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4. 如图28.2-3，$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于点$O$对称，下面结论不成立的是(
A.点$A$与点$A'$是对称点
B.$BO=B'O$
C.$AB// A'B'$
D.$∠ ACB=∠ C'A'B'$
D
).A.点$A$与点$A'$是对称点
B.$BO=B'O$
C.$AB// A'B'$
D.$∠ ACB=∠ C'A'B'$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先回忆中心对称的性质：关于某点中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等。接下来我们结合性质逐个判断选项：首先判断对称点的相关结论是否正确，再判断对应线段、对应角的结论是否正确，最终找出不成立的选项即可。
【解析】
∵△ABC与△A'B'C'关于点O中心对称，
∴根据中心对称的性质：
1. 点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'是对应对称点，对称点到对称中心的距离相等，因此BO=B'O，故A、B选项结论成立；
2. 对应线段平行且相等，AB和A'B'是对应线段，因此AB//A'B'，故C选项结论成立；
3. 对应角相等，∠ACB的对应角为∠A'C'B'，与∠C'A'B'不是对应角，二者不一定相等，故D选项结论不成立。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
中心对称的性质、全等三角形的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握中心对称的性质，解题时注意区分对应元素和非对应元素，避免混淆对应角、对应线段即可正确解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆中心对称的性质：关于某点中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等。接下来我们结合性质逐个判断选项：首先判断对称点的相关结论是否正确，再判断对应线段、对应角的结论是否正确，最终找出不成立的选项即可。
【解析】
∵△ABC与△A'B'C'关于点O中心对称，
∴根据中心对称的性质：
1. 点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'是对应对称点，对称点到对称中心的距离相等，因此BO=B'O，故A、B选项结论成立；
2. 对应线段平行且相等，AB和A'B'是对应线段，因此AB//A'B'，故C选项结论成立；
3. 对应角相等，∠ACB的对应角为∠A'C'B'，与∠C'A'B'不是对应角，二者不一定相等，故D选项结论不成立。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
中心对称的性质、全等三角形的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握中心对称的性质，解题时注意区分对应元素和非对应元素，避免混淆对应角、对应线段即可正确解答。
【难度系数】
0.8
5. 如图28.2-4，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点对称，则这个点是（
A.点$O_1$
B.点$O_2$
C.点$O_3$
D.点$O_4$
A
）。A.点$O_1$
B.点$O_2$
C.点$O_3$
D.点$O_4$
答案
5. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆中心对称的相关性质：如果两个图形关于某点成中心对称，那么所有对应点的连线都会经过这个对称中心，且对称中心是每一组对应点连线的中点。所以解题时，只需要在两个四边形中找到两组对应点，分别连接这两组对应点，两条连线的交点就是所求的对称中心。
【解析】
根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。我们分别连接两组对应顶点，观察可得两组对应点的连线均经过点$O_1$，且$O_1$为对应点连线的中点，因此两个四边形的对称中心是点$O_1$。
【答案】
A
【知识点】
中心对称的性质；对称中心的确定
【点评】
本题是基础题型，重点考查对中心对称性质的理解和应用，熟练掌握“成中心对称的两个图形的对应点连线交于对称中心”这一性质，就能快速判断出对称中心的位置。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆中心对称的相关性质：如果两个图形关于某点成中心对称，那么所有对应点的连线都会经过这个对称中心，且对称中心是每一组对应点连线的中点。所以解题时，只需要在两个四边形中找到两组对应点，分别连接这两组对应点，两条连线的交点就是所求的对称中心。
【解析】
根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。我们分别连接两组对应顶点，观察可得两组对应点的连线均经过点$O_1$，且$O_1$为对应点连线的中点，因此两个四边形的对称中心是点$O_1$。
【答案】
A
【知识点】
中心对称的性质；对称中心的确定
【点评】
本题是基础题型，重点考查对中心对称性质的理解和应用，熟练掌握“成中心对称的两个图形的对应点连线交于对称中心”这一性质，就能快速判断出对称中心的位置。
【难度系数】
0.8
6. 如图28.2-5，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称，设黑色部分的面积为S，正方形的边长为2，则S=
$\frac{π}{2}$
。答案
6. $\frac{π}{2}$
解析
【分析】
解题时首先明确正方形内的内切圆直径等于正方形的边长，可先计算出该内切圆的面积；再结合题目给出的“黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称”这一条件，可知黑色部分的面积恰好为内切圆面积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
