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16.(6分)计算:
(1)$\sqrt{12} - \sqrt{18} ÷ \sqrt{6}$。
(2)$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + 2}$。
(1)$\sqrt{12} - \sqrt{18} ÷ \sqrt{6}$。
(2)$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + 2}$。
答案
(1)原式$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
(2)原式$=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=5-2\sqrt{5}$。
(2)原式$=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=5-2\sqrt{5}$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算，解题思路：(1)小题先根据二次根式的除法法则计算除法部分，再将结果与化简后的二次根式合并；(2)小题利用平方差公式对分母进行有理化，再化简计算。
【解析】
(1) 先化简二次根式并计算除法：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，则$\sqrt{18}÷\sqrt{6}=\sqrt{\frac{18}{6}}=\sqrt{3}$，
所以原式$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
(2) 对分母有理化，分母的有理化因式为$\sqrt{5}-2$，分子分母同乘该因式：
原式$=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}$，分母根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$得$(\sqrt{5})^2 - 2^2=5-4=1$，分子展开得$\sqrt{5}×\sqrt{5}-\sqrt{5}×2=5-2\sqrt{5}$，
所以原式$=5-2\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$\sqrt{3}$；(2)$5-2\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式混合运算、分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的化简、除法法则及分母有理化的方法，是二次根式相关知识的重点内容，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的运算，解题思路：(1)小题先根据二次根式的除法法则计算除法部分，再将结果与化简后的二次根式合并；(2)小题利用平方差公式对分母进行有理化，再化简计算。
【解析】
(1) 先化简二次根式并计算除法：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，则$\sqrt{18}÷\sqrt{6}=\sqrt{\frac{18}{6}}=\sqrt{3}$，
所以原式$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
(2) 对分母有理化，分母的有理化因式为$\sqrt{5}-2$，分子分母同乘该因式：
原式$=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}$，分母根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$得$(\sqrt{5})^2 - 2^2=5-4=1$，分子展开得$\sqrt{5}×\sqrt{5}-\sqrt{5}×2=5-2\sqrt{5}$，
所以原式$=5-2\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$\sqrt{3}$；(2)$5-2\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式混合运算、分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的化简、除法法则及分母有理化的方法，是二次根式相关知识的重点内容，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
17.(6分)解方程:
(1)$x^2+2x=0$。
(2)$4x^2+1=-4x$。
(1)$x^2+2x=0$。
(2)$4x^2+1=-4x$。
答案
(1)$x_1=0,x_2=-2$。
(2)$x_1=x_2=-\frac{1}{2}$。
(2)$x_1=x_2=-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】解一元二次方程时，优先根据方程特点选择简便方法：第(1)题左边可提取公因式，用因式分解法最快捷；第(2)题先整理为标准形式，发现左边是完全平方式，用配方法或因式分解法即可求解。
【解析】
(1) 对$x^2 + 2x = 0$，提取公因式得：
$x(x + 2) = 0$
根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，得：
$x = 0$ 或 $x + 2 = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -2$
(2) 将方程$4x^2 + 1 = -4x$移项整理为标准形式：
$4x^2 + 4x + 1 = 0$
左边符合完全平方公式，变形为：
$(2x + 1)^2 = 0$
则$2x + 1 = 0$
解得：$x_1 = x_2 = -\frac{1}{2}$
【答案】(1)$x_1=0,x_2=-2$；(2)$x_1=x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】一元二次方程的解法、因式分解法、配方法
【点评】本题是基础的一元二次方程求解题，核心考察因式分解法和配方法的应用，属于初中数学必须掌握的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】
