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8.(真题·台州温岭)关于$x$的一元二次方程$2x^2 - kx - 6 = 0$的根的情况是 ……………………………………………………（
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个同号的实数根
D.有两个异号的实数根
D
）A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个同号的实数根
D.有两个异号的实数根
答案
8.D
解析
【分析】要判断一元二次方程根的情况，需结合根的判别式和根与系数的关系（韦达定理）分析：第一步，通过判别式Δ确定方程是否有实根；第二步，利用两根之积的符号判断根的同号或异号情况。
【解析】对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），本题中$a=2$，$b=-k$，$c=-6$。
1. 计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4×2×(-6) = k^2 + 48$，因为$k^2≥0$，所以$\Delta = k^2 + 48 ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根，排除A、B选项。
2. 计算两根之积：根据韦达定理，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{2} = -3 ＜ 0$，说明两个根异号，排除C选项。
综上，答案为D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的基础应用，需熟练掌握判别式与根的关系、两根之积的计算方法，属于常规题型。
【难度系数】0.6
【解析】对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），本题中$a=2$，$b=-k$，$c=-6$。
1. 计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4×2×(-6) = k^2 + 48$，因为$k^2≥0$，所以$\Delta = k^2 + 48 ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根，排除A、B选项。
2. 计算两根之积：根据韦达定理，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{2} = -3 ＜ 0$，说明两个根异号，排除C选项。
综上，答案为D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的基础应用，需熟练掌握判别式与根的关系、两根之积的计算方法，属于常规题型。
【难度系数】0.6
9.(真题·温州苍南)已知关于$x$的方程$(x-1)(x-m)=0$与$(x-2m)^2=c$的解完全相同,则常数$c$的值为……………（
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{9}$
C.$1$
D.$4$
B
）A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{9}$
C.$1$
D.$4$
答案
9.B 解析:因为$(x-1)(x-m)=0$,所以$x_1=1,x_2=m$,将$x_1=1,x_2=m$代入$(x-2m)^2=c$,得$\begin{cases}(1-2m)^2=c,①\\(m-2m)^2=c,②\end{cases}$整理得$(1-2m)^2=(m-2m)^2,1-4m+4m^2=m^2,3m^2-4m+1=0$,$(m-1)(3m-1)=0$,解得,$m=1$(不符合,舍去)或$m=\frac{1}{3}$,把$m=\frac{1}{3}$代入①得$c=(1-2m)^2=(1-\frac{2}{3})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$;故答案为:B。
解析
【分析】
首先，利用因式分解法求解第一个方程的解，再用直接开平方法表示第二个方程的解；根据“两个方程解完全相同”的条件，建立关于参数$m$和常数$c$的方程组，求解参数时需舍去不符合题意的解，最终计算出$c$的值。
【解析】
1. 求方程$(x-1)(x-m)=0$的解：
根据因式分解法解一元二次方程的规则，若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0，可得该方程的解为$x_1=1$，$x_2=m$。
2. 求方程$(x-2m)^2=c$的解：
根据直接开平方法，可得该方程的解为$x=2m\pm\sqrt{c}$。
3. 利用“解完全相同”建立方程：
因为两个方程的解完全相同，所以将$x_1=1$、$x_2=m$代入第二个方程的解中，得到方程组：
$\begin{cases}(1-2m)^2=c \\ (m-2m)^2=c \end{cases}$
整理得：$(1-2m)^2=(m-2m)^2$，展开后为$1-4m+4m^2=m^2$，移项合并同类项得$3m^2-4m+1=0$。
4. 求解$m$并舍去不合理解：
