顶点纵坐标），再结合$x=0$时的函数值，观察图像即可确定$k$的取值范围。
【解析】
(1) 由图象可知，二次函数的对称轴为直线$x=1$，且图象过点$(-1,0)$、$(0,3)$。
将上述条件代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}-\dfrac{b}{2a}=1 \\a - b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
把$c=3$，$b=-2a$代入$a - b + c = 0$，得：
$a + 2a + 3 = 0$，解得$a=-1$，
则$b=-2a=2$。
所以该二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 先求二次函数的顶点纵坐标：将$x=1$代入$y=-x^2+2x+3$，得$y=-1+2+3=4$，即函数最大值为4。
方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的正实根，即$y=-x^2+2x+3$与$y=k$有两个横坐标为正的交点，结合图像可知，当$3＜k＜4$时满足条件。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$；(2) $3＜k＜4$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的图像与性质
3. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考查二次函数的解析式求解和方程根的分布问题，解题核心是掌握数形结合的思想，从图像中提取有效信息，将方程根的问题转化为函数图像交点的问题，可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次函数表达式可使用待定系数法，首先从图像提取已知条件：二次函数对称轴为直线$x=1$，图像过点$(-1,0)$和$(0,3)$，结合对称轴公式$-\frac{b}{2a}=1$、点在函数图像上则坐标满足解析式，列出三元一次方程组求解即可得到$a、b、c$的值，进而得到解析式。
(2) 方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的正实数根，等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与直线$y=k$有两个交点，且两个交点的横坐标均为正数。先求出二次函数的最大值（顶点纵坐标），再结合$x=0$时的函数值，观察图像即可确定$k$的取值范围。
【解析】
(1) 由图象可知，二次函数的对称轴为直线$x=1$，且图象过点$(-1,0)$、$(0,3)$。
将上述条件代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}-\dfrac{b}{2a}=1 \\a - b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
把$c=3$，$b=-2a$代入$a - b + c = 0$，得：
$a + 2a + 3 = 0$，解得$a=-1$，
则$b=-2a=2$。
所以该二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 先求二次函数的顶点纵坐标：将$x=1$代入$y=-x^2+2x+3$，得$y=-1+2+3=4$，即函数最大值为4。
方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的正实根，即$y=-x^2+2x+3$与$y=k$有两个横坐标为正的交点，结合图像可知，当$3＜k＜4$时满足条件。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$；(2) $3＜k＜4$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的图像与性质
3. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考查二次函数的解析式求解和方程根的分布问题，解题核心是掌握数形结合的思想，从图像中提取有效信息，将方程根的问题转化为函数图像交点的问题，可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
