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【例】 ［全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)］三个互不相等的有理数,既可以表示为 $1,a+b,a$ 的形式,也可以表示为 $0,\dfrac{b}{a},b$ 的形式,试求 $a^{2024}+b^{2023}$ 的值.
解析: 以已知数 1 和 0 为突破点,确定 $a,b$ 的值,进而求出 $a^{2024}+b^{2023}$ 的值.
答案: 由于三个互不相等的有理数,既可以表示为 $1,a+b,a$ 的形式,又可以表示为 $0,\dfrac{b}{a},b$ 的形式,也就是说这两个数组的元素分别对应相等. 于是可以判定 $a+b$ 与 $a$ 中有一个是 $0,\dfrac{b}{a}$ 与$b$ 中有一个是 1,但若 $a=0$,会使 $\dfrac{b}{a}$ 无意义,所以 $a≠0$,只能 $a+b=0$,即 $a=-b$,于是 $\dfrac{b}{a}=-1$. 只能是 $b=1$,于是 $a=-1$.
故原式 $=2$.
解析: 以已知数 1 和 0 为突破点,确定 $a,b$ 的值,进而求出 $a^{2024}+b^{2023}$ 的值.
答案: 由于三个互不相等的有理数,既可以表示为 $1,a+b,a$ 的形式,又可以表示为 $0,\dfrac{b}{a},b$ 的形式,也就是说这两个数组的元素分别对应相等. 于是可以判定 $a+b$ 与 $a$ 中有一个是 $0,\dfrac{b}{a}$ 与$b$ 中有一个是 1,但若 $a=0$,会使 $\dfrac{b}{a}$ 无意义,所以 $a≠0$,只能 $a+b=0$,即 $a=-b$,于是 $\dfrac{b}{a}=-1$. 只能是 $b=1$,于是 $a=-1$.
故原式 $=2$.
答案
解：
由题意可知，两组数1,a+b,a与0,$\dfrac{b}{a}$,b是由三个互不相等的相同有理数组成的。
因为$\dfrac{b}{a}$有意义，所以$a ≠ 0$，
因此1,a+b,a中等于0的数只能是$a+b$，即$a+b=0$，可得$a=-b$。
将$a=-b$代入$\dfrac{b}{a}$，得$\dfrac{b}{a}=-1$，
此时两组数为1,0,a和0,-1,b，对比可得$b=1$，进而$a=-1$。
代入计算：
$a^{2024}+b^{2023}=(-1)^{2024}+1^{2023}=1+1=2$。
由题意可知，两组数1,a+b,a与0,$\dfrac{b}{a}$,b是由三个互不相等的相同有理数组成的。
因为$\dfrac{b}{a}$有意义，所以$a ≠ 0$，
因此1,a+b,a中等于0的数只能是$a+b$，即$a+b=0$，可得$a=-b$。
将$a=-b$代入$\dfrac{b}{a}$，得$\dfrac{b}{a}=-1$，
此时两组数为1,0,a和0,-1,b，对比可得$b=1$，进而$a=-1$。
代入计算：
$a^{2024}+b^{2023}=(-1)^{2024}+1^{2023}=1+1=2$。
解析
【分析】首先明确两组数是由三个互不相等的相同有理数组成，因此两组元素对应相等。由于分式$\frac{b}{a}$有意义，故$a≠0$，由此确定第一个数组中只能是$a+b=0$，进而得到$a=-b$；再将$a=-b$代入$\frac{b}{a}$得$\frac{b}{a}=-1$，结合两组元素对应相等，可确定$b=1$，$a=-1$，最后代入代数式计算结果。
【解析】解：由题意，两组数$\{1,a+b,a\}$与$\{0,\frac{b}{a},b\}$是三个互不相等的相同有理数，因此元素对应相等。
因为分式$\frac{b}{a}$有意义，所以$a≠0$，故第一个数组中等于0的元素只能是$a+b$，即$a+b=0$，可得$a=-b$。
将$a=-b$代入$\frac{b}{a}$，得$\frac{b}{a}=\frac{b}{-b}=-1$，此时两组数分别为$\{1,0,a\}$和$\{0,-1,b\}$，对比元素可知$b=1$，则$a=-b=-1$。
代入代数式计算：$a^{2024}+b^{2023}=(-1)^{2024}+1^{2023}=1+1=2$。
【答案】2
【知识点】有理数的对应关系、代数式求值、分式有意义的条件
【点评】本题核心是利用两组数元素相同的性质，结合分式有意义的条件推理出$a$、$b$的值，属于代数推理的基础题型，需注意用排除法确定元素对应关系，避免出错。
【难度系数】0.5
【解析】解：由题意，两组数$\{1,a+b,a\}$与$\{0,\frac{b}{a},b\}$是三个互不相等的相同有理数，因此元素对应相等。
因为分式$\frac{b}{a}$有意义，所以$a≠0$，故第一个数组中等于0的元素只能是$a+b$，即$a+b=0$，可得$a=-b$。
