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1 [2025 江苏苏州期中]下列各式中，不能使用平方差公式计算的是(
A.$(x + 1)(x - 1)$
B.$(x - 1)(-x - 1)$
C.$(1 - x)(x + 1)$
D.$(x + 1)(-x - 1)$
D
)A.$(x + 1)(x - 1)$
B.$(x - 1)(-x - 1)$
C.$(1 - x)(x + 1)$
D.$(x + 1)(-x - 1)$
答案
1. D 【解析】A选项，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B选项，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；C选项能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；D选项，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意. 故选D.
2 [2025 江苏扬州期中]运用平方差公式计算$(x + 3y - z)(x - 3y + z)$，下列变形正确的是(
A.$[x - (3y + z)]^2$
B.$[(x - 3y) + z][(x - 3y) - z]$
C.$[x - (3y - z)][x + (3y - z)]$
D.$[(x + 3y) - z][(x + 3y) + z]$
C
)A.$[x - (3y + z)]^2$
B.$[(x - 3y) + z][(x - 3y) - z]$
C.$[x - (3y - z)][x + (3y - z)]$
D.$[(x + 3y) - z][(x + 3y) + z]$
答案
2. C 【解析】运用平方差公式计算$(x + 3y - z)·(x - 3y + z)$，应变形为$[x + (3y - z)][x - (3y - z)]$，故选C.
3 [2025 江苏无锡质检]下列各式中，计算结果正确的是(
A.$(x + y)(-x - y) = x^2 - y^2$
B.$(y - z)(-y + z) = -y^2 + 2yz - z^2$
C.$(-x - 3y)(-x + 3y) = -x^2 - 9y^2$
D.$(2x^2 - y)(2x^2 + y) = 2x^4 - y^2$
B
)A.$(x + y)(-x - y) = x^2 - y^2$
B.$(y - z)(-y + z) = -y^2 + 2yz - z^2$
C.$(-x - 3y)(-x + 3y) = -x^2 - 9y^2$
D.$(2x^2 - y)(2x^2 + y) = 2x^4 - y^2$
答案
3. B 【解析】A选项，$(x + y)(-x - y)=-(x + y)^{2}=-x^{2}-2xy - y^{2}$，计算结果错误，不符合题意；B选项，$(y - z)(-y + z)=-(y - z)^{2}=-y^{2}+2yz - z^{2}$，计算结果正确，符合题意；C选项，$(-x - 3y)(-x + 3y)=x^{2}-9y^{2}$，计算结果错误，不符合题意；D选项，$(2x^{2}-y)(2x^{2}+y)=4x^{4}-y^{2}$，计算结果错误，不符合题意. 故选B.
4 [2024 江苏南通期中]若$(m + 1)^2 = 3$，$(n + 1)^2 = 5$，则$(n + m + 2)(n - m) =$
2
。答案
4. 2 【解析】因为$(m + 1)^{2}=3$，$(n + 1)^{2}=5$，所以$m^{2}+2m + 1=3$，$n^{2}+2n + 1=5$，两等式相减，得$m^{2}-n^{2}+2(m - n)=-2$，所以$(n + m + 2)(n - m)=(n + m)(n - m)+2(n - m)=n^{2}-m^{2}-2(m - n)=2$. 故答案为2.
5 若$a^4 = 3$，则$(1 - a)(1 + a)(1 + a^2)$的值为
-2
。答案
5. -2 【解析】原式$=(1 - a^{2})(1 + a^{2})=1 - a^{4}=1 - 3=-2$. 故答案为-2.
6 已知$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$(3a + 3b + 1)(3a + 3b - 1) = 899$，则$a + b =$
10
。答案
6. 10 【解析】因为$(3a + 3b + 1)(3a + 3b - 1)=899$，所以$(3a + 3b)^{2}-1=899$，即$(3a + 3b)^{2}=900$. 又因为$(\pm30)^{2}=900$，$a＞0$，$b＞0$，所以$3a + 3b=30$，所以$a + b=10$. 故答案为10.
7 我们知道，借助图形可以验证公式。下列图形可以用来验证平方差公式$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$的是(
A.
B.
C.
D.
]
B
)A.
B.
C.
D.
]
答案
7. B 【解析】由A选项图形得$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，所以A选项不符合题意；由B选项图形得$2×\frac{1}{2}(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，即$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，所以B选项符合题意；由C选项图形得$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab$，所以C选项不符合题意；由D选项图形得$(a + x)(b + x)=ab + ax + bx + x^{2}$，所以D选项不符合题意. 故选B.
8 [2025 江苏南京一模]两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的(
A.和
B.差的绝对值
C.积
D.差的平方
A
)A.和
B.差的绝对值
C.积
D.差的平方
答案
8. A 【解析】设两个连续的自然数为$n$，$n + 1$，则有$|(n + 1)^{2}-n^{2}|=|(n + 1 + n)·(n + 1 - n)|=|n + 1 + n|=2n + 1$，所以两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的和. 故选A.