对$3m^2-4m+1=0$因式分解得$(m-1)(3m-1)=0$，解得$m=1$或$m=\frac{1}{3}$。
当$m=1$时，第一个方程的解为$x=1$（重根），第二个方程的解为$x=2\pm\sqrt{c}$，两者解不相同，故舍去$m=1$。
5. 计算$c$的值：
将$m=\frac{1}{3}$代入$(1-2m)^2=c$，得$c=(1-2×\frac{1}{3})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解；因式分解法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解的应用，核心是利用“解完全相同”的条件建立等量关系，求解参数时需注意舍去不符合题意的解，计算过程需仔细，避免出错。
【难度系数】
0.6
首先，利用因式分解法求解第一个方程的解，再用直接开平方法表示第二个方程的解；根据“两个方程解完全相同”的条件，建立关于参数$m$和常数$c$的方程组，求解参数时需舍去不符合题意的解，最终计算出$c$的值。
【解析】
1. 求方程$(x-1)(x-m)=0$的解：
根据因式分解法解一元二次方程的规则，若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0，可得该方程的解为$x_1=1$，$x_2=m$。
2. 求方程$(x-2m)^2=c$的解：
根据直接开平方法，可得该方程的解为$x=2m\pm\sqrt{c}$。
3. 利用“解完全相同”建立方程：
因为两个方程的解完全相同，所以将$x_1=1$、$x_2=m$代入第二个方程的解中，得到方程组：
$\begin{cases}(1-2m)^2=c \\ (m-2m)^2=c \end{cases}$
整理得：$(1-2m)^2=(m-2m)^2$，展开后为$1-4m+4m^2=m^2$，移项合并同类项得$3m^2-4m+1=0$。
4. 求解$m$并舍去不合理解：
对$3m^2-4m+1=0$因式分解得$(m-1)(3m-1)=0$，解得$m=1$或$m=\frac{1}{3}$。
当$m=1$时，第一个方程的解为$x=1$（重根），第二个方程的解为$x=2\pm\sqrt{c}$，两者解不相同，故舍去$m=1$。
5. 计算$c$的值：
将$m=\frac{1}{3}$代入$(1-2m)^2=c$，得$c=(1-2×\frac{1}{3})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解；因式分解法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解的应用，核心是利用“解完全相同”的条件建立等量关系，求解参数时需注意舍去不符合题意的解，计算过程需仔细，避免出错。
【难度系数】
0.6
10.设$x^2 - px + q = 0$的两实根为$α,β$,而以$α^2,β^2$为根的一元二次方程仍是$x^2 - px + q = 0$,则数对$(p,q)$的个数是…………（
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$0$
B
）A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$0$
答案
10.B 解析:因为$x^2 - px + q = 0$的两实根为$α,β$,所以$α+β=p$,① $αβ=q$,② $p^2≥4q$,因为$α^2,β^2$为根的一元二次方程仍是$x^2 - px + q = 0$,所以$α^2+β^2=p$,③ $α^2β^2=q$,④ 由②④知$q^2=q$,所以$q=0$或$1$,由①③知:$α^2+β^2=α+β$,所以$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=α+β$,所以$p^2-2q=p$,当$q=0,p^2=p$,解得$p=0$或$1$,所以$\begin{cases}p_1=0,\\q_1=0,\end{cases}\begin{cases}p_2=1,\\q_2=0,\end{cases}$又因为$p^2≥4q$,所以均符合题意,当$q=1,p^2-p-2=0$,解得$p=-1$或$2$,所以$\begin{cases}p_3=-1,\\q_3=1,\end{cases}\begin{cases}p_4=2,\\q_4=1,\end{cases}$又因为$p^2≥4q$,所以$\begin{cases}p_3=-1,\\q_3=1\end{cases}$不符合题意,应舍去,综上,数对$(p,q)$为$(0,0),(1,0),(2,1)$,共3个,故答案为:B。
解析
【分析】
首先，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），原方程的两根α、β满足和与积的表达式；再结合新方程的根为α²、β²，再次应用韦达定理得到对应的和与积关系；通过代数变形联立两个关系，先求解q的可能值，再代入得到p的候选值，最后利用一元二次方程有实根的条件（判别式≥0）筛选符合条件的(p,q)，统计个数即可。
【解析】
解：对于方程$x^2 - px + q = 0$，其两实根为α、β，由韦达定理得：
$α + β = p$ ①，$αβ = q$ ②，
因方程有两实根，故判别式$\Delta = p^2 - 4q ≥ 0$ ③。
