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7.若$x_1,x_2$是方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的两个实数根，则$x_1 · x_2^2$的值为（
A.3或－9
B.－3或9
C.3或－6
D.－3或6
A
）。A.3或－9
B.－3或9
C.3或－6
D.－3或6
答案
A
解析
【分析】
要计算代数式$x_1 · x_2^2$的值，需按以下思路推导：1. 先求解给定的一元二次方程，得到两个实数根的具体取值；2. 由于题目未指定$x_1$、$x_2$分别对应哪个根，因此需要分两种情况分类讨论；3. 将两种情况的根分别代入代数式计算，汇总所有可能的结果即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$
对左边因式分解得：$(x - 3)(x + 1) = 0$
解得：$x = 3$或$x = -1$，即方程的两个实数根为3和-1。
第二步：分情况代入计算
情况1：当$x_1 = 3$，$x_2 = -1$时：
$x_1 · x_2^2 = 3 × (-1)^2 = 3 × 1 = 3$
情况2：当$x_1 = -1$，$x_2 = 3$时：
$x_1 · x_2^2 = (-1) × 3^2 = (-1) × 9 = -9$
综上，$x_1 · x_2^2$的值为3或-9，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求解；分类讨论思想；代数式求值
【点评】
本题的易错点是忽略两根的顺序不固定，仅计算其中一种情况导致漏解，解题时遇到未指定两根对应关系的问题，要主动考虑分类讨论，保证结果的完整性。
【难度系数】
0.7
要计算代数式$x_1 · x_2^2$的值，需按以下思路推导：1. 先求解给定的一元二次方程，得到两个实数根的具体取值；2. 由于题目未指定$x_1$、$x_2$分别对应哪个根，因此需要分两种情况分类讨论；3. 将两种情况的根分别代入代数式计算，汇总所有可能的结果即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$
对左边因式分解得：$(x - 3)(x + 1) = 0$
解得：$x = 3$或$x = -1$，即方程的两个实数根为3和-1。
第二步：分情况代入计算
情况1：当$x_1 = 3$，$x_2 = -1$时：
$x_1 · x_2^2 = 3 × (-1)^2 = 3 × 1 = 3$
情况2：当$x_1 = -1$，$x_2 = 3$时：
$x_1 · x_2^2 = (-1) × 3^2 = (-1) × 9 = -9$
综上，$x_1 · x_2^2$的值为3或-9，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求解；分类讨论思想；代数式求值
【点评】
本题的易错点是忽略两根的顺序不固定，仅计算其中一种情况导致漏解，解题时遇到未指定两根对应关系的问题，要主动考虑分类讨论，保证结果的完整性。
【难度系数】
0.7
8.当$(m^2 + n^2)(m^2 + n^2 - 2) + 1 = 0$时，$m^2 + n^2$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$1$或$-1$
D.$0$
B
）。A.$-1$
B.$1$
C.$1$或$-1$
D.$0$
答案
B
解析
【分析】
观察方程结构可发现，两个括号中都含有相同的整体$m^2 + n^2$，因此可以采用换元法简化计算：第一步，设$t = m^2 + n^2$，结合平方的非负性可知$t≥0$，这个隐含条件是后续取舍根的关键；第二步，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程，求解后结合$t$的取值范围得到最终结果。
【解析】
设$t = m^2 + n^2$，由于任何实数的平方都为非负数，因此$t = m^2 + n^2 ≥ 0$。
将原方程中的$m^2 + n^2$替换为$t$，可得：
$t(t - 2) + 1 = 0$
展开整理得：
$t^2 - 2t + 1 = 0$
由完全平方公式因式分解得：
$(t - 1)^2 = 0$
解得：$t = 1$
符合$t≥0$的要求，因此$m^2 + n^2 = 1$。
【答案】
B
【知识点】
换元法解一元二次方程；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题考查用换元法求解一元二次方程，解题时要注意挖掘题干中的隐含条件，避免忽略代数式的取值范围错选干扰项。
【难度系数】
0.7
观察方程结构可发现，两个括号中都含有相同的整体$m^2 + n^2$，因此可以采用换元法简化计算：第一步，设$t = m^2 + n^2$，结合平方的非负性可知$t≥0$，这个隐含条件是后续取舍根的关键；第二步，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程，求解后结合$t$的取值范围得到最终结果。
