22.(12分)(杭州市拱墅区)如图,利用一面墙(墙的长度足够),用篱笆围成一个形如矩形ABCD的场地,在AD,BC边上各有一个宽为1m的缺口,在场地中有用篱笆做的隔断EF,且EF⊥AB,AB＞EF,已知所用篱笆的总长度为38m。
(1)设隔断EF的长为x(m),请用含x的代数式表示AB的长。
(2)所围成的矩形ABCD场地的面积为100m²时,求AB的长。
(3)所围成的矩形ABCD场地的面积能否为140m²?若能,求AB的长;若不能,请说明理由,并写出所围成的矩形ABCD场地面积的最大值。

(1)$AB=38-3x+2=(40-3x)\mathrm{m}$。
(2)由题意得$x(40-3x)=100$,整理得$-3x^2+40x-100=0$,解得$x_1=10$,$x_2=\dfrac{10}{3}$。若$EF=10$,则$AB=40-30=10$(m)。此时$EF=AB$,不合题意。所以$x=\dfrac{10}{3}$。所以$AB=40-3×\dfrac{10}{3}=30(\mathrm{m})$。
(3)设所围成的矩形$ABCD$场地的面积为$S(\mathrm{m}^2)$。当$S=140$时,$x(40-3x)=140$,整理得$3x^2-40x+140=0$,所以$\Delta=1600-1680=-80＜0$。所以所围成的矩形$ABCD$场地的面积不能为$140\mathrm{m}^2$。$S=x(40-3x)=-3(x^2-\dfrac{40}{3}x)=-3(x-\dfrac{20}{3})^2+\dfrac{400}{3}$,当$x=\dfrac{20}{3}$时,所围成的矩形$ABCD$场地面积最大,最大值为$\dfrac{400}{3}\mathrm{m}^2$。

23. (12分)(杭州市拱墅区)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2(a-1)x + (a^2 - a) = 0 $，其中 $ a ＜ 0 $。
(1)求证:此方程有两个不相等的实数根。
(2)若等腰三角形 $ ABC $ 的一条腰 $ AB $ 的长为 6，另外两边 $ AC, BC $ 的长分别是这个方程的两个不相等的实数根，求等腰三角形 $ ABC $ 的周长。
(3)若此方程的两个根恰好为菱形两条对角线的长，且菱形的面积为 21，请直接写出 $ a $ 的值。

(1)$\Delta=4(a-1)^2-4(a^2-a)=-4a+4$,因为$a＜0$,所以$\Delta=-4a+4＞0$。所以方程有两个不相等的实数根。
(2)因为方程的两个实数根不相等,等腰三角形的腰$AB$长为6,所以其中一个根为6,即$36+12(a-1)+(a^2-a)=0$,解得$a_1=-3$,$a_2=-8$。当$a=-3$时,$x^2-8x+12=0$,解得$x_1=6$,$x_2=2$,此时$△ ABC$的周长为$6+6+2=14$;当$a=-8$时,$x^2-18x+72=0$,解得$x_1=6$,$x_2=12$,此时$6+6=12$,不符合三角形的两边之和大于第三边,故$a≠-8$。所以等腰三角形$ABC$的周长为14。
(3)设$x_1$,$x_2$为此方程的两根,则$x_1· x_2=a^2-a$。因为方程两根恰好为菱形两条对角线的长,菱形面积为21。所以$\dfrac{1}{2}x_1· x_2=21$。所以$42=a^2-a$,解得$a_1=-6$,$a_2=7$(舍去),即$a=-6$。