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1. 因式分解的定义
(1)把一个多项式化成几个整式的
(2)因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者之间的关系表示如下：
$ pa + pb + pc \xrightleftharpoons[\mathrm{整式乘法}]{\mathrm{因式分解}} p(a + b + c) $
(1)把一个多项式化成几个整式的
乘积
的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式
。(2)因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者之间的关系表示如下：
$ pa + pb + pc \xrightleftharpoons[\mathrm{整式乘法}]{\mathrm{因式分解}} p(a + b + c) $
答案
1.(1) 乘积 分解因式
2. 公因式的概念
一个多项式的各项都含有的一个 的因式，我们把这个因式叫作这个多项式各项的公因式。
一个多项式的各项都含有的一个 的因式，我们把这个因式叫作这个多项式各项的公因式。
答案
2. 公共
3. 提公因式法
一般地,如果多项式的各项有
,可以把这个提取出来,将
多项式写成与另一个因式的乘积的形
式,这种分解因式的方法叫作提公因式法.
一般地,如果多项式的各项有
,可以把这个提取出来,将
多项式写成与另一个因式的乘积的形
式,这种分解因式的方法叫作提公因式法.
答案
3. 公因式 公因式 公因式
典例1 下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是(
A. $ax+bx+c=(a+b)x+c$
B. $(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
C. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
D. $a^2 -5a -6=(a-6)(a+1)$
总结归纳 因式分解的结果必须满足：
(1)是几个整式的乘积；
(2)变形前后式子左右两边的值相等；
(3)分解到不能再分解为止.
D
).A. $ax+bx+c=(a+b)x+c$
B. $(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
C. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
D. $a^2 -5a -6=(a-6)(a+1)$
总结归纳 因式分解的结果必须满足：
(1)是几个整式的乘积；
(2)变形前后式子左右两边的值相等；
(3)分解到不能再分解为止.
答案
答案D
解析 A项,等号右边不是整式乘积的形式,故不是因式分解;
B项,是整式的乘法;
C项,是整式的乘法;
D项,把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式,符合题意.
故选D.
解析 A项,等号右边不是整式乘积的形式,故不是因式分解;
B项,是整式的乘法;
C项,是整式的乘法;
D项,把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式,符合题意.
故选D.
举一反三 下列由左边到右边的式子变形中,属于因式分解的是(
A.$a(m+n)=am+an$
B.$a^2 - b^2 - c^2=(a+b)(a-b)-c^2$
C.$10x^2 -5x=5x(2x-1)$
D.$x^2 -16 +6x=(x+4)(x-4)+6x$
C
).A.$a(m+n)=am+an$
B.$a^2 - b^2 - c^2=(a+b)(a-b)-c^2$
C.$10x^2 -5x=5x(2x-1)$
D.$x^2 -16 +6x=(x+4)(x-4)+6x$
答案
1. C
典例2 把多项式$x^3+mx$分解因式得$x(x+n)(x-\frac{1}{2})$，则$m,n$的值可能是(
A.$m=\frac{1}{8},n=\frac{1}{4}$
B.$m=-\frac{1}{4},n=\frac{1}{2}$
C.$m=\frac{1}{8},n=-\frac{1}{4}$
D.$m=-\frac{1}{4},n=-\frac{1}{2}$
总结归纳 整式乘法是把“积”化成“和差”的形式，因式分解是把“和差”化成“积”的形式，这两者互为逆变形.
B
).A.$m=\frac{1}{8},n=\frac{1}{4}$
B.$m=-\frac{1}{4},n=\frac{1}{2}$
C.$m=\frac{1}{8},n=-\frac{1}{4}$
D.$m=-\frac{1}{4},n=-\frac{1}{2}$
总结归纳 整式乘法是把“积”化成“和差”的形式，因式分解是把“和差”化成“积”的形式，这两者互为逆变形.
答案
答案B
解析 由题意知,$x^3+mx=x(x+n)·(x-\frac{1}{2})$,即$x^3+mx=x^3+(n-\frac{1}{2})x^2-\frac{1}{2}nx$,
$\therefore n-\frac{1}{2}=0,-\frac{1}{2}n=m$,
$\therefore n=\frac{1}{2},m=-\frac{1}{4}$.故选B.
解析 由题意知,$x^3+mx=x(x+n)·(x-\frac{1}{2})$,即$x^3+mx=x^3+(n-\frac{1}{2})x^2-\frac{1}{2}nx$,
$\therefore n-\frac{1}{2}=0,-\frac{1}{2}n=m$,
$\therefore n=\frac{1}{2},m=-\frac{1}{4}$.故选B.
