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8. 关于 x 的二次三项式$ M = x^2 + ax + b(a,b $均为非零常数)，关于 x 的三次三项式$ N = 2x^3 - 4x^2 + 10 = c(x - 1)^3 + d(x - 1)^2 + e(x - 1) + f( )$其中 c,d,e,f 均为非零常数)，下列说法中正确的个数有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
).①当 x = -1 时， N = 4 ；②当 M + N 为关于 x 的三次三项式时， b = -10 ；③当多项式 M 与 N 的乘积中不含$ x^4 $项时， a = 2 ；④ e + f = 6 .A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
【点拨】本题考查多项式,熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键.
【解析】因为$N = 2x^3 - 4x^2 + 10$,所以当$x = -1$时,$N = -2 - 4 + 10 = 4$,故①正确;因为$M + N = x^2 + ax + b + 2x^3 - 4x^2 + 10 = 2x^3 - 3x^2 + ax + 10 + b$为关于$x$的三次三项式,且$a,b$均为非零常数,所以$10 + b = 0$,所以$b = -10$,故②正确;因为$M·N=(x^2+ax+b)(2x^3-4x^2+10)=2x^5-4x^4+10x^2+2ax^4-4ax^3+10ax+2bx^3-4bx^2+10b=2x^5-(4-2a)x^4-(4a-2b)x^3+(10-4b)x^2+10ax+10b$,又因为多项式$M$与$N$的乘积中不含$x^4$项,所以$4 - 2a = 0$,所以$a = 2$,故③正确;因为$c(x-1)^3 + d(x-1)^2 + e(x-1) + f = cx^3 + (d-3c)x^2 + (3c-2d+e)x + d + f - c - e = 2x^3 - 4x^2 + 10$,所以$c=2$,$d-3c=-4$,$3c-2d+e=0$,$d+f-c-e=10$,所以$c=2$,$d=2$,$e=-2$,$f=8$,所以$e + f = 6$,故④正确. 综上,正确的个数为4个. 故选 D.
【点拨】本题考查多项式,熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键.
【解析】因为$N = 2x^3 - 4x^2 + 10$,所以当$x = -1$时,$N = -2 - 4 + 10 = 4$,故①正确;因为$M + N = x^2 + ax + b + 2x^3 - 4x^2 + 10 = 2x^3 - 3x^2 + ax + 10 + b$为关于$x$的三次三项式,且$a,b$均为非零常数,所以$10 + b = 0$,所以$b = -10$,故②正确;因为$M·N=(x^2+ax+b)(2x^3-4x^2+10)=2x^5-4x^4+10x^2+2ax^4-4ax^3+10ax+2bx^3-4bx^2+10b=2x^5-(4-2a)x^4-(4a-2b)x^3+(10-4b)x^2+10ax+10b$,又因为多项式$M$与$N$的乘积中不含$x^4$项,所以$4 - 2a = 0$,所以$a = 2$,故③正确;因为$c(x-1)^3 + d(x-1)^2 + e(x-1) + f = cx^3 + (d-3c)x^2 + (3c-2d+e)x + d + f - c - e = 2x^3 - 4x^2 + 10$,所以$c=2$,$d-3c=-4$,$3c-2d+e=0$,$d+f-c-e=10$,所以$c=2$,$d=2$,$e=-2$,$f=8$,所以$e + f = 6$,故④正确. 综上,正确的个数为4个. 故选 D.
9. 计算:$x^{3}· (-x)^{5}=$
$-x^8$
,$-3xy(x-y)=$$-3x^2y+3xy^2$
,$(x+3)(x-2)=$$x^2+x-6$
.答案
【点拨】本题考查同底数幂的乘法,单项式乘多项式,多项式乘多项式.
【解析】$x^3 · (-x)^5 = x^3 · (-x^5) = -x^8$,$-3xy(x - y) = -3x^2y + 3xy^2$,$(x + 3)(x - 2) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$. 故答案为$-x^8$,$-3x^2y+3xy^2$,$x^2+x-6$.
【解析】$x^3 · (-x)^5 = x^3 · (-x^5) = -x^8$,$-3xy(x - y) = -3x^2y + 3xy^2$,$(x + 3)(x - 2) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$. 故答案为$-x^8$,$-3x^2y+3xy^2$,$x^2+x-6$.
