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23. 新情境 调节单肩包背带 如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成. 小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计)加长或缩短，设双层部分的长度为$x\ \mathrm{cm}$，单层部分的长度为$y\ \mathrm{cm}$. 经测量，得到表中数据.
(1) 根据表中数据规律，求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；
(2) 按小文的身高和习惯，背带的长度调为 $130\ \mathrm{cm}$ 时为最佳背带长，请计算此时双层部分的长度；
(3) 设背带的长度为 $L\ \mathrm{cm}$，求 $L$ 的取值范围.
(1) 根据表中数据规律，求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；
(2) 按小文的身高和习惯，背带的长度调为 $130\ \mathrm{cm}$ 时为最佳背带长，请计算此时双层部分的长度；
(3) 设背带的长度为 $L\ \mathrm{cm}$，求 $L$ 的取值范围.
答案
23.(1)设 $y$ 与 $x$ 的函数表达式为 $y=k x+b$,
由题意,得 $\begin{cases}2 k+b=148, \\ 8 k+b=136,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2, \\ b=152,\end{cases}$
∴$y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y=-2 x+152$.
(2)由题意,得 $\begin{cases}x+y=130, \\ y=-2 x+152,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=22, \\ y=108,\end{cases}$
∴双层部分的长度为 22 cm.
(3)由题意,得当 $x=0$ 时,$y=152$,
当 $y=0$ 时,$x=76$,
∴$76 ≤ L ≤ 152$.
由题意,得 $\begin{cases}2 k+b=148, \\ 8 k+b=136,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2, \\ b=152,\end{cases}$
∴$y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y=-2 x+152$.
(2)由题意,得 $\begin{cases}x+y=130, \\ y=-2 x+152,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=22, \\ y=108,\end{cases}$
∴双层部分的长度为 22 cm.
(3)由题意,得当 $x=0$ 时,$y=152$,
当 $y=0$ 时,$x=76$,
∴$76 ≤ L ≤ 152$.
24. (2024·黑龙江中考)甲、乙两货车分别从相距225 km 的 A,B 两地同时出发,甲货车从 A 地出发途经配货站时,停下来卸货,半小时后继续驶往 B 地,乙货车沿同一条公路从 B 地驶往 A 地,但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回 B 地,结果比甲货车晚半小时到达 B 地. 如图是甲、乙两货车距 A 地的距离 y(km) 与行驶时间 x(h) 之间的函数图象,结合图象回答下列问题:
(1)甲货车到达配货站之前的速度是
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往 B 地的过程中,甲货车距 A 地的距离 y(km) 与行驶时间 x(h) 之间的函数表达式;
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中,出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等.
(1)甲货车到达配货站之前的速度是
30
km/h,乙货车的速度是40
km/h;(2)求甲货车在配货站卸货后驶往 B 地的过程中,甲货车距 A 地的距离 y(km) 与行驶时间 x(h) 之间的函数表达式;
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中,出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等.
答案
24.(1)30 40 [解析]甲货车到达配货站之前的速度是 $105 ÷ 3.5=30(\mathrm{km/h})$;乙货车的速度是 $(225-105) × 2 ÷ 6=40(\mathrm{km/h})$.
(2)
∵$3.5+0.5=4(\mathrm{h})$,$6-0.5=5.5(\mathrm{h})$,
∴点 $E(4,105)$,$F(5.5,225)$.
设直线 $EF$ 对应的函数表达式为 $y=k x+b$($k,b$ 为常数,且 $k ≠ 0$).
将 $E(4,105)$ 和 $F(5.5,225)$ 分别代入 $y=k x+b$,得
$\begin{cases}4 k+b=105, \\ 5.5 k+b=225,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=80, \\ b=-215,\end{cases}$
∴甲货车在配货站卸货后驶往 B 地的过程中,甲货车距 A 地的距离 $y$ 与行驶时间 $x$ 之间的函数表达式为 $y=80 x-215(4 ≤ x ≤ 5.5)$.
