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7. 计算：
(1)$(-4)^{2} × (-2) ÷ [(-2)^{3} - (-4)]$；
(2)$-1^{{2025}} ÷ (-5)^{2} × (-\dfrac{5}{3}) - |0.8 - 1|$。
(1)$(-4)^{2} × (-2) ÷ [(-2)^{3} - (-4)]$；
(2)$-1^{{2025}} ÷ (-5)^{2} × (-\dfrac{5}{3}) - |0.8 - 1|$。
答案
7. (1)原式$=16×(-2)÷[(-8)+4]=16×(-2)÷(-4)=(-32)÷(-4)=8.$
(2)原式$=-1÷25×(-\dfrac{5}{3})-\dfrac{1}{5}=1×\dfrac{1}{25}×\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{15}-\dfrac{3}{15}=-\dfrac{2}{15}.$
(2)原式$=-1÷25×(-\dfrac{5}{3})-\dfrac{1}{5}=1×\dfrac{1}{25}×\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{15}-\dfrac{3}{15}=-\dfrac{2}{15}.$
解析
【分析】本题为有理数的混合运算题，解题需遵循有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先计算括号内的部分；同级运算按从左到右的顺序进行，同时要注意处理负数的乘方符号、绝对值化简等细节，避免符号错误。
【解析】(1) 先计算乘方：$(-4)^2=16$，$(-2)^3=-8$；再计算括号内的运算：$(-8)-(-4)=-8+4=-4$；接着按从左到右计算乘除：$16×(-2)=-32$，$-32÷(-4)=8$，故原式结果为8。
(2) 先计算乘方：$-1^{2025}=-1$，$(-5)^2=25$；再化简绝对值：$|0.8-1|=| -0.2 |=\frac{1}{5}$；然后按从左到右计算乘除：$-1÷25×(-\frac{5}{3})= -1×\frac{1}{25}×(-\frac{5}{3})=\frac{1}{15}$；最后计算减法：$\frac{1}{15}-\frac{1}{5}=\frac{1}{15}-\frac{3}{15}=-\frac{2}{15}$，故原式结果为$-\frac{2}{15}$。
【答案】(1)$8$；(2)$-\dfrac{2}{15}$
【知识点】有理数的混合运算，有理数的乘方，绝对值
【点评】本题考查有理数混合运算的基础规则，属于初中数学核心基础题型，主要检验学生对运算顺序、符号处理的掌握程度，只要细心运算即可正确解答。
【难度系数】0.7
【解析】(1) 先计算乘方：$(-4)^2=16$，$(-2)^3=-8$；再计算括号内的运算：$(-8)-(-4)=-8+4=-4$；接着按从左到右计算乘除：$16×(-2)=-32$，$-32÷(-4)=8$，故原式结果为8。
(2) 先计算乘方：$-1^{2025}=-1$，$(-5)^2=25$；再化简绝对值：$|0.8-1|=| -0.2 |=\frac{1}{5}$；然后按从左到右计算乘除：$-1÷25×(-\frac{5}{3})= -1×\frac{1}{25}×(-\frac{5}{3})=\frac{1}{15}$；最后计算减法：$\frac{1}{15}-\frac{1}{5}=\frac{1}{15}-\frac{3}{15}=-\frac{2}{15}$，故原式结果为$-\frac{2}{15}$。
【答案】(1)$8$；(2)$-\dfrac{2}{15}$
【知识点】有理数的混合运算，有理数的乘方，绝对值
【点评】本题考查有理数混合运算的基础规则，属于初中数学核心基础题型，主要检验学生对运算顺序、符号处理的掌握程度，只要细心运算即可正确解答。
【难度系数】0.7
8. 一题多问 如图所示,小明有5张写着不同数字的卡片,请你按要求抽出卡片,完成下列各题.
(1)若从中抽出2张卡片,且这2个数字的差最小,应如何抽取?最小值是多少?
(2)若从中抽出2张卡片,且这2个数字的积最大,应如何抽取?最大值是多少?
(3)若从中抽出4张卡片,运用加、减、乘、除、乘方、括号等运算符号,使得结果为24,请写出运算式.(只需写出1种)
(1)若从中抽出2张卡片,且这2个数字的差最小,应如何抽取?最小值是多少?