又以$α^2, β^2$为根的方程仍是$x^2 - px + q = 0$，再次应用韦达定理得：
$α^2 + β^2 = p$ ④，$α^2β^2 = q$ ⑤。
由②和⑤，$α^2β^2 = (αβ)^2 = q^2$，故$q^2 = q$，解得$q = 0$或$q = 1$。
由①和④，利用完全平方公式变形：$α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ$，代入得：
$p = p^2 - 2q$，整理得$p^2 - p - 2q = 0$ ⑥。
分情况讨论：
情况1：当$q = 0$时，代入⑥得$p^2 - p = 0$，解得$p = 0$或$p = 1$。
验证判别式③：
$p=0, q=0$时，$\Delta = 0^2 - 4×0 = 0 ≥0$，符合；
$p=1, q=0$时，$\Delta =1^2 -4×0=1≥0$，符合；
情况2：当$q =1$时，代入⑥得$p^2 - p -2 =0$，解得$p=2$或$p=-1$。
验证判别式③：
$p=2, q=1$时，$\Delta=2^2 -4×1=0≥0$，符合；
$p=-1, q=1$时，$\Delta=(-1)^2 -4×1=-3 ＜0$，不符合，舍去；
综上，符合条件的数对$(p,q)$为$(0,0),(1,0),(2,1)$，共3个，故答案为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合考查韦达定理与一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是利用韦达定理建立根的和、积与系数的关系，再结合方程有实根的条件筛选有效解，需注意代数变形的准确性和判别式的验证，避免遗漏或错误舍去解。
【难度系数】
0.5
首先，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），原方程的两根α、β满足和与积的表达式；再结合新方程的根为α²、β²，再次应用韦达定理得到对应的和与积关系；通过代数变形联立两个关系，先求解q的可能值，再代入得到p的候选值，最后利用一元二次方程有实根的条件（判别式≥0）筛选符合条件的(p,q)，统计个数即可。
【解析】
解：对于方程$x^2 - px + q = 0$，其两实根为α、β，由韦达定理得：
$α + β = p$ ①，$αβ = q$ ②，
因方程有两实根，故判别式$\Delta = p^2 - 4q ≥ 0$ ③。
又以$α^2, β^2$为根的方程仍是$x^2 - px + q = 0$，再次应用韦达定理得：
$α^2 + β^2 = p$ ④，$α^2β^2 = q$ ⑤。
由②和⑤，$α^2β^2 = (αβ)^2 = q^2$，故$q^2 = q$，解得$q = 0$或$q = 1$。
由①和④，利用完全平方公式变形：$α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ$，代入得：
$p = p^2 - 2q$，整理得$p^2 - p - 2q = 0$ ⑥。
分情况讨论：
情况1：当$q = 0$时，代入⑥得$p^2 - p = 0$，解得$p = 0$或$p = 1$。
验证判别式③：
$p=0, q=0$时，$\Delta = 0^2 - 4×0 = 0 ≥0$，符合；
$p=1, q=0$时，$\Delta =1^2 -4×0=1≥0$，符合；
情况2：当$q =1$时，代入⑥得$p^2 - p -2 =0$，解得$p=2$或$p=-1$。
验证判别式③：
$p=2, q=1$时，$\Delta=2^2 -4×1=0≥0$，符合；
$p=-1, q=1$时，$\Delta=(-1)^2 -4×1=-3 ＜0$，不符合，舍去；
综上，符合条件的数对$(p,q)$为$(0,0),(1,0),(2,1)$，共3个，故答案为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合考查韦达定理与一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是利用韦达定理建立根的和、积与系数的关系，再结合方程有实根的条件筛选有效解，需注意代数变形的准确性和判别式的验证，避免遗漏或错误舍去解。
【难度系数】
0.5
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(真题·嘉兴)构造一个一元二次方程,要求:①常数项是-6;
②有一个根为2。这个一元二次方程可以是
(写出一个即可)
11.(真题·嘉兴)构造一个一元二次方程,要求:①常数项是-6;
②有一个根为2。这个一元二次方程可以是
(x-2)(x+3)=0(答案不唯一)
。(写出一个即可)
答案
11.$(x-2)(x+3)=0$(答案不唯一)
解析
【分析】要构造满足条件的一元二次方程，可利用一元二次方程的根的性质：若x=2是方程的根，则方程可分解出因式(x-2)，再结合常数项为-6的条件确定另一个因式，进而得到方程；也可设一般式代入根求解系数。
【解析】设一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0），根据条件：①常数项c=-6；②x=2是方程的根，将x=2代入得4a+2b-6=0。取a=1，解得b=1，此时方程为x²+x-6=0，因式分解得(x-2)(x+3)=0，满足所有条件（答案不唯一）。