(3)由题意得线段 $CM$ 对应的函数表达式为 $y=225-40 x=-40 x+225(0 ≤ x ≤ 3)$,
线段 $MN$ 对应的函数表达式为 $y=105+40(x-3)=40 x-15(3＜x ≤ 6)$,
线段 $OD$ 对应的函数表达式为 $y=30 x(0 ≤ x ≤ 3.5)$.
当 $0 ≤ x ≤ 3$ 时,甲货车离配货站的距离为 $(105-30 x)\mathrm{km}$,乙货车离配货站的距离为 $-40 x+225-105=(-40 x+120)\mathrm{km}$,
根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”,得 $105-30 x=-40 x+120$,解得 $x=\dfrac{3}{2}$;
当 $3＜x ≤ 3.5$ 时,甲货车离配货站的距离为 $(105-30 x)\mathrm{km}$,乙货车离配货站的距离为 $40 x-15-105=(40 x-120)\mathrm{km}$,
根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”,得 $105-30 x=40 x-120$,解得 $x=\dfrac{45}{14}$;
当乙货车返回 B 地过程中与甲货车相遇时,两车与配货站的距离相等,根据“相遇时两车与 A 地距离相等”,得 $80 x-215=40 x-15$,解得 $x=5$.
综上所述,出发 $\dfrac{3}{2}\ \mathrm{h}$ 或 $\dfrac{45}{14}\ \mathrm{h}$ 或 $5\ \mathrm{h}$ 甲、乙两货车与配货站的距离相等.
解后反思 本题考查了行程问题的数量关系:时间=路程÷速度的运用、一次函数的图象的运用,掌握速度、时间、路程之间的数量关系及待定系数法求函数表达式是解题的关键.
(2)
∵$3.5+0.5=4(\mathrm{h})$,$6-0.5=5.5(\mathrm{h})$,
∴点 $E(4,105)$,$F(5.5,225)$.
设直线 $EF$ 对应的函数表达式为 $y=k x+b$($k,b$ 为常数,且 $k ≠ 0$).
将 $E(4,105)$ 和 $F(5.5,225)$ 分别代入 $y=k x+b$,得
$\begin{cases}4 k+b=105, \\ 5.5 k+b=225,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=80, \\ b=-215,\end{cases}$
∴甲货车在配货站卸货后驶往 B 地的过程中,甲货车距 A 地的距离 $y$ 与行驶时间 $x$ 之间的函数表达式为 $y=80 x-215(4 ≤ x ≤ 5.5)$.
(3)由题意得线段 $CM$ 对应的函数表达式为 $y=225-40 x=-40 x+225(0 ≤ x ≤ 3)$,
线段 $MN$ 对应的函数表达式为 $y=105+40(x-3)=40 x-15(3＜x ≤ 6)$,
线段 $OD$ 对应的函数表达式为 $y=30 x(0 ≤ x ≤ 3.5)$.
当 $0 ≤ x ≤ 3$ 时,甲货车离配货站的距离为 $(105-30 x)\mathrm{km}$,乙货车离配货站的距离为 $-40 x+225-105=(-40 x+120)\mathrm{km}$,
根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”,得 $105-30 x=-40 x+120$,解得 $x=\dfrac{3}{2}$;
当 $3＜x ≤ 3.5$ 时,甲货车离配货站的距离为 $(105-30 x)\mathrm{km}$,乙货车离配货站的距离为 $40 x-15-105=(40 x-120)\mathrm{km}$,
根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”,得 $105-30 x=40 x-120$,解得 $x=\dfrac{45}{14}$;
当乙货车返回 B 地过程中与甲货车相遇时,两车与配货站的距离相等,根据“相遇时两车与 A 地距离相等”,得 $80 x-215=40 x-15$,解得 $x=5$.
综上所述,出发 $\dfrac{3}{2}\ \mathrm{h}$ 或 $\dfrac{45}{14}\ \mathrm{h}$ 或 $5\ \mathrm{h}$ 甲、乙两货车与配货站的距离相等.
解后反思 本题考查了行程问题的数量关系:时间=路程÷速度的运用、一次函数的图象的运用,掌握速度、时间、路程之间的数量关系及待定系数法求函数表达式是解题的关键.
