1 [2025 辽宁沈阳期末,中]在跨学科实践课上,
某小组的同学们要制作微型密度计。
【项目分析】
要制作一个微型密度计,需要完成以下任务。
(1)设计一个能放入小瓶中,并能用来判断酒
精是否合格的微型密度计。
(2)按照设计要求,完成微型密度计的制作。
【项目实施】
(1)设计
如图a所示,把塑料吸管的下端用蜡封口并缠
上铜丝,设法让它能竖直漂浮在水面上,这就是
一个最简单的密度计。该密度计竖直漂浮在液
体中时,它受到的浮力(填"大于""等
于"或"小于")自身重力。
(2)制作
同学们用制作棉签的实心塑料杆(直径约为
3 mm)作为标度杆,塑料杆中部套一个直径约
1.2 cm的密度较小的泡沫塑料球作为浮子,下
端绕有铜丝作为配重,初步做成一个微型密度
计(如图b所示)。将此密度计放入酒精中会触
碰瓶底,如图c所示。为了使密度计漂浮,以下
对密度计的调整方法合理的有哪些?。
A.去掉泡沫塑料球
B.适当减小铜丝的质量
C.把塑料杆换成外形相同、密度更大
的铜杆
D.换一个同种材料、体积适当大一些的泡沫塑
料球
【展示交流】
同学们将调整好的微型密度计放入密度为
$0.86×10^{3}kg/m^{3}$的甲酒精中,密度计漂浮在甲
酒精中,甲酒精液面位于密度计标度杆的A位
置,如图d所示。将调整好的微型密度计放入
密度为$0.88×10^{3}kg/m^{3}$的乙酒精中,密度计漂
浮在乙酒精中,乙酒精液面位于密度计标度杆
的B位置。则B位置在A位置的(填
"上方"或"下方"),若A、B之间的距离过小,不
利于检测,则密度计应换用直径更(填
"大"或"小")的实心塑料杆。若把再次调整好
的微型密度计放入某种液体中,液面的位置恰
好在A、B的中点,则这种液体的密度
(填"大于"或"小于")$0.87×10^{3}kg/m^{3}$。

1.【项目实施】(1)等于 (2)BD 【展示交流】下
方 小 小于 【解析】【项目实施】(1)密度
计竖直漂浮在液体中时,它受到的浮力等于
自身重力。(2)若该密度计放入酒精中会触
碰瓶底,原因可能是密度计自身重力太大,或
密度计所受的浮力太小;为了使密度计漂
浮,可以减小密度计的重力,也可以增大密度
计所受的浮力,所以可以适当减小铜丝的质
量,也可以换一个同种材料、体积适当大一些
的泡沫塑料球,故选择BD。【展示交流】密度
计在甲酒精和乙酒精中都漂浮,浮力都等于
重力,两次浮力相等;乙酒精密度大,由$F_{浮}=$
$\rho_{液}gV_{排}$可知,密度计在乙酒精中排开的酒精
的体积小,所以B位置在A位置下方。若A、
B之间的距离过小,不利于检测,由$V=Sh$可
知,密度计应换用直径更小的实心塑料杆,使
两位置之间的间距变大。由$F_{浮}=\rho_{液}V_{排}g$可
得,$\rho_{液}=\frac{F_{浮}}{gV_{排}}=\frac{F_{浮}}{gSh}$,$S$为实心塑料杆的底面
积,$h$为浸入液体的深度,因为密度计的重力
$G$不变,则$F_{浮}$不变,横截面积$S$不变,$g$为常
量,则液体密度与密度计浸入深度成反比。
知识归纳
密度计是一种
测量物体密度
的仪器。当一
个物体在液体
中漂浮时,它
所受到的浮力
等于其重力。
密度计的设计
利用了这一原
理。密度计在
液体中漂浮
时,液体的密
度不同,密度
计浸入液体的
深度就不同。
密度计的刻度
值下大上小。
由反比例函数图像可知,密度计的刻度是不
均匀的,密度越大,排开液体体积变化越
小,刻度越密集。已知A点对应的密度为
$0.86×10^{3}kg/m^{3}$,B点对应的密度为$0.88×$
$10^{3}kg/m^{3}$,某种液体液面位置恰好在A、B的
中点,该位置对应的密度不是A、B两点密度
的平均值,即不是$0.87×10^{3}kg/m^{3}$,而应小于
$0.87×10^{3}kg/m^{3}$。