已知正方形边长为2，则正方形内切圆的直径等于正方形边长，即半径$r = 2÷2=1$。
根据圆的面积公式$S_{圆}=π r^2$，可得该内切圆的面积为：$S_{圆}=π×1^2=π$。
因为圆内黑色部分和白色部分关于正方形中心对称，所以黑色部分面积为圆面积的一半，即：
$S=\frac{1}{2}S_{圆}=\frac{1}{2}×π=\frac{π}{2}$
【答案】
$\frac{π}{2}$
【知识点】
中心对称的性质，圆的面积计算
【点评】
本题结合传统太极图考察几何面积的计算，解题的核心是利用中心对称的性质简化计算，无需复杂割补即可快速得到黑色部分面积与圆面积的关系，出题形式较为灵活。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确正方形内的内切圆直径等于正方形的边长，可先计算出该内切圆的面积；再结合题目给出的“黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称”这一条件，可知黑色部分的面积恰好为内切圆面积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
已知正方形边长为2，则正方形内切圆的直径等于正方形边长，即半径$r = 2÷2=1$。
根据圆的面积公式$S_{圆}=π r^2$，可得该内切圆的面积为：$S_{圆}=π×1^2=π$。
因为圆内黑色部分和白色部分关于正方形中心对称，所以黑色部分面积为圆面积的一半，即：
$S=\frac{1}{2}S_{圆}=\frac{1}{2}×π=\frac{π}{2}$
【答案】
$\frac{π}{2}$
【知识点】
中心对称的性质，圆的面积计算
【点评】
本题结合传统太极图考察几何面积的计算，解题的核心是利用中心对称的性质简化计算，无需复杂割补即可快速得到黑色部分面积与圆面积的关系，出题形式较为灵活。
【难度系数】
0.7
7. 如图28.2-6所示，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ C=90°$，$BC=2$.如果把$AC$的中点$O$作为旋转中心，将这个三角形旋转$180°$，点$B$落在点$B'$处，求点$B'$与点$B$的距离. 
答案
7.
∵将△ABC绕着点O旋转180°,且点O为AC的中点,
∴OB=OB',OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC=1. 在Rt△BCO中,OB=$\sqrt{OC^2+BC^2}$=$\sqrt{5}$,
∴BB'=2OB=2$\sqrt{5}$
∵将△ABC绕着点O旋转180°,且点O为AC的中点,
∴OB=OB',OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC=1. 在Rt△BCO中,OB=$\sqrt{OC^2+BC^2}$=$\sqrt{5}$,
∴BB'=2OB=2$\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时首先回忆旋转180°的性质：绕某点旋转180°属于中心对称，对应点与旋转中心共线，且到旋转中心的距离相等，因此可得$BB'=2OB$，只需先求出$OB$的长度即可。已知$O$是$AC$中点，结合$AC=BC=2$可先求出$OC$的长度，再观察$△ BCO$是直角三角形，利用勾股定理即可算出$OB$，进而求出$BB'$的长度。
【解析】
∵将$△ ABC$绕点$O$旋转$180°$，点$O$是$AC$的中点，
∴根据旋转（中心对称）的性质可得：$OB=OB'$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，
又
∵$AC=BC=2$，
∴$OC=\frac{1}{2}×2=1$，
∵$∠C=90°$，即$△ BCO$是直角三角形，
∴在$\mathrm{Rt}△BCO$中，由勾股定理得：$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
∴$BB'=OB+OB'=2OB=2×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，中点的定义
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是利用旋转180°（中心对称）的性质将求$BB'$的长度转化为求$OB$的长度，再结合勾股定理计算即可，属于常规考点的综合应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆旋转180°的性质：绕某点旋转180°属于中心对称，对应点与旋转中心共线，且到旋转中心的距离相等，因此可得$BB'=2OB$，只需先求出$OB$的长度即可。已知$O$是$AC$中点，结合$AC=BC=2$可先求出$OC$的长度，再观察$△ BCO$是直角三角形，利用勾股定理即可算出$OB$，进而求出$BB'$的长度。
【解析】
∵将$△ ABC$绕点$O$旋转$180°$，点$O$是$AC$的中点，
∴根据旋转（中心对称）的性质可得：$OB=OB'$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，
又
∵$AC=BC=2$，
∴$OC=\frac{1}{2}×2=1$，
∵$∠C=90°$，即$△ BCO$是直角三角形，
∴在$\mathrm{Rt}△BCO$中，由勾股定理得：$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
∴$BB'=OB+OB'=2OB=2×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，中点的定义
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是利用旋转180°（中心对称）的性质将求$BB'$的长度转化为求$OB$的长度，再结合勾股定理计算即可，属于常规考点的综合应用。
【难度系数】
0.7
8. 如图28.2-7，$△ ABC$和$△ DEF$关于点$O$对称.
