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1 [中]若$(a^2 + b^2 + 1)(a^2 + b^2 - 1) = 35$，则$a^2 + b^2 =$(
A.$3$
B.$6$
C.$\pm 3$
D.$\pm 6$
B
)A.$3$
B.$6$
C.$\pm 3$
D.$\pm 6$
答案
1. B 【解析】因为$(a^{2}+b^{2}+1)(a^{2}+b^{2}-1)=35$，所以$[(a^{2}+b^{2})+1][(a^{2}+b^{2})-1]=35$，所以$(a^{2}+b^{2})^{2}-1=35$，所以$(a^{2}+b^{2})^{2}=36$. 因为$a^{2}+b^{2}≥0$，所以$a^{2}+b^{2}=6$，故选B.
2 [2025 陕西咸阳质检，中]如图，四边形$ABCD$是长方形，四边形$ABMN$是面积为$15$的正方形，点$M$，$N$分别在$BC$，$AD$上，点$E$，$F$在$MN$上，点$G$，$H$在$CD$上，且四边形$EFGH$是正方形，连接$AE$，$DE$，$BF$，$CF$，若图中阴影部分的总面积为$6$，则正方形$EFGH$的面积为(
A.$6$
B.$5$
C.$4$
D.$3$
D
)A.$6$
B.$5$
C.$4$
D.$3$
答案
2. D 【解析】设正方形ABMN的边长为$a$，正方形EFGH的边长为$b$，则$AD = BC = a + b$，$NE + MF = a - b$，所以阴影部分的总面积为$S_{△ ADE}+S_{△ BCF}=\frac{1}{2}AD· NE+\frac{1}{2}BC· FM=\frac{1}{2}AD(NE + FM)=\frac{1}{2}(a + b)(a - b)=6$，即$a^{2}-b^{2}=12$. 因为正方形ABMN的面积为15，所以$a^{2}=15$，所以$b^{2}=3$，即正方形EFGH的面积为3，故选D.
3 [2025 重庆北碚区调研，较难]$18×(3 + 1)(3^2 + 1)·(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1)(3^{32} + 1)(3^{64} + 1) + 9$的个位数字为(
A.$1$
B.$3$
C.$7$
D.$9$
D
)A.$1$
B.$3$
C.$7$
D.$9$
答案
3. D 【解析】$18×(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1)(3^{64}+1)+9=9[2×(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1)(3^{64}+1)+1]=9[(3 - 1)×(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1)(3^{64}+1)+1]=9[(3^{2}-1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1)(3^{64}+1)+1]=9[(3^{128}-1)+1]=9×3^{128}=3^{2}×3^{128}=3^{130}$. 因为$3^{1}=3$，$3^{2}=9$，$3^{3}=27$，$3^{4}=81$，$3^{5}=243$，所以$3^{n}$（$n$为正整数）的个位数字按3，9，7，1的顺序循环. 因为$130÷4=32······2$，所以$3^{130}$的个位数字为9，故选D.
4 [中]观察下列各式：
$(a + 1)(a^2 - a + 1) = a^3 + 1$；
$(a - 2)(a^2 + 2a + 4) = a^3 - 8$；
$(3a - 2)(9a^2 + 6a + 4) = 27a^3 - 8$。
(1)请你按照以上各式的运算规律填空。
①$(x - 3)(x^2 + 3x + 9) =$
②$(2x + 1)$（
③（
(2)应用规律计算：$(a^2 - b^2)(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$。
$(a + 1)(a^2 - a + 1) = a^3 + 1$；
$(a - 2)(a^2 + 2a + 4) = a^3 - 8$；
$(3a - 2)(9a^2 + 6a + 4) = 27a^3 - 8$。
(1)请你按照以上各式的运算规律填空。
①$(x - 3)(x^2 + 3x + 9) =$
$x^{3}-27$
；②$(2x + 1)$（
$4x^{2}-2x + 1$
）$= 8x^3 + 1$；③（
$x - y$
）$(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$。(2)应用规律计算：$(a^2 - b^2)(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$。
答案
4. 【解】(1)①$(x - 3)(x^{2}+3x + 9)=x^{3}-27$；
②$(2x + 1)(4x^{2}-2x + 1)=8x^{3}+1$；
③$(x - y)(x^{2}+xy + y^{2})=x^{3}-y^{3}$.
故答案为①$x^{3}-27$，②$4x^{2}-2x + 1$，③$x - y$.
(2)$(a^{2}-b^{2})(a^{2}+ab + b^{2})(a^{2}-ab + b^{2})=[(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})][(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})]=(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})=a^{6}-b^{6}$.
②$(2x + 1)(4x^{2}-2x + 1)=8x^{3}+1$；
③$(x - y)(x^{2}+xy + y^{2})=x^{3}-y^{3}$.
故答案为①$x^{3}-27$，②$4x^{2}-2x + 1$，③$x - y$.