将$a=-b$代入$\frac{b}{a}$，得$\frac{b}{a}=\frac{b}{-b}=-1$，此时两组数分别为$\{1,0,a\}$和$\{0,-1,b\}$，对比元素可知$b=1$，则$a=-b=-1$。
代入代数式计算：$a^{2024}+b^{2023}=(-1)^{2024}+1^{2023}=1+1=2$。
【答案】2
【知识点】有理数的对应关系、代数式求值、分式有意义的条件
【点评】本题核心是利用两组数元素相同的性质，结合分式有意义的条件推理出$a$、$b$的值，属于代数推理的基础题型，需注意用排除法确定元素对应关系，避免出错。
【难度系数】0.5
1. 如果$△ + △ = ※$，$◯ = □ + □$，$△ = ◯ + ◯ + ◯ + ◯$，则$※ ÷ □ = (\quad)$。
A.2
B.4
C.8
D.16
A.2
B.4
C.8
D.16
答案
1. D [解析]
∵△+△=※
+
∴※=△+△=2△=2×
=8×
∴※÷□=16
16.解析
【分析】
本题是等量代换类题目，解题核心是通过已知的图形数量关系，逐步将※和△都用□表示，最终计算※与□的商。首先从最基础的关系入手，先把○转化为□的形式，再依次转化△、※，最后代入计算即可。
【解析】
1. 根据$◯ = □ + □$，可得：$◯ = 2□$；
2. 将$◯ = 2□$代入$△ = ◯ + ◯ + ◯ + ◯$，计算△对应的□的数量：
$△ = 4×◯ = 4×2□ = 8□$；
3. 将$△ = 8□$代入$△ + △ = ※$，计算※对应的□的数量：
$※ = 2×△ = 2×8□ = 16□$；
4. 计算$※ ÷ □$：
$※ ÷ □ = 16□ ÷ □ = 16$。
【答案】D
【知识点】等量代换
【点评】
本题考查等量代换的应用，通过逐步替换图形间的数量关系，将不同图形统一转化为同一图形（□）的表达式，从而简化计算，属于基础代数代换题型，难度较低。
【难度系数】0.7
本题是等量代换类题目，解题核心是通过已知的图形数量关系，逐步将※和△都用□表示，最终计算※与□的商。首先从最基础的关系入手，先把○转化为□的形式，再依次转化△、※，最后代入计算即可。
【解析】
1. 根据$◯ = □ + □$，可得：$◯ = 2□$；
2. 将$◯ = 2□$代入$△ = ◯ + ◯ + ◯ + ◯$，计算△对应的□的数量：
$△ = 4×◯ = 4×2□ = 8□$；
3. 将$△ = 8□$代入$△ + △ = ※$，计算※对应的□的数量：
$※ = 2×△ = 2×8□ = 16□$；
4. 计算$※ ÷ □$：
$※ ÷ □ = 16□ ÷ □ = 16$。
【答案】D
【知识点】等量代换
【点评】
本题考查等量代换的应用，通过逐步替换图形间的数量关系，将不同图形统一转化为同一图形（□）的表达式，从而简化计算，属于基础代数代换题型，难度较低。
【难度系数】0.7
2. 已知有理数$a$在数轴上原点的右方,有理数$b$在原点的左方,则(
A.$ab ＜ b$
B.$ab ＞ b$
C.$a+b ＞ 0$
D.$a-b ＞ 0$
D
).A.$ab ＜ b$
B.$ab ＞ b$
C.$a+b ＞ 0$
D.$a-b ＞ 0$
答案
2. D
解析
【分析】
首先根据数轴上点与原点的位置关系，确定有理数a、b的符号：a在原点右方→a＞0，b在原点左方→b＜0。接下来通过代入特殊值或利用不等式性质，逐一分析每个选项，排除错误选项，找到正确答案。
【解析】
已知a＞0，b＜0，逐一分析选项：
选项A：取特殊值a=1，b=-2，则ab=1×(-2)=-2，此时ab=-2，b=-2，ab=b，并非ab＜b，故A错误；
选项B：取特殊值a=1，b=-2，则ab=-2，b=-2，ab=b，并非ab＞b，故B错误；
选项C：取特殊值a=1，b=-3，则a+b=1+(-3)=-2＜0，并非a+b＞0，故C错误；
选项D：因为b＜0，所以-b＞0，又a＞0，根据“正数加正数结果为正数”，可得a-b=a+(-b)＞0，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴与有理数、不等式的性质
【点评】
本题考查数轴上数的符号判断及不等式性质的应用，通过特殊值法可快速验证选项，是有理数章节的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先根据数轴上点与原点的位置关系，确定有理数a、b的符号：a在原点右方→a＞0，b在原点左方→b＜0。接下来通过代入特殊值或利用不等式性质，逐一分析每个选项，排除错误选项，找到正确答案。
【解析】
已知a＞0，b＜0，逐一分析选项：
选项A：取特殊值a=1，b=-2，则ab=1×(-2)=-2，此时ab=-2，b=-2，ab=b，并非ab＜b，故A错误；
