3.(绍兴市)下列各组x,y的值中,不是方程$3x+2y=7$的解的为 ()

A.$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=3, \\ y=-1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=5, \\ y=-4 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=-1, \\ y=-5 \end{cases}$

3.D

【分析】要判断哪个选项不是方程$3x+2y=7$的解，需依据二元一次方程解的定义，将每个选项中的$x$、$y$值代入方程，计算左边结果是否等于右边的7，结果不等的即为所求选项。
【解析】依次将各选项的$x$、$y$值代入方程$3x+2y=7$验证：
选项A：代入得$3×1 + 2×2 = 3 + 4 = 7$，等于右边，是方程的解；
选项B：代入得$3×3 + 2×(-1) = 9 - 2 = 7$，等于右边，是方程的解；
选项C：代入得$3×5 + 2×(-4) = 15 - 8 = 7$，等于右边，是方程的解；
选项D：代入得$3×(-1) + 2×(-5) = -3 - 10 = -13 ≠ 7$，不等于右边，不是方程的解。
因此选D。
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解；代入法验证方程解
【点评】本题考查二元一次方程解的基础概念，解题方法直接，仅需代入计算即可判断，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

4.(杭州市拱墅区)已知二元一次方程$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$。若用含$x$的代数式表示$y$,则可得$y=$;方程的正整数解是。

$y=2-\dfrac{x}{2}$，方程的正整数解是$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$

【分析】要将二元一次方程用含x的代数式表示y，需通过移项、系数化为1完成方程变形；寻找正整数解时，需保证x、y均为正整数，结合变形后的式子筛选符合条件的x值，进而得到对应的y值。
【解析】1. 用含x的代数式表示y：原方程$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$，两边同乘4消分母得$x + 2y = 4$，移项得$2y = 4 - x$，两边除以2得$y = 2 - \frac{x}{2}$。2. 找正整数解：x、y均为正整数，故$x＞0$，$y＞0$，即$2 - \frac{x}{2} ＞ 0$，解得$x ＜ 4$；又因y为整数，所以$\frac{x}{2}$需为整数，即x为偶数。结合x是正整数，得x=2，此时$y=2 - \frac{2}{2}=1$，符合正整数要求，故正整数解为$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$。
【答案】$y=2-\dfrac{x}{2}$，$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$
【知识点】二元一次方程的变形，正整数解
【点评】本题考查二元一次方程的代数式表示及正整数解的求解，核心是正确变形方程并结合正整数的限定条件筛选解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6

5.(嘉兴市)已知$\begin{cases}x=a, \\ y=b\end{cases}$是方程组$\begin{cases}2x+y=1007, \\ x+2y=1010\end{cases}$的解，则$\dfrac{a-b}{a+b}$的值是 ______ 。

$-\dfrac{9}{2017}$

【分析】首先，根据方程组解的定义，将解代入方程组得到关于a、b的两个方程；接着通过两式相减求出a - b的值，两式相加求出a + b的值；最后将这两个整体的值代入所求分式计算即可，无需单独求解a、b，运用整体思想简化计算。
【解析】因为$\begin{cases}x=a \\ y=b\end{cases}$是方程组$\begin{cases}2x+y=1007 \\ x+2y=1010\end{cases}$的解，所以代入得：
$\begin{cases}2a + b = 1007 \quad ① \\ a + 2b = 1010 \quad ②\end{cases}$
① - ②得：$(2a + b) - (a + 2b) = 1007 - 1010$，化简得$a - b = -3$；
① + ②得：$(2a + b) + (a + 2b) = 1007 + 1010$，化简得$3(a + b) = 2017$，即$a + b = \frac{2017}{3}$；
将$a - b = -3$，$a + b = \frac{2017}{3}$代入$\frac{a - b}{a + b}$，得：
$\frac{-3}{\frac{2017}{3}} = -3 × \frac{3}{2017} = -\frac{9}{2017}$。
【答案】$-\dfrac{9}{2017}$
【知识点】二元一次方程组的解，代数式求值
【点评】本题考查二元一次方程组解的应用，核心是运用整体思想求代数式的值，避免了繁琐的单独求解过程，属于基础题型，需熟练掌握加减消元法的灵活运用。
【难度系数】0.7

例5 解方程组：
(1)(杭州市西湖区)$\begin{cases}2x + 7y = 5, \\3x + y = -2。\end{cases}$
(2)(杭州市萧山区)$\begin{cases}\dfrac{x - y}{3} = \dfrac{x + y}{2}, \\2x - 5y = 7。\end{cases}$

(1)$\begin{cases}2x + 7y = 5①,\\3x + y = -2②,\end{cases}$ ②×7−①,得19x=−19,解得x=−1。将x=−1代入①,得y=1。所以原方程组的解是$\begin{cases} x=-1, \\ y=1。\end{cases}$
(2)整理,得$\begin{cases} x + 5y = 0①, \\ 2x - 5y = 7②, \end{cases}$ ①+②,得3x=7,解得$x=\dfrac{7}{3}$。将$x=\dfrac{7}{3}$代入①,得$\dfrac{7}{3}+5y=0$,解得$y=-\dfrac{7}{15}$。所以原方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{7}{3}, \\ y=-\dfrac{7}{15}。\end{cases}$

【分析】解二元一次方程组的核心是运用消元思想，将二元转化为一元求解。第(1)题中两个方程y的系数分别为7和1，适合用加减消元法，通过变形使y的系数相同，相减消去y后求x，再代入求y；第(2)题需先整理分式形式的方程，化为标准整式方程，再利用加减消元法消去y，进而求出方程组的解。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases}2x + 7y = 5①, \\3x + y = -2②,\end{cases}$
将方程②两边同乘7，得$21x + 7y = -14③$，
用③减去①，得$21x +7y - (2x +7y) = -14 -5$，化简得$19x = -19$，解得$x = -1$。
把$x = -1$代入方程①，得$2×(-1) +7y =5$，解得$y=1$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\y=1。\end{cases}$
(2) 先整理方程组的第一个方程：$\dfrac{x - y}{3} = \dfrac{x + y}{2}$，
两边同乘6去分母，得$2(x - y) = 3(x + y)$，
展开得$2x -2y =3x +3y$，移项合并同类项得$x +5y =0①$，
原方程组变为$\begin{cases}x +5y =0①, \\2x -5y =7②,\end{cases}$
将①和②相加，得$x +5y +2x -5y =0 +7$，化简得$3x=7$，解得$x=\dfrac{7}{3}$。
把$x=\dfrac{7}{3}$代入①，得$\dfrac{7}{3} +5y=0$，解得$y=-\dfrac{7}{15}$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=\dfrac{7}{3}, \\y=-\dfrac{7}{15}。\end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases}x=-1, \\y=1\end{cases}$；(2)$\begin{cases}x=\dfrac{7}{3}, \\y=-\dfrac{7}{15}\end{cases}$
【知识点】二元一次方程组的解法、整式方程的变形
【点评】本题是二元一次方程组的基础题型，主要考察加减消元法解方程组及分式方程的整理，核心是消元思想的应用，步骤清晰，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8