【分析】
这道题围绕自制微型密度计展开，核心考点是物体漂浮的受力特点和阿基米德原理的应用，解题思路可以分三步梳理：
1. 第一空：回忆漂浮物体的受力平衡规律，物体漂浮时处于静止状态，竖直方向浮力和重力是一对平衡力，直接就能得出浮力等于重力。
2. 第二问调整密度计让它漂浮：密度计放入酒精触碰瓶底，说明此时密度计受到的浮力小于自身总重力，处于沉底状态。要让它漂浮，要么减小密度计的总重力，要么增大密度计能获得的最大浮力，逐个分析选项就能选出正确的调整方法。
3. 展示交流部分的三个空：首先利用漂浮时浮力始终等于重力，两次浮力相等，结合阿基米德原理F浮=ρ液gV排，液体密度越大，密度计排开液体的体积越小，浸入液体的深度越浅，就能判断B和A的位置关系；接下来要增大两个刻度的间距，根据V排的变化量ΔV=SΔh，相同ΔV下，横截面积S越小，Δh越大，所以要选直径更小的标度杆；最后利用密度计的刻度是不均匀的、下密上疏的特点，就能判断中点位置对应的液体密度和0.87×10³kg/m³的大小关系。
【解析】
(1) 项目实施第一小问：密度计竖直漂浮在液体中，处于平衡状态，竖直方向受到的浮力和自身重力是一对平衡力，因此浮力等于自身重力。
(2) 项目实施第二小问：密度计放入酒精中触碰瓶底，说明此时F浮＜G，无法漂浮，需要调整让F浮≥G：
选项A：去掉泡沫塑料球，密度计可排开液体的最大体积更小，最大浮力更小，会更难漂浮，错误；
选项B：适当减小铜丝的质量，密度计总重力减小，可让重力小于等于浮力，实现漂浮，正确；
选项C：把塑料杆换成外形相同、密度更大的铜杆，密度计总重力增大，浮力会更小于重力，无法漂浮，错误；
选项D：换同种材料、体积更大的泡沫塑料球，密度计可排开液体的最大体积变大，最大浮力变大，可实现漂浮，正确。因此选BD。
(3) 展示交流部分：
① 密度计在甲、乙酒精中都漂浮，浮力都等于自身重力，因此两次浮力相等。乙酒精密度0.88×10³kg/m³大于甲酒精的0.86×10³kg/m³，根据F浮=ρ液gV排，浮力相等时，液体密度越大，排开液体的体积越小，密度计浸入液体的深度越小，因此乙酒精对应的B位置在甲酒精对应的A位置的下方。
② 若A、B间距过小，根据ΔV=SΔh，要增大相同排开体积变化对应的高度差Δh，需要减小标度杆的横截面积S，因此应换用直径更小的实心塑料杆。
③ 由F浮=ρ液gV排=ρ液gSh，可得ρ液=G/(gSh)，可知液体密度ρ液和浸入深度h成反比，密度计的刻度不均匀，下密上疏，越靠近下方，相同高度差对应的密度增量越大。A点对应密度0.86×10³kg/m³，B点对应密度0.88×10³kg/m³，A到B的中点位置，对应的密度增量小于0.01×10³kg/m³，因此该液体密度小于0.87×10³kg/m³。
【答案】
等于；BD；下方；小；小于
【知识点】
漂浮条件；阿基米德原理；密度计刻度特点
【点评】
本题结合跨学科实践的自制密度计场景命题，从设计、制作到应用逐层设问，既考察了基础的漂浮平衡规律，也深入考察了密度计刻度不均匀的特点，最后一空容易误判为等于0.87×10³kg/m³，能有效区分学生对原理的深层理解程度，引导学生避免死记硬背线性平均的误区。
【难度系数】
0.6

2 [2024 湖北武汉期末,偏难]某兴趣小组制作了
一个微型密度计,在圆木棒的一端缠绕一些铜
丝,将其放入不同的液体中,它会竖直漂浮在液
体中,已知圆木棒的横截面积为$0.5cm^{2}$。
(g取10 N/kg)

(1)小组同学用天平测出了密度计的质量为
10 g,将密度计放入水中并处于漂浮状态,如图
甲所示,在木棒上用记号笔标出水面的位置,这
就是水的密度刻度“$1g/cm^{3}$”,此时密度计受到
的浮力为 N,它在水面以下的体积为
$cm^{3}$。
(2)假设该密度计漂浮于密度为$0.8g/cm^{3}$的
某液体中,密度计在该液体液面以下的体积为
$cm^{3}$,在距离“$1g/cm^{3}$”刻度线
cm 的位置标刻“$0.8g/cm^{3}$”的刻
度线。
(3)用同样的方法可以标刻其他刻度,如图乙
所示,微型密度计的刻度(单位:$g/cm^{3}$)标刻正
确的是(填字母)。