选项B：取特殊值a=1，b=-2，则ab=-2，b=-2，ab=b，并非ab＞b，故B错误；
选项C：取特殊值a=1，b=-3，则a+b=1+(-3)=-2＜0，并非a+b＞0，故C错误；
选项D：因为b＜0，所以-b＞0，又a＞0，根据“正数加正数结果为正数”，可得a-b=a+(-b)＞0，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴与有理数、不等式的性质
【点评】
本题考查数轴上数的符号判断及不等式性质的应用，通过特殊值法可快速验证选项，是有理数章节的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
3. 如果 $a , b , c$ 是非零有理数，且 $a + b + c = 0$，那么 $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|}$ 的所有可能的值为(
A.$0$
B.$1$ 或 $-1$
C.$2$ 或 $-2$
D.$0$ 或 $-2$
A
).A.$0$
B.$1$ 或 $-1$
C.$2$ 或 $-2$
D.$0$ 或 $-2$
答案
3. A [解析]由已知可以推得 $a,b,c$ 中有两个正数、一个负数,或两个负数、一个正数这两种情形,不妨设 $a,b$ 是正数,$c$ 是负数,此时$\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|}=0$;设 $a,b$ 是负数,$c$ 是正数,此时$\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|}=0$,故$\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|}$所有可能的值为 0.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确：对于非零有理数$x$，$\frac{x}{|x|}$的值只有1（$x$为正）或-1（$x$为负）两种情况。已知$a$、$b$、$c$是非零有理数且和为0，因此三个数不可能全正或全负，仅存在“两正一负”或“两负一正”两种符号组合，接下来分这两种情况代入式子计算即可得到结果。
【解析】
因为$a$、$b$、$c$是非零有理数，且$a+b+c=0$，所以$a$、$b$、$c$的符号只能是以下两种情况：
1. 两正一负：不妨设$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$。
此时$\frac{a}{|a|}=1$，$\frac{b}{|b|}=1$，$\frac{c}{|c|}=-1$；
$abc$的符号为正×正×负=负，故$\frac{abc}{|abc|}=-1$。
代入原式得：$1+1+(-1)+(-1)=0$。
2. 两负一正：不妨设$a＜0$，$b＜0$，$c＞0$。
此时$\frac{a}{|a|}=-1$，$\frac{b}{|b|}=-1$，$\frac{c}{|c|}=1$；
$abc$的符号为负×负×正=正，故$\frac{abc}{|abc|}=1$。
代入原式得：$(-1)+(-1)+1+1=0$。
综上，原式的所有可能值为0，对应选项A。
【答案】A
【知识点】绝对值的性质，有理数的符号运算
【点评】本题核心是根据三个非零数的和为0确定符号组合，利用绝对值的性质判断每个分式的值，分情况讨论即可快速得出结果，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
要解决这个问题，首先明确：对于非零有理数$x$，$\frac{x}{|x|}$的值只有1（$x$为正）或-1（$x$为负）两种情况。已知$a$、$b$、$c$是非零有理数且和为0，因此三个数不可能全正或全负，仅存在“两正一负”或“两负一正”两种符号组合，接下来分这两种情况代入式子计算即可得到结果。
【解析】
因为$a$、$b$、$c$是非零有理数，且$a+b+c=0$，所以$a$、$b$、$c$的符号只能是以下两种情况：
1. 两正一负：不妨设$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$。
此时$\frac{a}{|a|}=1$，$\frac{b}{|b|}=1$，$\frac{c}{|c|}=-1$；
$abc$的符号为正×正×负=负，故$\frac{abc}{|abc|}=-1$。
代入原式得：$1+1+(-1)+(-1)=0$。
2. 两负一正：不妨设$a＜0$，$b＜0$，$c＞0$。
此时$\frac{a}{|a|}=-1$，$\frac{b}{|b|}=-1$，$\frac{c}{|c|}=1$；