10. 计算：$(\dfrac{3}{4})^{2025} × (-\dfrac{4}{3})^{2024}$的结果是________.
答案
$\dfrac{3}{4}$
【点拨】本题考查积的乘方的逆运算.
【解析】$\begin{aligned}(\dfrac{3}{4})^{2025} × (-\dfrac{4}{3})^{2024}&= \dfrac{3}{4} × (\dfrac{3}{4})^{2024} × (-\dfrac{4}{3})^{2024} \\&= \dfrac{3}{4} × (\dfrac{3}{4})^{2024} × (\dfrac{4}{3})^{2024} \\&= \dfrac{3}{4} × (\dfrac{3}{4} × \dfrac{4}{3})^{2024} \\&= \dfrac{3}{4} × 1 \\&= \dfrac{3}{4}.\end{aligned}$ 故答案为$\dfrac{3}{4}$.
【点拨】本题考查积的乘方的逆运算.
【解析】$\begin{aligned}(\dfrac{3}{4})^{2025} × (-\dfrac{4}{3})^{2024}&= \dfrac{3}{4} × (\dfrac{3}{4})^{2024} × (-\dfrac{4}{3})^{2024} \\&= \dfrac{3}{4} × (\dfrac{3}{4})^{2024} × (\dfrac{4}{3})^{2024} \\&= \dfrac{3}{4} × (\dfrac{3}{4} × \dfrac{4}{3})^{2024} \\&= \dfrac{3}{4} × 1 \\&= \dfrac{3}{4}.\end{aligned}$ 故答案为$\dfrac{3}{4}$.
11. 已知实数$a,b$满足$a-b=6$,$ab=9$,则$a^2 + b^2$的值为________.
答案
54
【点拨】本题考查完全平方公式的应用.
【解析】因为$a - b = 6$,$ab = 9$,
所以$a^2 + b^2$
$=(a - b)^2 + 2ab$
$=6^2 + 2×9$
$=36 + 18$
$=54$. 故答案为 54.
【点拨】本题考查完全平方公式的应用.
【解析】因为$a - b = 6$,$ab = 9$,
所以$a^2 + b^2$
$=(a - b)^2 + 2ab$
$=6^2 + 2×9$
$=36 + 18$
$=54$. 故答案为 54.
12. 在“整式乘法”这一章的学习过程中,我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明,例如,利用图1中边长分别为$a,b$的正方形,以及长为$a$,宽为$b$的长方形卡片若干张拼成图2(卡片间不重叠、无缝隙),可以用来解释完全平方公式:$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. 请你解答下面的问题:利用图1中的三种卡片若干张拼成图3,可以解释等式: $\underline{\hspace{10cm}}$.
答案
$(2a + b)(a + b) = 2a^2 + 3ab + b^2$
【点拨】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积.
【解析】题图3中大长方形的面积可表示为$(2a + b)(a + b)$,也可以表示为$a^2 + ab + b^2 + ab + ab + a^2 = 2a^2 + 3ab + b^2$,所以$(2a + b)(a + b) = 2a^2 + 3ab + b^2$. 故答案为$(2a + b)(a + b) = 2a^2 + 3ab + b^2$.
【点拨】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积.
【解析】题图3中大长方形的面积可表示为$(2a + b)(a + b)$,也可以表示为$a^2 + ab + b^2 + ab + ab + a^2 = 2a^2 + 3ab + b^2$,所以$(2a + b)(a + b) = 2a^2 + 3ab + b^2$. 故答案为$(2a + b)(a + b) = 2a^2 + 3ab + b^2$.
13. 已知$x$满足$(x - 2024)^2 + (2026 - x)^2 = 10$，则$(x - 2025)^2$的值是________.
答案
4
【点拨】本题考查完全平方公式.
【解析】因为$(x - 2024)^2 + (2026 - x)^2 = 10$,所以$(x - 2024)^2 + (x - 2026)^2 = 10$,所以$[(x - 2025) + 1]^2 + [(x - 2025) - 1]^2 = 10$,所以$(x - 2025)^2 + 2(x - 2025) + 1 + (x - 2025)^2 - 2(x - 2025) + 1 = 10$,所以$2(x - 2025)^2 = 8$,所以$(x - 2025)^2 = 4$. 故答案为 4.
