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8. 为了运用平方差公式计算$(x + 3y - z)(x - 3y + z)$，下列变形正确的是(
A.$[x - (3y + z)]^{2}$
B.$[(x - 3y) + z][(x - 3y) - z]$
C.$[x + (3y - z)][x - (3y - z)]$
D.$[(x + 3y) - z][(x - 3y) + z]$
C
)A.$[x - (3y + z)]^{2}$
B.$[(x - 3y) + z][(x - 3y) - z]$
C.$[x + (3y - z)][x - (3y - z)]$
D.$[(x + 3y) - z][(x - 3y) + z]$
答案
8. C
9. (1) 若$20.5^{2} = 20^{2} + a$，则$a$的值是
(2) 已知$a$，$b$满足$a + b = 2$，则$a^{2} - b^{2} + 4b =$
20.25
；(2) 已知$a$，$b$满足$a + b = 2$，则$a^{2} - b^{2} + 4b =$
4
.答案
9. (1)20.25 (2)4
解析
(1) $20.5^2 - 20^2 = (20 + 0.5)^2 - 20^2 = 20^2 + 2×20×0.5 + 0.5^2 - 20^2 = 20 + 0.25 = 20.25$
(2) $a^2 - b^2 + 4b = (a + b)(a - b) + 4b$，因为$a + b = 2$，所以原式$= 2(a - b) + 4b = 2a - 2b + 4b = 2a + 2b = 2(a + b) = 2×2 = 4$
(2) $a^2 - b^2 + 4b = (a + b)(a - b) + 4b$，因为$a + b = 2$，所以原式$= 2(a - b) + 4b = 2a - 2b + 4b = 2a + 2b = 2(a + b) = 2×2 = 4$
10. 若$(a^{2} + b^{2} + 1)(a^{2} + b^{2} - 1) = 35$，则$a^{2} + b^{2} =$
6
.答案
10.6
解析
设$x = a^{2} + b^{2}$，则原方程可化为$(x + 1)(x - 1) = 35$，即$x^{2} - 1 = 35$，$x^{2} = 36$，解得$x = 6$或$x = -6$。因为$a^{2} + b^{2} ≥ 0$，所以$x = 6$，即$a^{2} + b^{2} = 6$。
11. (2025·无锡期中) 观察下列各式，解答相关问题：
$(x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1$；
$(x - 1)(x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$；
$(x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$；
$(x - 1)(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{5} - 1$；
……
(1) $(x - 1)(x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) =$
(2) 根据规律可得$(x - 1)(x^{n - 1} + x^{n - 2} + ··· + x^{2} + x + 1) =$
(3) 求$2^{2022} + 2^{2021} + 2^{2020} + ··· + 2^{2} + 2 + 1$的值.
$(x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1$；
$(x - 1)(x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$；
$(x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$；
$(x - 1)(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{5} - 1$；
……
(1) $(x - 1)(x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) =$
$ x^{6} - 1 $
；(2) 根据规律可得$(x - 1)(x^{n - 1} + x^{n - 2} + ··· + x^{2} + x + 1) =$
$ x^{n} - 1 $
；(其中$n$为正整数)(3) 求$2^{2022} + 2^{2021} + 2^{2020} + ··· + 2^{2} + 2 + 1$的值.
答案
11. (1) $ x^{6} - 1 $
(2) $ x^{n} - 1 $
(3)解：根据(2)中的公式，
得 $ 2^{2022} + 2^{2021} + 2^{2020} + ··· + 2^{2} + 2 + 1 $
$ = (2 - 1)(2^{2022} + 2^{2021} + 2^{2020} + ··· + 2^{2} + 2 + 1) $
$ = 2^{2023} - 1 $
(2) $ x^{n} - 1 $
(3)解：根据(2)中的公式，
得 $ 2^{2022} + 2^{2021} + 2^{2020} + ··· + 2^{2} + 2 + 1 $
$ = (2 - 1)(2^{2022} + 2^{2021} + 2^{2020} + ··· + 2^{2} + 2 + 1) $
$ = 2^{2023} - 1 $
12. (2025·无锡期中) 如图，在边长为$a$的正方形中挖去一个边长为$b$的小正方形$(a ＞ b)$，把余下的部分剪拼成一个长方形.
(1) 通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是(
A. $a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}$
B. $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$
C. $a^{2} + ab = a(a + b)$
D. $a^{2} - b^{2} = (a - b)^{2}$
(2) 应用你从(1)中选出的等式，解答下列问题：
① 已知$x^{2} - 4y^{2} = 12$，$x + 2y = 4$，求$x - 2y$的值.
② 计算：$(2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + 8^{2} + 10^{2} + 12^{2} + ··· + 100^{2}) - (1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 7^{2} + 9^{2} + 11^{2} + ··· + 99^{2})$.
(1) 通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是(
B
)A. $a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}$
B. $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$
C. $a^{2} + ab = a(a + b)$
D. $a^{2} - b^{2} = (a - b)^{2}$
(2) 应用你从(1)中选出的等式，解答下列问题：
① 已知$x^{2} - 4y^{2} = 12$，$x + 2y = 4$，求$x - 2y$的值.
② 计算：$(2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + 8^{2} + 10^{2} + 12^{2} + ··· + 100^{2}) - (1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 7^{2} + 9^{2} + 11^{2} + ··· + 99^{2})$.
答案
12. (1)B
(2)解：①由(1)中规律，利用平方差公式得 $ x^{2} - 4y^{2} = (x + 2y)(x - 2y) $
因为 $ x^{2} - 4y^{2} = 12 $，$ x + 2y = 4 $，
所以 $ x - 2y = 3 $
②原式 $ = (2^{2} - 1^{2}) + (4^{2} - 3^{2}) + (6^{2} - 5^{2}) + (8^{2} - 7^{2}) + ··· + (100^{2} - 99^{2}) = (2 + 1)(2 - 1) + (4 + 3)(4 - 3) + (6 + 5) · (6 - 5) + (8 + 7)(8 - 7) + ··· + (100 + 99)(100 - 99) $
$ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· + 99 + 100 $
$ = 101 × 50 $
$ = 5050 $
(2)解：①由(1)中规律，利用平方差公式得 $ x^{2} - 4y^{2} = (x + 2y)(x - 2y) $
因为 $ x^{2} - 4y^{2} = 12 $，$ x + 2y = 4 $，
所以 $ x - 2y = 3 $
②原式 $ = (2^{2} - 1^{2}) + (4^{2} - 3^{2}) + (6^{2} - 5^{2}) + (8^{2} - 7^{2}) + ··· + (100^{2} - 99^{2}) = (2 + 1)(2 - 1) + (4 + 3)(4 - 3) + (6 + 5) · (6 - 5) + (8 + 7)(8 - 7) + ··· + (100 + 99)(100 - 99) $
$ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· + 99 + 100 $
$ = 101 × 50 $
$ = 5050 $