(2)若从中抽出2张卡片,且这2个数字的积最大,应如何抽取?最大值是多少?
(3)若从中抽出4张卡片,运用加、减、乘、除、乘方、括号等运算符号,使得结果为24,请写出运算式.(只需写出1种)
答案
8. (1)抽取的2张卡片是-8,6,它们的差最小,最小值是$-8-6=-14.$
(2)抽取的2张卡片是-4,-8,它们的积最大,最大值是$(-4)×(-8)=32.$
(3)抽取的4张卡片是3,-4,6,-8,算式为$(-8+6)×3×(-4)=24.$(答案不唯一)
(2)抽取的2张卡片是-4,-8,它们的积最大,最大值是$(-4)×(-8)=32.$
(3)抽取的4张卡片是3,-4,6,-8,算式为$(-8+6)×3×(-4)=24.$(答案不唯一)
解析
【分析】
本题分为三个小问，需分别梳理解题思路：
(1) 要使两张卡片的差最小，需明确“差”是两数相减的结果，要让结果最小，应选择最小的数作为被减数、最大的数作为减数，这样得到的差才会最小；
(2) 要使两张卡片的积最大，根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的规则，正数乘积或负数乘积为正，负数相乘时绝对值越大乘积越大，因此需寻找两个绝对值较大的负数；
(3) 要使四张卡片通过运算得到24，需结合有理数混合运算规则，尝试不同的数字组合和运算顺序，凑出结果为24的式子。
【解析】
(1) 观察5个数字：3、-1、-4、6、-8，其中最小的数是-8，最大的数是6，它们的差为：$-8 - 6 = -14$，因此抽取写有-8和6的卡片，差最小，最小值为-14；
(2) 计算所有两张卡片的乘积：
$3×(-1)=-3$，$3×(-4)=-12$，$3×6=18$，$3×(-8)=-24$，
$(-1)×(-4)=4$，$(-1)×6=-6$，$(-1)×(-8)=8$，
$(-4)×6=-24$，$(-4)×(-8)=32$，$6×(-8)=-48$，
对比可知最大的积是32，对应抽取-4和-8，最大值为32；
(3) 选取数字3、-4、6、-8，根据混合运算规则，构造式子：
$(-8 + 6)×3×(-4) = (-2)×3×(-4) = (-6)×(-4) = 24$，符合要求。
【答案】
(1) 抽取写有-8和6的卡片，最小值是-14；
(2) 抽取写有-4和-8的卡片，最大值是32；
(3) $(-8+6)×3×(-4)=24$（答案不唯一）
【知识点】
有理数的减法、有理数的乘法、有理数的混合运算
【点评】
本题是有理数运算的综合应用题，考查了有理数的加减乘运算规则，以及混合运算的灵活性，需要学生能通过分析数字特点找到最优解，属于基础的综合题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题分为三个小问，需分别梳理解题思路：
(1) 要使两张卡片的差最小，需明确“差”是两数相减的结果，要让结果最小，应选择最小的数作为被减数、最大的数作为减数，这样得到的差才会最小；
(2) 要使两张卡片的积最大，根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的规则，正数乘积或负数乘积为正，负数相乘时绝对值越大乘积越大，因此需寻找两个绝对值较大的负数；
(3) 要使四张卡片通过运算得到24，需结合有理数混合运算规则，尝试不同的数字组合和运算顺序，凑出结果为24的式子。
【解析】
(1) 观察5个数字：3、-1、-4、6、-8，其中最小的数是-8，最大的数是6，它们的差为：$-8 - 6 = -14$，因此抽取写有-8和6的卡片，差最小，最小值为-14；
(2) 计算所有两张卡片的乘积：
$3×(-1)=-3$，$3×(-4)=-12$，$3×6=18$，$3×(-8)=-24$，
$(-1)×(-4)=4$，$(-1)×6=-6$，$(-1)×(-8)=8$，
$(-4)×6=-24$，$(-4)×(-8)=32$，$6×(-8)=-48$，
对比可知最大的积是32，对应抽取-4和-8，最大值为32；
(3) 选取数字3、-4、6、-8，根据混合运算规则，构造式子：
$(-8 + 6)×3×(-4) = (-2)×3×(-4) = (-6)×(-4) = 24$，符合要求。
【答案】
(1) 抽取写有-8和6的卡片，最小值是-14；