$abc$的符号为负×负×正=正，故$\frac{abc}{|abc|}=1$。
代入原式得：$(-1)+(-1)+1+1=0$。
综上，原式的所有可能值为0，对应选项A。
【答案】A
【知识点】绝对值的性质，有理数的符号运算
【点评】本题核心是根据三个非零数的和为0确定符号组合，利用绝对值的性质判断每个分式的值，分情况讨论即可快速得出结果，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
4.［全国初中数学联赛决赛试题（江西卷）］从分数组$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},$
$\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{10},\dfrac{1}{12}$中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去的两个数是（
A.$\dfrac{1}{4}$与$\dfrac{1}{8}$
B.$\dfrac{1}{4}$与$\dfrac{1}{10}$
C.$\dfrac{1}{8}$与$\dfrac{1}{10}$
D.$\dfrac{1}{8}$与$\dfrac{1}{12}$
$\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{10},\dfrac{1}{12}$中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去的两个数是（
C
）.A.$\dfrac{1}{4}$与$\dfrac{1}{8}$
B.$\dfrac{1}{4}$与$\dfrac{1}{10}$
C.$\dfrac{1}{8}$与$\dfrac{1}{10}$
D.$\dfrac{1}{8}$与$\dfrac{1}{12}$
答案
4. C [解析]由$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3}$,而$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=1$,故删去$\dfrac{1}{8}$与$\dfrac{1}{10}$后,可使剩下的数之和为 1.
解析
【分析】要解决本题，可通过尝试组合分数，找到和为1的一组数，剩下的两个数即为需删去的数；也可先计算所有分数的总和，再根据总和与1的差确定删去的两个数的和，进而匹配选项。
【解析】先尝试组合分数：计算$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}$，通分后分母为12，转化为$\dfrac{6}{12}+\dfrac{3}{12}+\dfrac{2}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{12}{12}=1$，符合“剩下的数之和为1”的要求。原分数组中，除上述四个分数外，剩余的两个分数是$\dfrac{1}{8}$和$\dfrac{1}{10}$，因此删去的两个数为$\dfrac{1}{8}$与$\dfrac{1}{10}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】分数的加法运算，分数的通分
【点评】本题考查分数加法的应用，解题时可直接通过分数组合快速找到符合条件的结果，难度较低，侧重基础运算能力的考查。
【难度系数】0.3
【解析】先尝试组合分数：计算$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}$，通分后分母为12，转化为$\dfrac{6}{12}+\dfrac{3}{12}+\dfrac{2}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{12}{12}=1$，符合“剩下的数之和为1”的要求。原分数组中，除上述四个分数外，剩余的两个分数是$\dfrac{1}{8}$和$\dfrac{1}{10}$，因此删去的两个数为$\dfrac{1}{8}$与$\dfrac{1}{10}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】分数的加法运算，分数的通分
【点评】本题考查分数加法的应用，解题时可直接通过分数组合快速找到符合条件的结果，难度较低，侧重基础运算能力的考查。
【难度系数】0.3
5. 救灾指挥部将救灾物资装入 34 个集装箱:4 t的集装箱 3 个,3 t 的集装箱 4 个,2.5 t 的集装箱 5 个,1.5 t 的集装箱 10 个,1 t 的集装箱12 个,那么至少需要多少辆载重量 5 t 的汽车才能一次将这些救灾物品运走? 提出你的运输方案.
