27. (10分)如图1,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=4,AD=8,E为AD边上一点(0 ＜ AE ＜ 3),连接EO并延长,交BC于点F,四边形ABFE与A'B'FE关于EF所在直线成轴对称,线段B'F交AD边于点G.
(1)求证:GE = GF;
(2)当AE=2DG时,求AE的长;
(3)令AE=a,DG=b.
①求证:(4 - a)(4 - b)=4;
②如图2,连接OB',OD,分别交AD,B'F于点H,K. 记四边形OKGH的面积为S₁,△DGK的面积为S₂,当a=1时,b的值为, $\frac{S_1}{S_2}$的值为.

【点拨】本题考查矩形的性质,轴对称图形的性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore AD// BC$,
$\therefore ∠ DEF=∠ BFE$,
由轴对称图形的性质,可知 $∠ GFE=∠ BFE$,
$\therefore ∠ DEF=∠ GFE$,
$\therefore GE=GF$.
(2)如图1,过点 $G$ 作 $GP⊥ BC$ 于点 $P$,则四边形 $CDGP$ 是矩形,
$\therefore GP=CD=AB=4$,$CP=GD$.
$\because$ 点 $O$ 为矩形 $ABCD$ 的对称中心,$EF$ 过点 $O$,
$\therefore CF=AE$.
设 $DG=CP=x$,则 $CF=AE=2DG=2x$,
$\therefore FP=CF-CP=x$,$GF=GE=8-3x$.
在 $\mathrm{Rt}△ GPF$ 中,$GF^2=FP^2+GP^2$,即 $(8-3x)^2=x^2+4^2$,
解得 $x_1=3-\sqrt{3}$,$x_2=3+\sqrt{3}$(不符合题意,舍去),
$\therefore AE=2x=6-2\sqrt{3}$.
(3)①证明:如图1,过点 $G$ 作 $GP⊥ BC$ 于点 $P$,则 $PG=CD=4$,$PC=DG=b$.
$\because CF=AE=a$,$\therefore FP=|a-b|$.
由题意可知 $EG=FG=8-a-b$.
在 $\mathrm{Rt}△ GFP$ 中,$GF^2=FP^2+GP^2$,
$\therefore [8-(a+b)]^2=(a-b)^2+4^2$,
化简得 $ab-4(a+b)+12=0$,
即 $(4-a)(4-b)=4$.
②如图2,连接 $B'D,OG$.
$\because$ 四边形 $ABFE$ 与四边形 $A'B'FE$ 关于 $EF$ 所在直线成轴对称,
$\therefore B'F=BF$.
$\because$ 点 $O$ 为矩形 $ABCD$ 的对称中心,$EF$ 过点 $O$,
$\therefore BF=DE$,$\therefore B'F=DE$.
易知,$OD=OB'$.
由(1)可知 $GE=GF$,
$\therefore DE-GE=B'F-GF$,即 $DG=B'G$.
又 $\because OG=OG$,$\therefore △ ODG≌△ OB'G(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ DOG=∠ B'OG$,
易知 $∠ EGO=∠ FGO$.
又 $\because OG=OG$,$\therefore △ OHG≌△ OKG(\mathrm{ASA})$,$\therefore S_1=2S_{△ OGK}$.
$\because ∠ EGF=∠ B'GD$,$GE=GF$,$B'G=DG$,
$\therefore ∠ GEF=∠ GFE=∠ GB'D=∠ GDB'$,
$\therefore EF// B'D$,$\therefore △ OKF∽△ DKB'$,$\therefore \dfrac{OK}{DK}=\dfrac{OF}{DB'}$,
$\therefore \dfrac{S_{△ OGK}}{S_2}=\dfrac{OK}{DK}=\dfrac{OF}{DB'}$,$\therefore \dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{2S_{△ OGK}}{S_2}=\dfrac{2OF}{DB'}=\dfrac{EF}{DB'}$.
$\because EF// B'D$,$\therefore △ EFG∽△ DB'G$,$\therefore \dfrac{EF}{DB'}=\dfrac{EG}{DG}$,
由①可知 $(4-a)(4-b)=4$,
$\therefore$ 当 $a=1$ 时,$b=\dfrac{8}{3}$,$\therefore EG=8-1-\dfrac{8}{3}=\dfrac{13}{3}$,
$\therefore \dfrac{EG}{DG}=\dfrac{13}{8}$,$\therefore \dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{13}{8}$. 故答案为 $\dfrac{8}{3}$,$\dfrac{13}{8}$.

【分析】
本题是矩形与轴对称结合的几何综合题，分三小问逐步突破：
(1) 要证GE=GF，先利用矩形对边平行得内错角相等，再结合轴对称的角相等性质，推出△GEF为等腰三角形，从而得GE=GF；
(2) 已知AE=2DG，设DG=x，则AE=2x，利用矩形对称中心的性质得CF=AE，通过作垂线构造直角三角形，用勾股定理列方程求解；
(3) ① 类似(2)的方法，设AE=a、DG=b，用勾股定理建立等式化简，推导目标式；② 代入a=1到①的结论求b，再通过全等、相似三角形的性质，结合面积比与线段比的关系，求出比值。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DEF=∠BFE。
由轴对称的性质，得∠GFE=∠BFE，
∴ ∠DEF=∠GFE，
∴ GE=GF。
(2) 如图1，过点G作GP⊥BC于点P，则四边形CDGP是矩形，
∴ GP=CD=AB=4，CP=DG。
∵ 点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，
∴ CF=AE。
设DG=CP=x，则AE=CF=2DG=2x，
∴ FP=CF - CP=2x - x=x，GF=GE=AD - AE - DG=8 - 2x - x=8 - 3x。
在Rt△GPF中，由勾股定理得：GF²=FP² + GP²，即(8 - 3x)²=x² + 4²，
展开整理得：8x² - 48x + 48=0，即x² - 6x + 6=0，
解得x₁=3 - √3，x₂=3 + √3（不符合0＜AE＜3，舍去），
∴ AE=2x=6 - 2√3。
(3) ① 证明：如图1，过点G作GP⊥BC于点P，则PG=CD=4，PC=DG=b。
∵ CF=AE=a，
∴ FP=CF - CP=a - b（由图形关系得a＞b）。
由(1)知GE=FG，
∴ GF=GE=AD - AE - DG=8 - a - b。
在Rt△GFP中，由勾股定理得：GF²=FP² + GP²，即(8 - a - b)²=(a - b)² + 4²，
展开化简得：ab - 4a - 4b + 16=4，即(4 - a)(4 - b)=4。
② 当a=1时，代入(4 - 1)(4 - b)=4，得3(4 - b)=4，解得b=8/3。
连接B'D、OG，由轴对称得B'F=BF，结合矩形对称中心性质得BF=DE，故B'F=DE；又GE=GF，得DG=B'G，结合OD=OB'、OG公共，可证△ODG≌△OB'G，得OG平分∠EGF，进而得S₁=2S△OGK；再证EF//B'D，得△EFG∽△DB'G，故S₁/S₂=EG/DG。
当a=1，b=8/3时，EG=8 - 1 - 8/3=13/3，DG=8/3，
∴ S₁/S₂=(13/3)/(8/3)=13/8。
【答案】
AE的长为$6 - 2\sqrt{3}$；②中b的值为$\frac{8}{3}$，$\frac{S_1}{S_2}$的值为$\frac{13}{8}$。

【知识点】
矩形性质、轴对称性质、勾股定理
【点评】
本题是矩形与轴对称结合的综合几何题，融合方程思想与几何推理，考查学生对核心几何性质的综合运用能力，综合性较强。
【难度系数】
0.5