(2) 抽取写有-4和-8的卡片，最大值是32；
(3) $(-8+6)×3×(-4)=24$（答案不唯一）
【知识点】
有理数的减法、有理数的乘法、有理数的混合运算
【点评】
本题是有理数运算的综合应用题，考查了有理数的加减乘运算规则，以及混合运算的灵活性，需要学生能通过分析数字特点找到最优解，属于基础的综合题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
9. 已知 $10×10^{2}=1\ 000=10^{3},$
$10^{2}×10^{2}=10\ 000=10^{4},$
$10^{2}×10^{3}=100\ 000=10^{5}.$
(1) 猜想 $10^{6}×10^{4}=$
($m,n$ 均为正整数)
(2)运用上述猜想计算下列式子:
①$(1.5×10^{4})×(1.2×10^{5});$
②$(-6.4×10^{3})×(2×10^{6}).$
精题详解
$10^{2}×10^{2}=10\ 000=10^{4},$
$10^{2}×10^{3}=100\ 000=10^{5}.$
(1) 猜想 $10^{6}×10^{4}=$
$10^{10}$
, $10^{m}×10^{n}=$$10^{m+n}$
;($m,n$ 均为正整数)
(2)运用上述猜想计算下列式子:
①$(1.5×10^{4})×(1.2×10^{5});$
②$(-6.4×10^{3})×(2×10^{6}).$
精题详解
答案
9. (1)$10^{10}$ $10^{m+n}$
(2)①$(1.5×10^{4})×(1.2×10^{5})=(1.5×1.2)×(10^{4}×10^{5})=1.8×10^{9}.$
②$(-6.4×10^{3})×(2×10^{6})=(-6.4×2)×(10^{3}×10^{6})=-12.8×10^{9}=-1.28×10^{10}.$
(2)①$(1.5×10^{4})×(1.2×10^{5})=(1.5×1.2)×(10^{4}×10^{5})=1.8×10^{9}.$
②$(-6.4×10^{3})×(2×10^{6})=(-6.4×2)×(10^{3}×10^{6})=-12.8×10^{9}=-1.28×10^{10}.$
解析
【分析】首先观察题目给出的底数为10的幂相乘的例子，发现结果的指数是两个幂的指数之和，由此猜想同底数幂相乘的规律；再运用该规律计算科学计数法的乘法运算，计算时将系数与10的幂分别运算，最后将结果整理为标准科学计数法形式。
【解析】(1) 根据已知例子的规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$10^{6}×10^{4}=10^{6+4}=10^{10}$，$10^{m}×10^{n}=10^{m+n}$（m、n均为正整数）；
(2) ① 计算$(1.5×10^{4})×(1.2×10^{5})$时，利用乘法交换律和结合律，将系数与10的幂分别运算：$(1.5×1.2)×(10^{4}×10^{5})=1.8×10^{4+5}=1.8×10^{9}$；
② 计算$(-6.4×10^{3})×(2×10^{6})$时，同理系数与10的幂分别运算：$(-6.4×2)×(10^{3}×10^{6})=-12.8×10^{9}$，再整理为标准科学计数法：$-1.28×10^{10}$。
【答案】(1)$10^{10}$；$10^{m+n}$ (2)①$1.8×10^{9}$；②$-1.28×10^{10}$
【知识点】同底数幂的乘法、科学计数法的运算
【点评】本题是基础题型，主要考查同底数幂的乘法法则的应用，结合科学计数法的运算，解题关键是掌握同底数幂相乘的法则，并能正确将结果整理为标准科学计数法形式。
【难度系数】0.7
【解析】(1) 根据已知例子的规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$10^{6}×10^{4}=10^{6+4}=10^{10}$，$10^{m}×10^{n}=10^{m+n}$（m、n均为正整数）；
(2) ① 计算$(1.5×10^{4})×(1.2×10^{5})$时，利用乘法交换律和结合律，将系数与10的幂分别运算：$(1.5×1.2)×(10^{4}×10^{5})=1.8×10^{4+5}=1.8×10^{9}$；