2.(1)0.1 10 (2)12.5 5 (3)B
【解析】(1)密度计的重力$G=mg=10×$
$10^{-3}kg×10N/kg=0.1N$,由于密度计是漂浮
在水面上的,根据物体的浮沉条件可知,密度
计在水中受到的浮力$F_{浮}=G=0.1N$;由$F_{浮}=$
$\rho_{液}gV_{排}$可知,密度计排开水的体积$V_{排}=$
$\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{0.1N}{1×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg}=1×10^{-5}m^{3}=$
$10cm^{3}$,即密度计在水面以下的体积$V_{1}=V_{排}=$
$10cm^{3}$。(2)根据密度计的工作原理可知,密
度计在不同的液体中受到的浮力相同,即密
度计在密度为$0.8g/cm^{3}$的某液体中受到的
浮力为0.1 N,液体的密度$\rho_{液}=0.8g/cm^{3}=$
$0.8×10^{3}kg/m^{3}$,由$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$可知,密度计
排开该液体的体积$V_{排}'=\frac{F_{浮}'}{\rho_{液}g}=$
$\frac{0.1N}{0.8×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg}=1.25×10^{-5}m^{3}=$
$12.5cm^{3}$,即密度计在该液体液面以下的体
积$V_{2}=V_{排}'=12.5cm^{3}$,由$V=Sh$可知,密度计
在水面以下的深度$h_{1}=\frac{V_{1}}{S}=\frac{10cm^{3}}{0.5cm^{2}}=$
$20cm$,密度计在该液体液面以下的深度$h_{2}=$
$\frac{V_{2}}{S}=\frac{12.5cm^{3}}{0.5cm^{2}}=25cm$,则“$1g/cm^{3}$”刻度线和
“$0.8g/cm^{3}$”刻度线之间的距离$\Delta h=h_{2}-h_{1}=$
$25cm-20cm=5cm$。(3)根据阿基米德原理
$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$和体积公式$V=Sh$可知,密度计
浸入液面下的深度$h=\frac{F_{浮}}{\rho_{液}gS}$,由于密度计在
不同液体中受到的浮力相同,圆木棒的横截
面积不变,根据$h=\frac{F_{浮}}{\rho_{液}gS}$可知,密度计浸入液
面下的深度与液体的密度成反比,由反比例
函数图像可知,密度计的刻度特点是上小下
大,而且刻度不是均匀分布的,上疏下密,故
图乙中B标刻正确,故选B。

【分析】
解题思路如下：
1. 第一问：密度计始终处于漂浮状态，根据漂浮条件，浮力等于自身总重力，先通过给定的质量算出密度计的重力，即可直接得到浮力大小；再代入阿基米德原理公式$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，就能算出排开水的体积，也就是水面以下的体积。
2. 第二问：密度计在任意液体中漂浮时浮力都等于自身重力，因此在$0.8g/cm^3$的液体中浮力和在水中相等，再次代入阿基米德原理算出该液体中排开液体的体积；两个状态下排液体积的差值除以圆木棒的横截面积，就能得到两个刻度线之间的距离，注意密度小于水的液体中，密度计浸入更深，$0.8g/cm^3$的刻度在$1g/cm^3$刻度的上方。
3. 第三问：根据推导公式$h=\frac{F_{浮}}{\rho_{液}gS}$可知，浸入深度$h$和液体密度$\rho_{液}$成反比，因此密度计刻度的特点是上小下大（上方对应液体密度更小），且刻度分布上疏下密（密度越大，相邻刻度的间距越小），对比四个选项即可选出正确的刻度标注。
【解析】
(1) 计算密度计的重力：
$G=mg=10×10^{-3}kg×10N/kg=0.1N$
密度计漂浮在水面上，由物体漂浮条件可知，浮力等于重力：$F_{浮}=G=0.1N$
根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，可得排开水的体积：
$V_{排} = \frac{F_{浮}}{\rho_{水}g} = \frac{0.1N}{1×10^3kg/m^3×10N/kg} = 1×10^{-5}m^3 = 10cm^3$
即密度计在水面以下的体积为$10cm^3$。
(2) 密度计在密度为$0.8g/cm^3$的液体中仍然漂浮，浮力仍等于自身重力，即$F_{浮}'=0.1N$，$\rho_{液}=0.8×10^3kg/m^3$，代入阿基米德原理得排开液体的体积：
$V_{排}' = \frac{F_{浮}'}{\rho_{液}g} = \frac{0.1N}{0.8×10^3kg/m^3×10N/kg} = 1.25×10^{-5}m^3 =12.5cm^3$
由$V=Sh$可得，水中浸入深度$h_1=\frac{V_{排}}{S}=\frac{10cm^3}{0.5cm^2}=20cm$，该液体中浸入深度$h_2=\frac{V_{排}'}{S}=\frac{12.5cm^3}{0.5cm^2}=25cm$
两个刻度线的距离$\Delta h=h_2-h_1=25cm-20cm=5cm$。
(3) 由$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}=\rho_{液}gSh$，可得浸入深度$h=\frac{F_{浮}}{\rho_{液}gS}$，由于$F_{浮}$、$g$、$S$均为定值，$h$与$\rho_{液}$成反比，因此液体密度越小，浸入深度越大，刻度数值从上到下逐渐增大；且反比例函数的特性决定刻度分布上疏下密，也就是密度差值相同时，密度越小的位置刻度间距越大，因此只有B的标注符合规律。
【答案】
(1) 0.1；10 (2) 12.5；5 (3) B
【知识点】
物体漂浮条件；阿基米德原理；密度计刻度特点
【点评】
本题以自制微型密度计为实验情境分层设置问题，从基础浮力计算逐步过渡到刻度规律推导，既巩固了漂浮条件、阿基米德原理的基础应用，也考察了学生对反比例关系对应的非均匀刻度的理解，易错点是误认为密度计刻度是均匀分布，或是搞反刻度数值的上下顺序。
【难度系数】
0.4