(2)$(a^{2}-b^{2})(a^{2}+ab + b^{2})(a^{2}-ab + b^{2})=[(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})][(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})]=(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})=a^{6}-b^{6}$.
5 [2024 江苏常州质检，中]乘法公式的探究与应用：
(1)如图(1)，边长为$a$的大正方形中有一个边长为$b$的小正方形，则阴影部分的面积是
(2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个大长方形，如图(2)，则大长方形的长是
(3)比较图(1)、图(2)阴影部分的面积，可以得到恒等式：
(4)运用你得到的公式计算：$10.3×9.7$。
]
(1)如图(1)，边长为$a$的大正方形中有一个边长为$b$的小正方形，则阴影部分的面积是
$a^{2}-b^{2}$
(写成两数平方差的形式)。(2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个大长方形，如图(2)，则大长方形的长是
$a + b$
，宽是$a - b$
，面积是$(a + b)(a - b)$
(写成多项式乘法的形式)。(3)比较图(1)、图(2)阴影部分的面积，可以得到恒等式：
$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$
。(4)运用你得到的公式计算：$10.3×9.7$。
]
答案
5. 【解】(1)阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，即$a^{2}-b^{2}$.
故答案为$a^{2}-b^{2}$.
(2)大长方形的长是$a + b$，宽是$a - b$，面积是$(a + b)(a - b)$.
故答案为$a + b$，$a - b$，$(a + b)(a - b)$.
(3)$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$.
(4)$10.3×9.7=(10 + 0.3)(10 - 0.3)=10^{2}-0.3^{2}=100 - 0.09=99.91$.
故答案为$a^{2}-b^{2}$.
(2)大长方形的长是$a + b$，宽是$a - b$，面积是$(a + b)(a - b)$.
故答案为$a + b$，$a - b$，$(a + b)(a - b)$.
(3)$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$.
(4)$10.3×9.7=(10 + 0.3)(10 - 0.3)=10^{2}-0.3^{2}=100 - 0.09=99.91$.
6 核心素养 推理能力 [难]观察下列各式：
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$；$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$；$(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) = a^4 - b^4$；$(a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) = a^5 - b^5······$
(1)根据规律可得$(a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + ··· + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1}) =$
(2)根据规律可得$(a - 1)(a^{n - 1} + a^{n - 2} + ··· + a^2 + a + 1) =$
(3)利用这个规律，请你解决下面的问题：
①求$2^{199} + 2^{198} + 2^{197} + ··· + 2^2 + 2 + 1$的值；
②若$a^7 + a^6 + a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = 0$，求$a$的值。
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$；$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$；$(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) = a^4 - b^4$；$(a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) = a^5 - b^5······$
(1)根据规律可得$(a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + ··· + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1}) =$
$a^{n}-b^{n}$
(其中$n$为正整数，且各指数均为正数)。(2)根据规律可得$(a - 1)(a^{n - 1} + a^{n - 2} + ··· + a^2 + a + 1) =$
$a^{n}-1$
(其中$n$为正整数，且各指数均为正数)。(3)利用这个规律，请你解决下面的问题：
①求$2^{199} + 2^{198} + 2^{197} + ··· + 2^2 + 2 + 1$的值；
②若$a^7 + a^6 + a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = 0$，求$a$的值。
答案
6. (1)$a^{n}-b^{n}$
(2)$a^{n}-1$
(3)【解】①因为$(2 - 1)(2^{199}+2^{198}+2^{197}+···+2^{2}+2 + 1)=2^{200}-1$，所以$2^{199}+2^{198}+2^{197}+···+2^{2}+2 + 1=2^{200}-1$.
②由(2)可知，$a^{8}-1=(a - 1)(a^{7}+a^{6}+a^{5}+a^{4}+a^{3}+a^{2}+a + 1)$，
所以$a^{8}-1=0$，即$a^{8}=1$，
所以$a=\pm1$.
又因为当$a = 1$时，$a^{7}+a^{6}+a^{5}+a^{4}+a^{3}+a^{2}+a + 1=0$不成立，所以$a=-1$.
(2)$a^{n}-1$
(3)【解】①因为$(2 - 1)(2^{199}+2^{198}+2^{197}+···+2^{2}+2 + 1)=2^{200}-1$，所以$2^{199}+2^{198}+2^{197}+···+2^{2}+2 + 1=2^{200}-1$.
②由(2)可知，$a^{8}-1=(a - 1)(a^{7}+a^{6}+a^{5}+a^{4}+a^{3}+a^{2}+a + 1)$，
所以$a^{8}-1=0$，即$a^{8}=1$，
所以$a=\pm1$.
又因为当$a = 1$时，$a^{7}+a^{6}+a^{5}+a^{4}+a^{3}+a^{2}+a + 1=0$不成立，所以$a=-1$.