(1)在图中画出它们的对称中心；
(2)若$AC = 6$，$AB = 5$，$BC = 4$，求$△ DEF$的周长；
(3)连接$AF$，$CD$，试判断四边形$ACDF$的形状，并说明理由.
(1)在图中画出它们的对称中心；
(2)若$AC = 6$，$AB = 5$，$BC = 4$，求$△ DEF$的周长；
(3)连接$AF$，$CD$，试判断四边形$ACDF$的形状，并说明理由.
答案
8. (1) 如答图12所示，点O为所求
(2)
∵△ABC和△DEF关于点O对称，
∴△ABC≌△DEF.
∴△DEF的周长与△ABC的周长相等.即△DEF的周长为6+5+4=15
(3) 四边形ACDF是平行四边形.理由如下:
∵△ABC和△DEF关于点O对称，
∴OA=OD,OC=OF.
∴四边形ACDF是平行四边形
解析
【分析】
(1) 找对称中心：根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形的对应点连线都经过对称中心，因此连接两组对应点（如AD和CF），两条线段的交点就是对称中心O。
(2) 求△DEF周长：首先由中心对称的性质可得△ABC和△DEF全等，全等三角形周长相等，因此只需先计算△ABC的周长，即可得到△DEF的周长。
(3) 判断四边形ACDF形状：根据中心对称的性质，对应点到对称中心的距离相等，可得到四边形ACDF的对角线互相平分，再根据平行四边形的判定定理即可判断四边形的形状。
【解析】
(1) 连接AD、CF，两线段的交点即为对称中心O，作图结果如答图所示。
(2) 解：
∵△ABC和△DEF关于点O对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴△DEF的周长与△ABC的周长相等，
∵△ABC的周长为$AC+AB+BC=6+5+4=15$，
∴△DEF的周长为15。
(3) 解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：
∵△ABC和△DEF关于点O对称，
∴点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，
∴$OA=OD$，$OC=OF$，即四边形ACDF的对角线互相平分，
∴四边形ACDF是平行四边形。
【答案】
(1) 如答图12所示，点O为所求
(2) △DEF的周长为15
(3) 四边形ACDF是平行四边形
【知识点】
中心对称的性质、全等三角形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题侧重考查中心对称相关基础性质的应用，同时结合了全等三角形和平行四边形判定的知识点，难度较低，解题核心是熟练掌握中心对称的性质。
【难度系数】
0.7
(1) 找对称中心：根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形的对应点连线都经过对称中心，因此连接两组对应点（如AD和CF），两条线段的交点就是对称中心O。
(2) 求△DEF周长：首先由中心对称的性质可得△ABC和△DEF全等，全等三角形周长相等，因此只需先计算△ABC的周长，即可得到△DEF的周长。
(3) 判断四边形ACDF形状：根据中心对称的性质，对应点到对称中心的距离相等，可得到四边形ACDF的对角线互相平分，再根据平行四边形的判定定理即可判断四边形的形状。
【解析】
(1) 连接AD、CF，两线段的交点即为对称中心O，作图结果如答图所示。
(2) 解：
∵△ABC和△DEF关于点O对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴△DEF的周长与△ABC的周长相等，
∵△ABC的周长为$AC+AB+BC=6+5+4=15$，
∴△DEF的周长为15。
(3) 解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：
∵△ABC和△DEF关于点O对称，
∴点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，
∴$OA=OD$，$OC=OF$，即四边形ACDF的对角线互相平分，
∴四边形ACDF是平行四边形。
【答案】
(1) 如答图12所示，点O为所求
(2) △DEF的周长为15
(3) 四边形ACDF是平行四边形
【知识点】
中心对称的性质、全等三角形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题侧重考查中心对称相关基础性质的应用，同时结合了全等三角形和平行四边形判定的知识点，难度较低，解题核心是熟练掌握中心对称的性质。
【难度系数】
0.7
9. 如图28.2-8，已知菱形ABCD的顶点在方格纸的格点上，其中A，B，C的坐标分别为$(0,1)$，$(-2,4)$，$(-4,1)$。该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形(顶点均在格点上)。
(1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心G的坐标和点B的对应点$B'$的坐标；
