21.(8分)综合实践活动:求甲、乙两个圆形薄板的直径(已知甲的直径小于乙的直径).
工具:自制的矩形直尺ABCD(边AB长2 cm,边AD从点A至点D标有刻度).
小明的做法:如图①,将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板甲上,使点A,B都恰好落在薄板的边缘,边AD,BC分别交薄板的边缘于点E,F,从直尺刻度中读出AE=6 cm.小明认为线段BE就是圆形薄板甲的一条直径,接着通过计算求出BE的长度.
如图②,将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板乙上,点A恰好落在薄板的边缘,边AD与薄板的边缘交于点M,边BC与薄板的边缘相切于点G,从直尺刻度中读出AM=8 cm.接着添加辅助线,通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度.
(1)请你帮助小明说出图①中BE是圆形薄板甲的直径的理由,并求出BE的长度.
(2)按照小明的做法,请你在图②中添加辅助线,通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度.

21. 解:(1)
∵90°的圆周角所对的弦是直径,
∴题图①中BE是圆形薄板甲的直径.
∵直尺ABCD是矩形,
∴∠A=90°.在Rt△ABE中,AB=2 cm,AE=6 cm.由勾股定理得,$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$(cm). (2)如图,BC与$\odot O$相切于点G,设圆心为O,连接OG,OM,圆形薄板半径为r cm,
∴$OG⊥BC$.又
∵矩形直尺ABCD对边平行,
∴$OG⊥AD$,
∴AE=EM=4 cm.由勾股定理,得$(r-2)^2+4^2=r^2$,解得$r=5$,
∴圆形薄板乙的直径为10 cm.

22. (9分)已知二次函数$y=(x-t)^2 + 3 - t^2$.
(1)若二次函数的图象经过点$(2,1)$，求$t$的值.
(2)当$0≤ x≤ 3$时，求$y$的最小值.(用含$t$的代数式表示)
(3)若$x$可取全体实数，当$t＞0$时，$y$的最小值为$-2$.设二次函数的图象与$x$轴的两个交点坐标分别为$A(x_1,0),B(x_2,0)$，求线段$AB$的长度.

22. 解:(1)
∵$y=(x-t)^2+3-t^2=x^2-2tx+3$经过点$(2,1)$,
∴$4-4t+3=1$,解得$t=\frac{3}{2}$. (2)
∵$1＞0$,
∴抛物线开口向上.
∵抛物线的对称轴为直线$x=t$,①若$t＜0$,则当$0≤x≤3$时,y随x的增大而增大,
∴当$x=0$时,y取得最小值,为3;②若$0≤t≤3$,则当$x=t$时,y取得最小值,为$3-t^2$;③若$t＞3$,则当$0≤x≤3$时,y随x的增大而减小,
∴当$x=3$时,y取得最小值,即$3^2-6t+3=12-6t$.综上所述,当$t＜0$时,y的最小值为3;当$0≤t≤3$时,y的最小值为$3-t^2$;当$t＞3$时,y的最小值为$12-6t$. (3)由题知,当$x=t$时,y取最小值$3-t^2=-2$,解得$t=±\sqrt{5}$.
∵$t＞0$,
∴$t=\sqrt{5}$,
∴$y=x^2-2\sqrt{5}x+3$.由题意,可知$x_1,x_2$为一元二次方程$x^2-2\sqrt{5}x+3=0$的两个根,
∴$x_1+x_2=2\sqrt{5}$,$x_1x_2=3$,
∴$AB=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4×3}=2\sqrt{2}$,
∴线段AB的长度为$2\sqrt{2}$.