【答案】(x-2)(x+3)=0（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的构造、一元二次方程的根
【点评】本题考查一元二次方程的构造，利用方程的根的性质构造方程，答案不唯一，能培养学生的发散思维，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】设一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0），根据条件：①常数项c=-6；②x=2是方程的根，将x=2代入得4a+2b-6=0。取a=1，解得b=1，此时方程为x²+x-6=0，因式分解得(x-2)(x+3)=0，满足所有条件（答案不唯一）。
【答案】(x-2)(x+3)=0（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的构造、一元二次方程的根
【点评】本题考查一元二次方程的构造，利用方程的根的性质构造方程，答案不唯一，能培养学生的发散思维，难度适中。
【难度系数】0.6
12.(真题·宁波余姚)已知$x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 + m$，则$m$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
12.1
解析
【分析】要计算m的值，可利用完全平方公式将等式右边的式子展开，再通过等式两边对应项相等的关系，消去相同项后求解m。
【解析】先将等式右边的完全平方展开：$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$，代入原式得：$x^2 - 6x + 10 = x^2 - 6x + 9 + m$。等式两边同时减去$x^2 - 6x$，可得$10 = 9 + m$，解得$m = 1$。
【答案】1
【知识点】完全平方公式、代数式恒等变形
【点评】本题考查完全平方公式的基础应用，通过展开完全平方后对比等式两边即可快速求解，属于初中代数的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】先将等式右边的完全平方展开：$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$，代入原式得：$x^2 - 6x + 10 = x^2 - 6x + 9 + m$。等式两边同时减去$x^2 - 6x$，可得$10 = 9 + m$，解得$m = 1$。
【答案】1
【知识点】完全平方公式、代数式恒等变形
【点评】本题考查完全平方公式的基础应用，通过展开完全平方后对比等式两边即可快速求解，属于初中代数的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
13.(真题·温州苍南)若关于$x$的一元二次方程$kx^2 - 5x + 5 = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的值可以为________。(写出一个即可)
答案
13.1(答案不唯一,$k＜\frac{5}{4}$且$k≠0$均可)
解析
【分析】
要解决这个问题，需同时满足两个条件：一是方程为一元二次方程（二次项系数不为0），二是方程有两个不相等的实数根（根的判别式大于0）。先根据这两个条件确定k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可。
【解析】
解：
∵关于x的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
∴需满足：①二次项系数k≠0；②判别式Δ＞0。
对于方程$kx^2 -5x +5 =0$，其中$a=k$，$b=-5$，$c=5$，
判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-5)^2 -4× k×5 =25 -20k$，
由$\Delta＞0$得：$25 -20k ＞0$，
移项得：$20k ＜25$，
解得：$k ＜ \frac{5}{4}$，
结合$k≠0$，得k的取值范围是$k ＜ \frac{5}{4}$且$k≠0$，
在此范围内取一个值，例如$k=1$（答案不唯一）。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的定义及根的判别式的应用，解题关键是牢记“二次项系数不为0”和“判别式大于0”两个核心条件，需注意避免遗漏k≠0的限制，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需同时满足两个条件：一是方程为一元二次方程（二次项系数不为0），二是方程有两个不相等的实数根（根的判别式大于0）。先根据这两个条件确定k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可。
【解析】
解：
∵关于x的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
∴需满足：①二次项系数k≠0；②判别式Δ＞0。
对于方程$kx^2 -5x +5 =0$，其中$a=k$，$b=-5$，$c=5$，