9 [2025 江苏连云港期中]小红在计算$\frac{2024^2}{2025^2 + 2023^2 - 2}$时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案。你知道答案是多少吗？请将答案填在横线上
$\frac{1}{2}$
。答案
9. $\frac{1}{2}$ 【解析】$\frac{2024^{2}}{2025^{2}+2023^{2}-2}=\frac{2024^{2}}{(2025^{2}-1)+(2023^{2}-1)}=\frac{2024^{2}}{(2025 + 1)(2025 - 1)+(2023 + 1)(2023 - 1)}=\frac{2024^{2}}{2026×2024 + 2024×2022}=\frac{2024}{2026 + 2022}=\frac{2024}{4048}=\frac{1}{2}$，故答案为$\frac{1}{2}$.
10 [2025 江苏常州调研]把一根$20 cm$长的铁丝分成两段，将每一段都围成一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是$5 cm^2$，则这两段铁丝的长分别是
12 cm和8 cm
。答案
10. 12 cm和8 cm 【解析】设其中较长的一段铁丝的长为$x$ cm，则另一段铁丝的长为$(20 - x)$ cm，则两个小正方形的边长分别为$\frac{1}{4}x$ cm和$\frac{1}{4}(20 - x)$ cm. 因为两个正方形的面积之差为$5$ cm$^{2}$，所以$(\frac{1}{4}x)^{2}-[\frac{1}{4}(20 - x)]^{2}=5$，所以$(\frac{1}{4}x)^{2}-(5-\frac{1}{4}x)^{2}=5$，所以$(\frac{1}{4}x + 5-\frac{1}{4}x)(\frac{1}{4}x - 5+\frac{1}{4}x)=5$，所以$\frac{1}{2}x - 5=1$，解得$x=12$，所以$20 - 12=8$（cm）. 故两段铁丝的长分别为12 cm和8 cm.
11 [2024 江苏南京期中]某同学在计算$3(4 + 1)(4^2 + 1)$时，把$3$写成$(4 - 1)$后，发现可以连续运用平方差公式计算：$3(4 + 1)(4^2 + 1) = (4 - 1)(4 + 1)(4^2 + 1) = (4^2 - 1)(4^2 + 1) = 16^2 - 1 = 255$。仿照该同学的计算方法，计算$(1 + \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2^2})(1 + \frac{1}{2^4})(1 + \frac{1}{2^8}) + \frac{1}{2^{15}}$的值为
2
。答案
11. 2 【解析】原式$=2(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})·(1+\frac{1}{2^{2}})(1+\frac{1}{2^{4}})(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{15}}=2(1-\frac{1}{2^{16}})+\frac{1}{2^{15}}=2-\frac{1}{2^{15}}+\frac{1}{2^{15}}=2$.
12 [2025 河南周口调研]利用简便方法计算：
(1)$99×101$。
(2)$65^2×11 - 35^2×11$。
(1)$99×101$。
(2)$65^2×11 - 35^2×11$。
答案
12. 【解】(1)$99×101=(100 - 1)×(100 + 1)=100^{2}-1^{2}=10000 - 1=9999$.
(2)$65^{2}×11 - 35^{2}×11=(65^{2}-35^{2})×11=(65 + 35)(65 - 35)×11=100×30×11=3000×11=33000$.
(2)$65^{2}×11 - 35^{2}×11=(65^{2}-35^{2})×11=(65 + 35)(65 - 35)×11=100×30×11=3000×11=33000$.
13 若$(x + 2y)(x - 2y) = bx^2 - ay^2$，求$(2a + b + 3)(2a + b - 3) - (2a + b)(2a - b)$的值。
答案
13. 【解】由$(x + 2y)(x - 2y)=bx^{2}-ay^{2}$，得$bx^{2}-ay^{2}=x^{2}-4y^{2}$，则$a = 4$，$b = 1$. 原式$=[(2a + b)+3][(2a + b)-3]-(2a + b)(2a - b)=(2a + b)^{2}-9 - 4a^{2}+b^{2}=4a^{2}+4ab + b^{2}-9 - 4a^{2}+b^{2}=2b^{2}+4ab - 9$. 把$a = 4$，$b = 1$代入，得原式$=2×1^{2}+4×4×1 - 9=9$.
14 计算$(x + 2y - z)(x - 2y + z) =$
$x^{2}-4y^{2}+4yz - z^{2}$
。答案
14. $x^{2}-4y^{2}+4yz - z^{2}$ 【解析】原式$=x^{2}-(2y - z)^{2}=x^{2}-4y^{2}+4yz - z^{2}$. 故答案为$x^{2}-4y^{2}+4yz - z^{2}$.