【解析】
设$t = m^2 + n^2$，由于任何实数的平方都为非负数，因此$t = m^2 + n^2 ≥ 0$。
将原方程中的$m^2 + n^2$替换为$t$，可得：
$t(t - 2) + 1 = 0$
展开整理得：
$t^2 - 2t + 1 = 0$
由完全平方公式因式分解得：
$(t - 1)^2 = 0$
解得：$t = 1$
符合$t≥0$的要求，因此$m^2 + n^2 = 1$。
【答案】
B
【知识点】
换元法解一元二次方程；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题考查用换元法求解一元二次方程，解题时要注意挖掘题干中的隐含条件，避免忽略代数式的取值范围错选干扰项。
【难度系数】
0.7
9.我们解一元二次方程$3x^2 - 6x = 0$时，可以运用因式分解法，将此方程化为$3x(x - 2) = 0$，从而得到两个一元一次方程$3x = 0$，$x - 2 = 0$，进而得到原方程的解$x_1 = 0$，$x_2 = 2$。这种方法体现的数学思想是（
A.转化思想
B.函数思想
C.数形结合思想
D.公理化思想
A
）。A.转化思想
B.函数思想
C.数形结合思想
D.公理化思想
答案
A
解析
【分析】
解题时首先梳理题干中解方程的逻辑：我们将难度较高、未直接掌握解法的一元二次方程，通过因式分解拆成两个已经熟练会解的一元一次方程，再求解方程的根。接下来回忆四个选项对应的数学思想定义：转化思想的核心是把复杂、未知的问题转化为简单、已知的问题解决；函数思想需要用到函数的概念、性质分析问题，本题未涉及函数相关内容；数形结合思想需要结合数字与几何图形解题，本题没有图形相关的分析；公理化思想是从基础公理出发推导其他结论的思想，和本题解方程的过程无关。结合解题过程就能选出正确答案。
【解析】
题干中解$3x^2-6x=0$的过程，是将一元二次方程通过因式分解降次，转化为已经熟练掌握的一元一次方程求解，本质是把未知问题转化为已知问题，符合转化思想的特征。
对其余选项逐一排除：
B选项函数思想未涉及函数的变量、性质相关分析，不符合题意；
C选项数形结合思想没有用到几何图形辅助解题，不符合题意；
D选项公理化思想是从基本公理出发推导相关结论的思想，和本题解方程的过程无关，不符合题意。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
转化思想，一元二次方程解法，因式分解
【点评】
本题考查常见数学思想的辨别，解题关键是理解各类数学思想的核心内涵，结合解方程过程中“化高次为低次、化未知为已知”的特征即可快速判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先梳理题干中解方程的逻辑：我们将难度较高、未直接掌握解法的一元二次方程，通过因式分解拆成两个已经熟练会解的一元一次方程，再求解方程的根。接下来回忆四个选项对应的数学思想定义：转化思想的核心是把复杂、未知的问题转化为简单、已知的问题解决；函数思想需要用到函数的概念、性质分析问题，本题未涉及函数相关内容；数形结合思想需要结合数字与几何图形解题，本题没有图形相关的分析；公理化思想是从基础公理出发推导其他结论的思想，和本题解方程的过程无关。结合解题过程就能选出正确答案。
【解析】
题干中解$3x^2-6x=0$的过程，是将一元二次方程通过因式分解降次，转化为已经熟练掌握的一元一次方程求解，本质是把未知问题转化为已知问题，符合转化思想的特征。
对其余选项逐一排除：
B选项函数思想未涉及函数的变量、性质相关分析，不符合题意；
C选项数形结合思想没有用到几何图形辅助解题，不符合题意；
D选项公理化思想是从基本公理出发推导相关结论的思想，和本题解方程的过程无关，不符合题意。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
转化思想，一元二次方程解法，因式分解
【点评】
本题考查常见数学思想的辨别，解题关键是理解各类数学思想的核心内涵，结合解方程过程中“化高次为低次、化未知为已知”的特征即可快速判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
10.若实数k,b是一元二次方程$(x+3)(x-1)=0$的两个根，且$k＜b$，则一次函数$y=kx+b$的图象不经过(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
)。A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先求解一元二次方程得到两个根；第二步根据$k＜b$的条件确定$k$和$b$的具体取值；第三步结合一次函数的系数与图像的对应关系，判断函数图像经过的象限，最终得出不经过的象限。首先题目给出的一元二次方程是因式分解形式，可直接求解根；其次要注意大小关系不要搞混$k$和$b$的值；最后回忆一次函数$y=kx+b$中，$k$决定图像的倾斜方向，$b$决定图像与$y$轴的交点位置，结合两者就能判断象限。
【解析】
首先解一元二次方程$(x+3)(x-1)=0$：