判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-5)^2 -4× k×5 =25 -20k$，
由$\Delta＞0$得：$25 -20k ＞0$，
移项得：$20k ＜25$，
解得：$k ＜ \frac{5}{4}$，
结合$k≠0$，得k的取值范围是$k ＜ \frac{5}{4}$且$k≠0$，
在此范围内取一个值，例如$k=1$（答案不唯一）。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的定义及根的判别式的应用，解题关键是牢记“二次项系数不为0”和“判别式大于0”两个核心条件，需注意避免遗漏k≠0的限制，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
14.(真题·宁波北仑)若$t$是方程$-2x^2 + x + 9 = 0$的一个根，则$(t-1)(2t+1)$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
14.8
解析
【分析】
要解决该问题，需利用一元二次方程根的定义得到关于t的等式，再通过展开所求代数式，采用整体代入的方法简化计算，无需求解t的具体值即可得出结果。
【解析】
因为t是方程$-2x^2 + x + 9 = 0$的根，将$x=t$代入方程得：
$-2t^2 + t + 9 = 0$，整理得$2t^2 = t + 9$。
展开所求代数式：
$(t-1)(2t+1) = 2t^2 + t - 2t - 1 = 2t^2 - t - 1$。
把$2t^2 = t + 9$代入上式：
原式$=(t + 9) - t - 1 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程的根、代数式化简求值、整体代入法
【点评】
本题结合一元二次方程根的定义，考查代数式的整体代入求值，规避了求解方程根的复杂运算，是一元二次方程相关题型的常见考法，需掌握整体代入的解题思想。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需利用一元二次方程根的定义得到关于t的等式，再通过展开所求代数式，采用整体代入的方法简化计算，无需求解t的具体值即可得出结果。
【解析】
因为t是方程$-2x^2 + x + 9 = 0$的根，将$x=t$代入方程得：
$-2t^2 + t + 9 = 0$，整理得$2t^2 = t + 9$。
展开所求代数式：
$(t-1)(2t+1) = 2t^2 + t - 2t - 1 = 2t^2 - t - 1$。
把$2t^2 = t + 9$代入上式：
原式$=(t + 9) - t - 1 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程的根、代数式化简求值、整体代入法
【点评】
本题结合一元二次方程根的定义，考查代数式的整体代入求值，规避了求解方程根的复杂运算，是一元二次方程相关题型的常见考法，需掌握整体代入的解题思想。
【难度系数】
0.6
15.已知实数$a,b$满足$3a^2 + 4a - 2 = 0,3b^2 + 4b - 2 = 0$，则$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} =$
$-\frac{14}{3}$或2
。答案
15.$-\frac{14}{3}$或2 解析:因为$3a^2+4a-2=0,3b^2+4b-2=0$,所以$a,b$可以看作一元二次方程$3x^2+4x-2=0$的两个实数根,①当$a=b$时,$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2$;②当$a≠b$时,$a+b=-\frac{4}{3},ab=-\frac{2}{3}$,所以$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=-\frac{14}{3}$,综上,$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值为2或$-\frac{14}{3}$,故答案为:$-\frac{14}{3}$或2。
解析
【分析】
本题给出两个实数a、b满足同一个一元二次方程，解题思路是：先明确a、b是该方程的根，再分两种情况讨论：当a与b相等时直接计算；当a与b不相等时，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出a+b和ab的值，将所求代数式变形后代入计算，即可得到结果。
【解析】
因为实数a、b满足$3a^2 + 4a - 2 = 0$，$3b^2 + 4b - 2 = 0$，所以分两种情况：
①当$a = b$时，$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1 + 1 = 2$；
②当$a ≠ b$时，a、b是一元二次方程$3x^2 + 4x - 2 = 0$的两个不相等的实数根，根据韦达定理得：$a + b = -\frac{4}{3}$，$ab = -\frac{2}{3}$。
对$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$变形：$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}$，代入数值计算：