答案
5. 为了用载重量 5 t 的汽车将救灾物品一次运走,我们应将不同规格的集装箱进行有效组合,即尽量使每一节汽车都能装满.由题设可知,物资总重 63.5 t,而$12＜63.5÷5＜13$,由此可知,要把救灾物品一次运走,需要的汽车不能少于 13 辆.于是我们提出如下设计方案:A 类:每辆装 4 t 集装箱 1 个和 1 t 集装箱 1 个,安排 3 辆汽车;B 类:每辆装 3 t 集装箱 1 个和 1 t 集装箱 2 个,安排 4 辆汽车;C 类:每辆装 2.5 t 集装箱 2 个,安排 2 辆汽车;D 类:每辆装 2.5 t,1.5 t,1 t 集装箱各 1 个,安排 1 辆汽车;E 类:每辆装 1.5 t 集装箱 3 个,安排 3 辆汽车,而$3+4+2+1+3=13$(辆).故至少需要 13 辆载重量 5 t 的汽车才能一次将这些救灾物品运走.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需计算所有救灾物资的总重量，结合每辆汽车的载重量确定最少需要的汽车数量；接下来需合理组合不同规格的集装箱，使每辆汽车的载重尽量接近5t（不超载），从而设计出可行的运输方案，最终验证总车辆数是否满足运完所有物资的要求。
【解析】
1. 计算物资总重量：4t×3 + 3t×4 + 2.5t×5 + 1.5t×10 + 1t×12 = 12t + 12t + 12.5t + 15t + 12t = 63.5t；
2. 确定最少汽车数量：每辆车载重5t，63.5÷5=12.7，车辆数需为整数，因此至少需要13辆（12辆最多运60t，无法运完63.5t物资）；
3. 设计运输方案：
A类：每辆装1个4t集装箱+1个1t集装箱，共需3辆（装完全部3个4t集装箱，消耗3个1t集装箱）；
B类：每辆装1个3t集装箱+2个1t集装箱，共需4辆（装完全部4个3t集装箱，消耗8个1t集装箱）；
C类：每辆装2个2.5t集装箱，共需2辆（装完4个2.5t集装箱，剩余1个2.5t集装箱）；
D类：每辆装1个2.5t+1个1.5t+1个1t集装箱，共需1辆（装完剩余的1个2.5t、1个1.5t、1个1t集装箱）；
E类：每辆装3个1.5t集装箱，共需3辆（装完剩余的9个1.5t集装箱）；
总车辆数：3+4+2+1+3=13辆，刚好装完所有物资，无超载。
【答案】至少需要13辆载重量5t的汽车，运输方案为：A类3辆（每辆装4t箱1个+1t箱1个），B类4辆（每辆装3t箱1个+1t箱2个），C类2辆（每辆装2.5t箱2个），D类1辆（装2.5t、1.5t、1t箱各1个），E类3辆（每辆装1.5t箱3个）。
【知识点】统筹优化、组合设计
【点评】本题是结合实际场景的统筹优化应用题，核心是通过合理组合不同规格的物资最大化利用车辆载重，既考查了整数运算能力，又培养了逻辑规划与实际应用能力，解题关键在于先确定最少车辆数，再精准匹配集装箱组合。
【难度系数】0.5
要解决这个问题，首先需计算所有救灾物资的总重量，结合每辆汽车的载重量确定最少需要的汽车数量；接下来需合理组合不同规格的集装箱，使每辆汽车的载重尽量接近5t（不超载），从而设计出可行的运输方案，最终验证总车辆数是否满足运完所有物资的要求。
【解析】
1. 计算物资总重量：4t×3 + 3t×4 + 2.5t×5 + 1.5t×10 + 1t×12 = 12t + 12t + 12.5t + 15t + 12t = 63.5t；
2. 确定最少汽车数量：每辆车载重5t，63.5÷5=12.7，车辆数需为整数，因此至少需要13辆（12辆最多运60t，无法运完63.5t物资）；
3. 设计运输方案：
A类：每辆装1个4t集装箱+1个1t集装箱，共需3辆（装完全部3个4t集装箱，消耗3个1t集装箱）；
B类：每辆装1个3t集装箱+2个1t集装箱，共需4辆（装完全部4个3t集装箱，消耗8个1t集装箱）；
C类：每辆装2个2.5t集装箱，共需2辆（装完4个2.5t集装箱，剩余1个2.5t集装箱）；
D类：每辆装1个2.5t+1个1.5t+1个1t集装箱，共需1辆（装完剩余的1个2.5t、1个1.5t、1个1t集装箱）；
E类：每辆装3个1.5t集装箱，共需3辆（装完剩余的9个1.5t集装箱）；
总车辆数：3+4+2+1+3=13辆，刚好装完所有物资，无超载。
【答案】至少需要13辆载重量5t的汽车，运输方案为：A类3辆（每辆装4t箱1个+1t箱1个），B类4辆（每辆装3t箱1个+1t箱2个），C类2辆（每辆装2.5t箱2个），D类1辆（装2.5t、1.5t、1t箱各1个），E类3辆（每辆装1.5t箱3个）。
【知识点】统筹优化、组合设计
【点评】本题是结合实际场景的统筹优化应用题，核心是通过合理组合不同规格的物资最大化利用车辆载重，既考查了整数运算能力，又培养了逻辑规划与实际应用能力，解题关键在于先确定最少车辆数，再精准匹配集装箱组合。
【难度系数】0.5