令$x+3=0$，解得$x=-3$；令$x-1=0$，解得$x=1$。
因为$k＜b$，所以$k=-3$，$b=1$。
则一次函数的解析式为$y=-3x+1$。
其中$k=-3＜0$，说明函数图像呈下降趋势，经过第二、四象限；$b=1＞0$，说明函数图像与$y$轴交于正半轴，因此图像还经过第一象限。
综上，一次函数$y=-3x+1$的图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；一次函数的图像与性质
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程求解和一次函数性质结合考查，解题的关键是准确求出$k$、$b$的值，不要因忽略$k＜b$的条件将两个根弄反，掌握一次函数系数与图像的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步先求解一元二次方程得到两个根；第二步根据$k＜b$的条件确定$k$和$b$的具体取值；第三步结合一次函数的系数与图像的对应关系，判断函数图像经过的象限，最终得出不经过的象限。首先题目给出的一元二次方程是因式分解形式，可直接求解根；其次要注意大小关系不要搞混$k$和$b$的值；最后回忆一次函数$y=kx+b$中，$k$决定图像的倾斜方向，$b$决定图像与$y$轴的交点位置，结合两者就能判断象限。
【解析】
首先解一元二次方程$(x+3)(x-1)=0$：
令$x+3=0$，解得$x=-3$；令$x-1=0$，解得$x=1$。
因为$k＜b$，所以$k=-3$，$b=1$。
则一次函数的解析式为$y=-3x+1$。
其中$k=-3＜0$，说明函数图像呈下降趋势，经过第二、四象限；$b=1＞0$，说明函数图像与$y$轴交于正半轴，因此图像还经过第一象限。
综上，一次函数$y=-3x+1$的图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；一次函数的图像与性质
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程求解和一次函数性质结合考查，解题的关键是准确求出$k$、$b$的值，不要因忽略$k＜b$的条件将两个根弄反，掌握一次函数系数与图像的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11.用因式分解法解下列方程：
(1)$2x^2 + x(x - 3) = 0$；
(2)$(x - 3)^2 + x^2 - 9 = 0$；
(3)$2x(x - 3) = (3 - x)^2$；
(4)$(2x - 2)^2 = x^2 + 2x + 1$。
(1)$2x^2 + x(x - 3) = 0$；
(2)$(x - 3)^2 + x^2 - 9 = 0$；
(3)$2x(x - 3) = (3 - x)^2$；
(4)$(2x - 2)^2 = x^2 + 2x + 1$。
答案
(1)$x_1=0,x_2=1$。(2)$x_1=3,x_2=0$。(3)$x_1=3,x_2=-3$。(4)$x_1=3,x_2=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解。解题步骤为：①将方程整理为右边为0的形式；②观察左边多项式的结构，选择提公因式法或公式法（平方差、完全平方公式）进行因式分解；③令每个因式等于0，分别求解一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 对$2x^2 + x(x - 3) = 0$左边提公因式$x$，得：
$x[2x+(x-3)]=0$
整理得$x(3x-3)=0$
$\therefore x=0$ 或 $3x-3=0$
解得$x_1=0, x_2=1$
(2) 先将$x^2-9$用平方差公式因式分解为$(x-3)(x+3)$，原方程化为：
$(x-3)^2 + (x-3)(x+3)=0$
提公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)[(x-3)+(x+3)]=0$
整理得$(x-3)· 2x=0$
$\therefore x-3=0$ 或 $2x=0$
解得$x_1=3, x_2=0$
(3) 先移项使右边为0，注意$(3-x)^2=(x-3)^2$，原方程化为：
$2x(x-3)-(x-3)^2=0$
提公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)[2x-(x-3)]=0$
整理得$(x-3)(x+3)=0$
$\therefore x-3=0$ 或 $x+3=0$
解得$x_1=3, x_2=-3$
(4) 先将右边$x^2+2x+1$用完全平方公式因式分解为$(x+1)^2$，移项得：
$(2x-2)^2 - (x+1)^2=0$
用平方差公式因式分解，得：
$[(2x-2)+(x+1)][(2x-2)-(x+1)]=0$
整理得$(3x-1)(x-3)=0$
$\therefore 3x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得$x_1=3, x_2=\frac{1}{3}$