$\frac{(-\frac{4}{3})^2 - 2×(-\frac{2}{3})}{-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{16}{9} + \frac{4}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{28}{9}}{-\frac{2}{3}} = -\frac{14}{3}$；
综上，$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$的值为2或$-\frac{14}{3}$。
【答案】
2或$-\frac{14}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数关系、代数式求值
【点评】
本题需运用分类讨论思想，结合一元二次方程根的性质和韦达定理简化计算，是中等难度的代数综合题，重点考查代数式的变形能力和韦达定理的应用。
【难度系数】
0.5
本题给出两个实数a、b满足同一个一元二次方程，解题思路是：先明确a、b是该方程的根，再分两种情况讨论：当a与b相等时直接计算；当a与b不相等时，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出a+b和ab的值，将所求代数式变形后代入计算，即可得到结果。
【解析】
因为实数a、b满足$3a^2 + 4a - 2 = 0$，$3b^2 + 4b - 2 = 0$，所以分两种情况：
①当$a = b$时，$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1 + 1 = 2$；
②当$a ≠ b$时，a、b是一元二次方程$3x^2 + 4x - 2 = 0$的两个不相等的实数根，根据韦达定理得：$a + b = -\frac{4}{3}$，$ab = -\frac{2}{3}$。
对$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$变形：$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}$，代入数值计算：
$\frac{(-\frac{4}{3})^2 - 2×(-\frac{2}{3})}{-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{16}{9} + \frac{4}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{28}{9}}{-\frac{2}{3}} = -\frac{14}{3}$；
综上，$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$的值为2或$-\frac{14}{3}$。
【答案】
2或$-\frac{14}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数关系、代数式求值
【点评】
本题需运用分类讨论思想，结合一元二次方程根的性质和韦达定理简化计算，是中等难度的代数综合题，重点考查代数式的变形能力和韦达定理的应用。
【难度系数】
0.5
16.关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m+2)x - 3m - 3 = 0$在$-2 ≤ x ≤ 2$范围内有且只有一个根，则$m$的取值范围为________。
答案
16.$-\frac{3}{5}＜m≤5$ 解析:当一元二次方程$x^2-(m+2)x-3m-3=0$有两个不相等的实数根,且有且只有一个根在$-2≤x≤2$的范围内时,所以$\begin{cases}2^2-(m+2)×2-3m-3≥0,\\(-2)^2-(m+2)×(-2)-3m-3＜0\end{cases}$或$\begin{cases}(-2)^2-(m+2)×(-2)-3m-3≥0,\\2^2-(m+2)×2-3m-3＜0,\end{cases}$解不等式组$\begin{cases}2^2-(m+2)×2-3m-3≥0,\\(-2)^2-(m+2)×(-2)-3m-3＜0,\end{cases}$得该不等式组无解;解不等式组$\begin{cases}(-2)^2-(m+2)×(-2)-3m-3≥0,\\2^2-(m+2)×2-3m-3＜0,\end{cases}$得$-\frac{3}{5}＜m≤5$,综上,$m$的取值范围为:$-\frac{3}{5}＜m≤5$。
解析
【分析】
要解决一元二次方程在区间[-2,2]内有且只有一个根的问题，可将其转化为对应二次函数在该区间内有且只有一个零点。设二次函数f(x)=x² - (m+2)x -3m -3，该函数开口向上，根据零点存在定理，结合区间端点的函数值符号分两种情况讨论：一是f(-2)≤0且f(2)＞0，二是f(-2)＞0且f(2)≤0，解不等式组后取有效解集即可得到m的取值范围。
【解析】
设二次函数f(x)=x² - (m+2)x -3m -3，其图像开口向上。
计算区间端点的函数值：
f(-2)=(-2)² - (m+2)×(-2) -3m -3 = 4 + 2m + 4 - 3m -3 = 5 - m；
