14.一家汽车零售店的9名销售人员10月份销售的汽车数量(单位:辆)如下:
12 10 3 9 10 12 2 6 14
(1)计算汽车销售数量的四分位数;
(2)画箱线图并分析汽车销售数量的特点.
12 10 3 9 10 12 2 6 14
(1)计算汽车销售数量的四分位数;
(2)画箱线图并分析汽车销售数量的特点.
答案
(1) 下四分位数为4.5,中位数为10,上四分位数为12;
(2) 箱线图(按上述要素绘制);特点:无异常值,中位数10,25%销售人员销售数量低于4.5辆,75%低于12辆,整体销售分布均匀,无极端值。
(2) 箱线图(按上述要素绘制);特点:无异常值,中位数10,25%销售人员销售数量低于4.5辆,75%低于12辆,整体销售分布均匀,无极端值。
解析
(1) 计算四分位数步骤:
① 将9个销售数据从小到大排序:2,3,6,9,10,10,12,12,14;
② 确定四分位数位置:
下四分位数$Q_1$位置:$\frac{n+1}{4}=\frac{9+1}{4}=2.5$,取第2、3个数据的平均数,得$Q_1=\frac{3+6}{2}=4.5$;
中位数$Q_2$位置:$\frac{n+1}{2}=5$,对应第5个数据,得$Q_2=10$;
上四分位数$Q_3$位置:$\frac{3(n+1)}{4}=7.5$,取第7、8个数据的平均数,得$Q_3=\frac{12+12}{2}=12$;
(2) 箱线图绘制:以销售数量为横轴,标记最小值2、$Q_1=4.5$、中位数10、$Q_3=12$、最大值14,绘制箱体(连接$Q_1$与$Q_3$,中位数为箱体中线),再连接箱体两端至最小值、最大值的须线;
特点分析:该组数据无异常值,中位数为10,说明一半销售人员10月销售汽车数量不低于10辆;25%的销售人员销售数量低于4.5辆,75%的销售人员销售数量低于12辆,整体销售数量分布较均匀,无极端偏离数据。
① 将9个销售数据从小到大排序:2,3,6,9,10,10,12,12,14;
② 确定四分位数位置:
下四分位数$Q_1$位置:$\frac{n+1}{4}=\frac{9+1}{4}=2.5$,取第2、3个数据的平均数,得$Q_1=\frac{3+6}{2}=4.5$;
中位数$Q_2$位置:$\frac{n+1}{2}=5$,对应第5个数据,得$Q_2=10$;
上四分位数$Q_3$位置:$\frac{3(n+1)}{4}=7.5$,取第7、8个数据的平均数,得$Q_3=\frac{12+12}{2}=12$;
(2) 箱线图绘制:以销售数量为横轴,标记最小值2、$Q_1=4.5$、中位数10、$Q_3=12$、最大值14,绘制箱体(连接$Q_1$与$Q_3$,中位数为箱体中线),再连接箱体两端至最小值、最大值的须线;
特点分析:该组数据无异常值,中位数为10,说明一半销售人员10月销售汽车数量不低于10辆;25%的销售人员销售数量低于4.5辆,75%的销售人员销售数量低于12辆,整体销售数量分布较均匀,无极端偏离数据。
15. 如图所示的是一张直角三角形纸片,$∠ ACB=90°, AC=8\ \mathrm{cm}, BC=6\ \mathrm{cm}$. 将斜边 $AB$ 翻折,使点 $B$ 落在直角边 $AC$ 的延长线上的点 $E$ 处,折痕为 $AD$,求 $CD$ 的长.

答案
15. 解: 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$.
根据折叠的性质可知, $AE=AB=10$.
$\because AC=8$,
$\therefore CE=AE-AC=2$.
即 $CE$ 的长为 2.
设 $CD=x$, 则 $BD=6-x=DE$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中, 根据勾股定理得:
$CD^2+CE^2=DE^2$, 即 $x^2+2^2=(6-x)^2$,
解得 $x=\dfrac{8}{3}$,
即 $CD$ 的长为 $\dfrac{8}{3}\ \mathrm{cm}$.
根据折叠的性质可知, $AE=AB=10$.
$\because AC=8$,
$\therefore CE=AE-AC=2$.
即 $CE$ 的长为 2.
设 $CD=x$, 则 $BD=6-x=DE$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中, 根据勾股定理得:
$CD^2+CE^2=DE^2$, 即 $x^2+2^2=(6-x)^2$,
解得 $x=\dfrac{8}{3}$,
即 $CD$ 的长为 $\dfrac{8}{3}\ \mathrm{cm}$.
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