【点拨】本题考查完全平方公式.
【解析】因为$(x - 2024)^2 + (2026 - x)^2 = 10$,所以$(x - 2024)^2 + (x - 2026)^2 = 10$,所以$[(x - 2025) + 1]^2 + [(x - 2025) - 1]^2 = 10$,所以$(x - 2025)^2 + 2(x - 2025) + 1 + (x - 2025)^2 - 2(x - 2025) + 1 = 10$,所以$2(x - 2025)^2 = 8$,所以$(x - 2025)^2 = 4$. 故答案为 4.
14. 化简：$(a - 2b + c)(a + 2b + c) = \_\_\_\_\_\_$.
答案
$a^2 + 2ac + c^2 - 4b^2$
【点拨】本题考查平方差公式和完全平方公式.
【解析】$(a - 2b + c)(a + 2b + c) = [(a + c) - 2b][(a + c) + 2b] = (a + c)^2 - (2b)^2 = a^2 + 2ac + c^2 - 4b^2$. 故答案为$a^2 + 2ac + c^2 - 4b^2$.
【点拨】本题考查平方差公式和完全平方公式.
【解析】$(a - 2b + c)(a + 2b + c) = [(a + c) - 2b][(a + c) + 2b] = (a + c)^2 - (2b)^2 = a^2 + 2ac + c^2 - 4b^2$. 故答案为$a^2 + 2ac + c^2 - 4b^2$.
15. 已知$x=2^{8}+2^{11}$，若$x=m^{2}$，则自然数$m=$.
答案
48
【点拨】本题考查同底数幂的乘法,幂的乘方的应用.
【解析】因为$x = m^2$,所以$2^8 + 2^{11} = m^2$,所以$2^8(1 + 2^3) = m^2$,所以$16^2 × 3^2 = m^2$,所以$48^2 = m^2$,所以自然数$m = 48$. 故答案为 48.
【点拨】本题考查同底数幂的乘法,幂的乘方的应用.
【解析】因为$x = m^2$,所以$2^8 + 2^{11} = m^2$,所以$2^8(1 + 2^3) = m^2$,所以$16^2 × 3^2 = m^2$,所以$48^2 = m^2$,所以自然数$m = 48$. 故答案为 48.
16. 现将数字1~9填入如图所示的“幻方”中,使得每个圆圈上的四个数字的和都等于23,若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记作A,B,C,且$A+B+C=529$.如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作$x,y,x+y$,则$x+y=$
·14·
12
;$xy=$22
.·14·
答案
12, 22
【点拨】本题考查整式的运算,完全平方公式以及有理数的乘方运算.
【解析】因为每个圆圈上的四个数字的和都等于23,所以三个大圆圈上的数字之和为$23 × 3 = 69$. 因为各小圆圈上的数字之和为$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$,所以$45 + x + y + x + y = 69$,所以$x + y = 12$. 因为$A + B + C = 529$,$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2=285$,所以$285 + (x + y)^2 + x^2 + y^2 = 529$,所以$(x + y)^2 + x^2 + y^2 = 244$,所以$(x + y)^2 + (x + y)^2 - 2xy = 244$,所以$2(x + y)^2 - 2xy = 244$,所以$2 × 12^2 - 2xy = 244$,所以$xy = 22$. 故答案为 12,22.
【点拨】本题考查整式的运算,完全平方公式以及有理数的乘方运算.
【解析】因为每个圆圈上的四个数字的和都等于23,所以三个大圆圈上的数字之和为$23 × 3 = 69$. 因为各小圆圈上的数字之和为$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$,所以$45 + x + y + x + y = 69$,所以$x + y = 12$. 因为$A + B + C = 529$,$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2=285$,所以$285 + (x + y)^2 + x^2 + y^2 = 529$,所以$(x + y)^2 + x^2 + y^2 = 244$,所以$(x + y)^2 + (x + y)^2 - 2xy = 244$,所以$2(x + y)^2 - 2xy = 244$,所以$2 × 12^2 - 2xy = 244$,所以$xy = 22$. 故答案为 12,22.