f(2)=2² - (m+2)×2 -3m -3 = 4 - 2m -4 -3m -3 = -5m -3。
因为方程在[-2,2]内有且只有一个根，所以分两种情况：
情况1：f(-2)≤0且f(2)＞0，即
$\begin{cases}5 - m ≤ 0 \\ -5m -3 ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式得m≥5，解第二个不等式得m＜-$\frac{3}{5}$，两个不等式无公共解，此情况无解；
情况2：f(-2)＞0且f(2)≤0，即
$\begin{cases}5 - m ＞ 0 \\ -5m -3 ≤ 0\end{cases}$
解第一个不等式得m＜5，解第二个不等式得m≥-$\frac{3}{5}$，两个不等式的公共解为-$\frac{3}{5}$＜m≤5。
综上，m的取值范围为-$\frac{3}{5}$＜m≤5。
【答案】
-$\frac{3}{5}$＜m≤5
【知识点】
二次函数零点分布；一元二次不等式组的解法
【点评】
本题考查二次函数零点与一元二次方程根的关系，需结合函数图像的开口方向和区间端点的函数值符号分情况讨论，解题时要注意准确计算函数值，避免不等式方向出错，属于中档题。
【难度系数】
0.4
要解决一元二次方程在区间[-2,2]内有且只有一个根的问题，可将其转化为对应二次函数在该区间内有且只有一个零点。设二次函数f(x)=x² - (m+2)x -3m -3，该函数开口向上，根据零点存在定理，结合区间端点的函数值符号分两种情况讨论：一是f(-2)≤0且f(2)＞0，二是f(-2)＞0且f(2)≤0，解不等式组后取有效解集即可得到m的取值范围。
【解析】
设二次函数f(x)=x² - (m+2)x -3m -3，其图像开口向上。
计算区间端点的函数值：
f(-2)=(-2)² - (m+2)×(-2) -3m -3 = 4 + 2m + 4 - 3m -3 = 5 - m；
f(2)=2² - (m+2)×2 -3m -3 = 4 - 2m -4 -3m -3 = -5m -3。
因为方程在[-2,2]内有且只有一个根，所以分两种情况：
情况1：f(-2)≤0且f(2)＞0，即
$\begin{cases}5 - m ≤ 0 \\ -5m -3 ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式得m≥5，解第二个不等式得m＜-$\frac{3}{5}$，两个不等式无公共解，此情况无解；
情况2：f(-2)＞0且f(2)≤0，即
$\begin{cases}5 - m ＞ 0 \\ -5m -3 ≤ 0\end{cases}$
解第一个不等式得m＜5，解第二个不等式得m≥-$\frac{3}{5}$，两个不等式的公共解为-$\frac{3}{5}$＜m≤5。
综上，m的取值范围为-$\frac{3}{5}$＜m≤5。
【答案】
-$\frac{3}{5}$＜m≤5
【知识点】
二次函数零点分布；一元二次不等式组的解法
【点评】
本题考查二次函数零点与一元二次方程根的关系，需结合函数图像的开口方向和区间端点的函数值符号分情况讨论，解题时要注意准确计算函数值，避免不等式方向出错，属于中档题。
【难度系数】
0.4
三、解答题(共8题,共72分,17~21题每题8分,22,23题每题10分,24题12分)
17.(真题·台州玉环)解下列一元二次方程:
(1)$x^2 - 4 = 0$;
(2)$x^2 - 5x - 6 = 0$。
17.(真题·台州玉环)解下列一元二次方程:
(1)$x^2 - 4 = 0$;
(2)$x^2 - 5x - 6 = 0$。
答案
17.(1)$x_1=2,x_2=-2$ (2)$x_1=-1,x_2=6$
解析
【分析】解一元二次方程的核心是降次，将二次方程转化为一次方程求解。第(1)题可通过移项后用直接开平方法，或利用平方差公式因式分解降次；第(2)题适合用十字相乘法对二次三项式因式分解，转化为两个一次方程求解。
【解析】(1) 移项，得$x^2 = 4$，两边直接开平方，得$x = ±2$，因此方程的解为$x_1=2$，$x_2=-2$；
(2) 对$x^2 -5x -6$因式分解，得$(x -6)(x +1)=0$，令每个因式为0，得$x -6=0$或$x +1=0$，解得$x_1=6$，$x_2=-1$。
【答案】(1)$x_1=2,x_2=-2$；(2)$x_1=-1,x_2=6$
【知识点】一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】本题考查一元二次方程的基础解法，是初中数学核心基础题型，难度较低，用于巩固降次思想的应用。
【难度系数】0.8
【解析】(1) 移项，得$x^2 = 4$，两边直接开平方，得$x = ±2$，因此方程的解为$x_1=2$，$x_2=-2$；
(2) 对$x^2 -5x -6$因式分解，得$(x -6)(x +1)=0$，令每个因式为0，得$x -6=0$或$x +1=0$，解得$x_1=6$，$x_2=-1$。
【答案】(1)$x_1=2,x_2=-2$；(2)$x_1=-1,x_2=6$
【知识点】一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】本题考查一元二次方程的基础解法，是初中数学核心基础题型，难度较低，用于巩固降次思想的应用。
【难度系数】0.8