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=1$；(2)$x_1=3,x_2=0$；(3)$x_1=3,x_2=-3$；(4)$x_1=3,x_2=\frac{1}{3}$
【知识点】
因式分解法解方程；提公因式法；公式法因式分解
【点评】
本组题目考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题时需先观察方程结构，灵活选择因式分解的方法，移项时注意符号变化，避免出现漏解或符号错误。
【难度系数】
0.8
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解。解题步骤为：①将方程整理为右边为0的形式；②观察左边多项式的结构，选择提公因式法或公式法（平方差、完全平方公式）进行因式分解；③令每个因式等于0，分别求解一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 对$2x^2 + x(x - 3) = 0$左边提公因式$x$，得：
$x[2x+(x-3)]=0$
整理得$x(3x-3)=0$
$\therefore x=0$ 或 $3x-3=0$
解得$x_1=0, x_2=1$
(2) 先将$x^2-9$用平方差公式因式分解为$(x-3)(x+3)$，原方程化为：
$(x-3)^2 + (x-3)(x+3)=0$
提公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)[(x-3)+(x+3)]=0$
整理得$(x-3)· 2x=0$
$\therefore x-3=0$ 或 $2x=0$
解得$x_1=3, x_2=0$
(3) 先移项使右边为0，注意$(3-x)^2=(x-3)^2$，原方程化为：
$2x(x-3)-(x-3)^2=0$
提公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)[2x-(x-3)]=0$
整理得$(x-3)(x+3)=0$
$\therefore x-3=0$ 或 $x+3=0$
解得$x_1=3, x_2=-3$
(4) 先将右边$x^2+2x+1$用完全平方公式因式分解为$(x+1)^2$，移项得：
$(2x-2)^2 - (x+1)^2=0$
用平方差公式因式分解，得：
$[(2x-2)+(x+1)][(2x-2)-(x+1)]=0$
整理得$(3x-1)(x-3)=0$
$\therefore 3x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得$x_1=3, x_2=\frac{1}{3}$
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=1$；(2)$x_1=3,x_2=0$；(3)$x_1=3,x_2=-3$；(4)$x_1=3,x_2=\frac{1}{3}$
【知识点】
因式分解法解方程；提公因式法；公式法因式分解
【点评】
本组题目考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题时需先观察方程结构，灵活选择因式分解的方法，移项时注意符号变化，避免出现漏解或符号错误。
【难度系数】
0.8
12. 根据多项式乘法可知$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$，从而我们可得用十字相乘法进行因式分解的公式$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$，比如：$x^2-5x-6=x^2+(-6+1)x+(-6×1)=(x-6)(x+1)$。
据此回答下列问题：
(1)将二次三项式$x^2+2x-3$因式分解。
(2)解一元二次方程$x^2-4x+3=0$。
(3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程。如：$3x^2+x-2=0$，方程可分解为$(x+1)(3x-2)=0$，从而可以快速求出方程的解。请你利用此方法尝试解方程$5x^2+7x-6=0$。
据此回答下列问题：
(1)将二次三项式$x^2+2x-3$因式分解。
(2)解一元二次方程$x^2-4x+3=0$。
(3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程。如：$3x^2+x-2=0$，方程可分解为$(x+1)(3x-2)=0$，从而可以快速求出方程的解。请你利用此方法尝试解方程$5x^2+7x-6=0$。
答案
(1)$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$。
(2)原方程可变形为$(x-3)(x-1)=0,x-3=0或x-1=0,所以x_1=3,x_2=1$。
(3)$5x^2+7x-6=0,(5x-3)(x+2)=0,5x-3=0或x+2=0,所以x_1=\frac{3}{5},x_2=-2$。