(1) 对$x^2 + 2x = 0$，提取公因式得：
$x(x + 2) = 0$
根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，得：
$x = 0$ 或 $x + 2 = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -2$
(2) 将方程$4x^2 + 1 = -4x$移项整理为标准形式：
$4x^2 + 4x + 1 = 0$
左边符合完全平方公式，变形为：
$(2x + 1)^2 = 0$
则$2x + 1 = 0$
解得：$x_1 = x_2 = -\frac{1}{2}$
【答案】(1)$x_1=0,x_2=-2$；(2)$x_1=x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】一元二次方程的解法、因式分解法、配方法
【点评】本题是基础的一元二次方程求解题，核心考察因式分解法和配方法的应用，属于初中数学必须掌握的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
18.(6分)图1、图2均是4×4的正方形网格,小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点称为格点,点A,B均在格点上。只用无刻度的直尺,按要求完成以下画图(不要求写画法)。
(1)在图1中,画出一个以线段AB为边的正方形ABCD(顶点在格点上)。
(2)在图2中,过格点C作一条直线l,使点A,B到直线l的距离相等。
(1)在图1中,画出一个以线段AB为边的正方形ABCD(顶点在格点上)。
(2)在图2中,过格点C作一条直线l,使点A,B到直线l的距离相等。
答案
(1)如图1,正方形ABCD即为所求。
(2)如图2,直线l即为所求。(答案不唯一)
解析
【分析】
第(1)题：要画以AB为边的正方形，需利用网格的直角特性，保证AB的邻边与AB垂直且长度相等。先确定AB的方向，在网格中找到与AB垂直且长度相同的格点，依次连接得到正方形，顶点需在格点上。
第(2)题：点A、B到直线l的距离相等，说明直线l要么平行于AB，要么经过线段AB的中点。结合图2中C点的位置，在网格中找到符合条件的直线即可。
【解析】
(1) 观察网格中AB的位置，AB横向占1格、纵向占2格，根据正方形邻边垂直且相等的性质，在网格中找到与AB垂直且长度相等的两条线段，连接后得到正方形ABCD，顶点均在格点上。
(2) 方法一：过格点C作平行于AB的直线，此时A、B到该直线的距离相等；方法二：找到AB的中点，连接中点与C得到直线，该直线也满足A、B到直线距离相等，任选其一即可。
【答案】
(1) 如图1，正方形ABCD即为所求；(2) 如图2，直线l即为所求（答案不唯一）。
【知识点】
网格作图、正方形性质、点到直线的距离
【点评】
本题考查网格中的基本作图，需结合正方形的边的性质、点到直线距离的特点，利用网格的格点特性完成作图，属于基础操作题，难度适中。
【难度系数】
0.5
第(1)题：要画以AB为边的正方形，需利用网格的直角特性，保证AB的邻边与AB垂直且长度相等。先确定AB的方向，在网格中找到与AB垂直且长度相同的格点，依次连接得到正方形，顶点需在格点上。
第(2)题：点A、B到直线l的距离相等，说明直线l要么平行于AB，要么经过线段AB的中点。结合图2中C点的位置，在网格中找到符合条件的直线即可。
【解析】
(1) 观察网格中AB的位置，AB横向占1格、纵向占2格，根据正方形邻边垂直且相等的性质，在网格中找到与AB垂直且长度相等的两条线段，连接后得到正方形ABCD，顶点均在格点上。
(2) 方法一：过格点C作平行于AB的直线，此时A、B到该直线的距离相等；方法二：找到AB的中点，连接中点与C得到直线，该直线也满足A、B到直线距离相等，任选其一即可。
【答案】
(1) 如图1，正方形ABCD即为所求；(2) 如图2，直线l即为所求（答案不唯一）。
【知识点】
网格作图、正方形性质、点到直线的距离
【点评】
本题考查网格中的基本作图，需结合正方形的边的性质、点到直线距离的特点，利用网格的格点特性完成作图，属于基础操作题，难度适中。
【难度系数】
0.5
19.(6分)已知:如图,点E在$□ ABCD$的边AB的延长线上,连结EC,且$EC// BD$。求证:$BE=AB$.
答案
因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AB// CD,AB=CD$。因为$CE// BD$,所以四边形BECD为平行四边形。所以$BE=CD$。所以$BE=AB$。
解析
【分析】要证明BE=AB，已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB//CD且AB=CD，因此只需证明BE=CD即可。由EC//BD，结合AB与CD平行，可推出四边形BECD是平行四边形，再利用平行四边形对边相等的性质，即可得到BE=CD，进而证得BE=AB。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）。
∵ 点E在AB的延长线上，
∴ BE//CD。
又
∵ EC//BD，
∴ 四边形BECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∴ BE=CD（平行四边形对边相等）。
又
∵ AB=CD，
∴ BE=AB。
【答案】BE=AB
【知识点】平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】本题是平行四边形性质与判定的基础应用题型，通过推导新的平行四边形，结合已知平行四边形的边的关系完成证明，考查学生对平行四边形相关定理的掌握与应用能力。
【难度系数】0.6
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）。
∵ 点E在AB的延长线上，
∴ BE//CD。
又
∵ EC//BD，
∴ 四边形BECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∴ BE=CD（平行四边形对边相等）。
又
∵ AB=CD，
∴ BE=AB。
【答案】BE=AB
【知识点】平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】本题是平行四边形性质与判定的基础应用题型，通过推导新的平行四边形，结合已知平行四边形的边的关系完成证明，考查学生对平行四边形相关定理的掌握与应用能力。
【难度系数】0.6