(2)将菱形ABCD平移，使点C的对应点为点B，画出平移后的菱形。
(1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心G的坐标和点B的对应点$B'$的坐标；
(2)将菱形ABCD平移，使点C的对应点为点B，画出平移后的菱形。
答案
9. (1) 建立如答图13所示的平面直角坐标系，G$(0,-\frac{1}{2})$,$B'$(2,-5)
(2) 平移后的菱形如答图13所示
解析
【分析】
（1）首先根据已知点A的坐标$(0,1)$确定平面直角坐标系的位置：y轴过点A，x轴在A点下方1个单位长度处。中心对称的对称中心是两组对应点连线的中点，先找到点A的对应点，利用中点坐标公式即可算出对称中心G的坐标；再根据对称中心是对应点连线的中点，代入点B的坐标就能求出对应点$B'$的坐标。
（2）平移的规律可通过点C到对应点B的坐标变化确定：计算横坐标、纵坐标的变化量，再将菱形其余顶点按该规律平移，顺次连接平移后的顶点即可得到平移后的菱形。
【解析】
(1) 第一步：建立平面直角坐标系。由$A(0,1)$可知，y轴过点A，x轴为过A点向下1个单位的水平直线，建立坐标系如答图13。
第二步：求对称中心G的坐标。观察图形可知点A$(0,1)$的对应点为$A'(0,-2)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，代入A和$A'$的坐标，得G的横坐标为$\frac{0+0}{2}=0$，纵坐标为$\frac{1+(-2)}{2}=-\frac{1}{2}$，即$G(0,-\frac{1}{2})$。
第三步：求$B'$的坐标。设$B'(x,y)$，因为G是B和$B'$的中点，B坐标为$(-2,4)$，则$\frac{-2+x}{2}=0$，$\frac{4+y}{2}=-\frac{1}{2}$，解得$x=2$，$y=-5$，即$B'(2,-5)$。
(2) 第一步：确定平移规律。点$C(-4,1)$的对应点为$B(-2,4)$，横坐标变化量为$-2-(-4)=2$，纵坐标变化量为$4-1=3$，即平移规律为：向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度。
第二步：平移其余顶点。将点A、B、D分别按上述规律平移，顺次连接平移后的四个顶点，得到的菱形如答图13所示。
【答案】
(1) 建立如答图13所示的平面直角坐标系，G$(0,-\frac{1}{2})$,$B'$(2,-5)
(2) 平移后的菱形如答图13所示
【知识点】
中心对称的性质，平移的性质，平面直角坐标系
【点评】
本题结合网格考查图形的变换，需要熟练掌握中心对称、平移对应的坐标变化规律，结合网格的特点能快速确定点的坐标，难度较低，属于基础类的图形变换题。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据已知点A的坐标$(0,1)$确定平面直角坐标系的位置：y轴过点A，x轴在A点下方1个单位长度处。中心对称的对称中心是两组对应点连线的中点，先找到点A的对应点，利用中点坐标公式即可算出对称中心G的坐标；再根据对称中心是对应点连线的中点，代入点B的坐标就能求出对应点$B'$的坐标。
（2）平移的规律可通过点C到对应点B的坐标变化确定：计算横坐标、纵坐标的变化量，再将菱形其余顶点按该规律平移，顺次连接平移后的顶点即可得到平移后的菱形。
【解析】
(1) 第一步：建立平面直角坐标系。由$A(0,1)$可知，y轴过点A，x轴为过A点向下1个单位的水平直线，建立坐标系如答图13。
第二步：求对称中心G的坐标。观察图形可知点A$(0,1)$的对应点为$A'(0,-2)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，代入A和$A'$的坐标，得G的横坐标为$\frac{0+0}{2}=0$，纵坐标为$\frac{1+(-2)}{2}=-\frac{1}{2}$，即$G(0,-\frac{1}{2})$。
第三步：求$B'$的坐标。设$B'(x,y)$，因为G是B和$B'$的中点，B坐标为$(-2,4)$，则$\frac{-2+x}{2}=0$，$\frac{4+y}{2}=-\frac{1}{2}$，解得$x=2$，$y=-5$，即$B'(2,-5)$。
(2) 第一步：确定平移规律。点$C(-4,1)$的对应点为$B(-2,4)$，横坐标变化量为$-2-(-4)=2$，纵坐标变化量为$4-1=3$，即平移规律为：向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度。
第二步：平移其余顶点。将点A、B、D分别按上述规律平移，顺次连接平移后的四个顶点，得到的菱形如答图13所示。
【答案】
(1) 建立如答图13所示的平面直角坐标系，G$(0,-\frac{1}{2})$,$B'$(2,-5)
(2) 平移后的菱形如答图13所示
【知识点】
中心对称的性质，平移的性质，平面直角坐标系
【点评】
本题结合网格考查图形的变换，需要熟练掌握中心对称、平移对应的坐标变化规律，结合网格的特点能快速确定点的坐标，难度较低，属于基础类的图形变换题。
【难度系数】
0.7