(2)原方程可变形为$(x-3)(x-1)=0,x-3=0或x-1=0,所以x_1=3,x_2=1$。
(3)$5x^2+7x-6=0,(5x-3)(x+2)=0,5x-3=0或x+2=0,所以x_1=\frac{3}{5},x_2=-2$。
解析
【分析】
本题考查十字相乘法的原理及应用，解题思路如下：
(1) 分解二次项系数为1的二次三项式时，需找到两个数，满足两数之和等于一次项系数，两数之积等于常数项，再套用十字相乘因式分解公式即可完成分解。
(2) 解二次项系数为1的一元二次方程时，先利用十字相乘法将方程左侧因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
(3) 解二次项系数不为1的一元二次方程时，将二次项系数拆为两个正因数的乘积，常数项拆为两个因数的乘积，验证交叉相乘的和等于一次项系数后，即可完成因式分解，再按上述因式分解法解方程的步骤求解即可。
【解析】
(1) 对于$x^2+2x-3$，寻找两个数满足和为2、积为-3，可得这两个数为3和-1，因此：
$x^2+2x-3=x^2+(3-1)x+3×(-1)=(x+3)(x-1)$
(2) 首先对原方程左侧的二次三项式因式分解，寻找两个数满足和为-4、积为3，可得这两个数为-3和-1，因此原方程变形为：
$(x-3)(x-1)=0$
可得$x-3=0$或$x-1=0$
解得$x_1=3$，$x_2=1$
(3) 对于方程$5x^2+7x-6=0$，将二次项系数5拆为$5×1$，常数项-6拆为$-3×2$，交叉相乘验证：$5×2 + 1×(-3)=7$，恰好等于一次项系数，因此方程可分解为：
$(5x-3)(x+2)=0$
可得$5x-3=0$或$x+2=0$
解得$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=-2$
【答案】
(1)$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$
(2)原方程可变形为$(x-3)(x-1)=0$，$x-3=0$或$x-1=0$，所以$x_1=3$，$x_2=1$
(3)$5x^2+7x-6=0$，$(5x-3)(x+2)=0$，$5x-3=0$或$x+2=0$，所以$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=-2$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题遵循由易到难的逻辑，从基础因式分解过渡到一元二次方程的求解，再拓展到二次项系数不为1的情形，重点考查十字相乘法的灵活运用，掌握十字拆分的规律后可大幅提升解方程的效率。
【难度系数】
0.7
本题考查十字相乘法的原理及应用，解题思路如下：
(1) 分解二次项系数为1的二次三项式时，需找到两个数，满足两数之和等于一次项系数，两数之积等于常数项，再套用十字相乘因式分解公式即可完成分解。
(2) 解二次项系数为1的一元二次方程时，先利用十字相乘法将方程左侧因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
(3) 解二次项系数不为1的一元二次方程时，将二次项系数拆为两个正因数的乘积，常数项拆为两个因数的乘积，验证交叉相乘的和等于一次项系数后，即可完成因式分解，再按上述因式分解法解方程的步骤求解即可。
【解析】
(1) 对于$x^2+2x-3$，寻找两个数满足和为2、积为-3，可得这两个数为3和-1，因此：
$x^2+2x-3=x^2+(3-1)x+3×(-1)=(x+3)(x-1)$
(2) 首先对原方程左侧的二次三项式因式分解，寻找两个数满足和为-4、积为3，可得这两个数为-3和-1，因此原方程变形为：
$(x-3)(x-1)=0$
可得$x-3=0$或$x-1=0$
解得$x_1=3$，$x_2=1$
(3) 对于方程$5x^2+7x-6=0$，将二次项系数5拆为$5×1$，常数项-6拆为$-3×2$，交叉相乘验证：$5×2 + 1×(-3)=7$，恰好等于一次项系数，因此方程可分解为：
$(5x-3)(x+2)=0$
可得$5x-3=0$或$x+2=0$
解得$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=-2$
【答案】
(1)$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$
(2)原方程可变形为$(x-3)(x-1)=0$，$x-3=0$或$x-1=0$，所以$x_1=3$，$x_2=1$
(3)$5x^2+7x-6=0$，$(5x-3)(x+2)=0$，$5x-3=0$或$x+2=0$，所以$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=-2$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题遵循由易到难的逻辑，从基础因式分解过渡到一元二次方程的求解，再拓展到二次项系数不为1的情形，重点考查十字相乘法的灵活运用，掌握十字拆分的规律后可大幅提升解方程的效率。
【难度系数】
0.7