② 计算$(-6.4×10^{3})×(2×10^{6})$时，同理系数与10的幂分别运算：$(-6.4×2)×(10^{3}×10^{6})=-12.8×10^{9}$，再整理为标准科学计数法：$-1.28×10^{10}$。
【答案】(1)$10^{10}$；$10^{m+n}$ (2)①$1.8×10^{9}$；②$-1.28×10^{10}$
【知识点】同底数幂的乘法、科学计数法的运算
【点评】本题是基础题型，主要考查同底数幂的乘法法则的应用，结合科学计数法的运算，解题关键是掌握同底数幂相乘的法则，并能正确将结果整理为标准科学计数法形式。
【难度系数】0.7
10. 已知每台水压机有四根空心钢立柱，如图，每根高都是 15 m，外径 $D$ 为 6 m，内径 $d$ 为1 m，每立方米钢的重量为 2.5 t，则 25 台这样的水压机的空心钢立柱的总重量约是多少？($π$ 取 3.14，最后结果的数值用科学记数法表示)
答案
10. 因为每根钢立柱的高都是15 m,外径D为6 m,内径d为1 m,所以每根的体积为$15×(3^{2}-0.5^{2})π=131.25π(\mathrm{m}^3).$
因为每立方米钢的重量为2.5 t,所以25台这样的水压机的空心钢立柱的总重量约是$25×4×131.25×3.14×2.5$
因为每立方米钢的重量为2.5 t,所以25台这样的水压机的空心钢立柱的总重量约是$25×4×131.25×3.14×2.5$
解析
【分析】要计算25台水压机的空心钢立柱总重量，需先求出单根空心钢立柱的体积，空心圆柱体积等于外圆与内圆的面积差乘以高；再计算单根立柱重量，结合每台的立柱数和水压机台数，即可得到总重量。
【解析】首先，空心圆柱的外半径$ R = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{m} $，内半径$ r = \frac{d}{2} = \frac{1}{2} = 0.5\ \mathrm{m} $。
单根空心钢立柱的体积为：
$ V = π (R^2 - r^2) h = 3.14 × (3^2 - 0.5^2) × 15 = 3.14 × (9 - 0.25) × 15 = 131.25 × 3.14\ (\mathrm{m}^3) $
每根立柱的重量为体积乘以每立方米钢的重量，25台水压机共有的立柱数为$ 25 × 4 $根，因此总重量为：
$ 25 × 4 × 131.25 × 3.14 × 2.5 = 103031.25 = 1.0303125 × 10^5\ (\mathrm{t}) $
【答案】$ 1.0303125 × 10^5\ \mathrm{t} $
【知识点】圆柱体积计算、科学记数法、有理数乘法
【点评】本题结合实际应用考查空心圆柱体积的计算，需掌握空心圆柱体积公式，计算时注意半径的取值，以及科学记数法的正确表示，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.4
【解析】首先，空心圆柱的外半径$ R = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{m} $，内半径$ r = \frac{d}{2} = \frac{1}{2} = 0.5\ \mathrm{m} $。
单根空心钢立柱的体积为：
$ V = π (R^2 - r^2) h = 3.14 × (3^2 - 0.5^2) × 15 = 3.14 × (9 - 0.25) × 15 = 131.25 × 3.14\ (\mathrm{m}^3) $
每根立柱的重量为体积乘以每立方米钢的重量，25台水压机共有的立柱数为$ 25 × 4 $根，因此总重量为：
$ 25 × 4 × 131.25 × 3.14 × 2.5 = 103031.25 = 1.0303125 × 10^5\ (\mathrm{t}) $
【答案】$ 1.0303125 × 10^5\ \mathrm{t} $
【知识点】圆柱体积计算、科学记数法、有理数乘法
【点评】本题结合实际应用考查空心圆柱体积的计算，需掌握空心圆柱体积公式，计算时注意半径的取值，以及科学记数法的正确表示，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.4
