【提出问题】如图.已知点$A(1,3),B(4,6)$为平面直角坐标系$xOy$内两点,$P$为$x$轴上一点,连接$PA,PB$.
(1)求直线$AB$的函数解析式；
(2)当$△ PAB$的周长最小时,求点$P$的坐标.

【探究问题】(1)设直线$AB$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$,将点$A(1,3),B(4,6)$代入,解得$\begin{cases} k=1, \\ b=2. \end{cases}$ $\therefore$直线$AB$的函数解析式为$y=x+2$；
(2)当$△ PAB$的周长最小时,即$PA+PB$最小.如图,作点$A$关于$x$轴的对称点$A'$,则点$A'$坐标为$(1,-3)$,此时$PA+PB$的值最小,即$A'B$的长.设直线$A'B$的函数解析式为$y=mx+n(m≠0)$,将点$A'(1,-3)$,$B(4,6)$代入,解得$\begin{cases} m=3, \\ n=-6. \end{cases}$ $\therefore$直线$A'B$的函数解析式为$y=3x-6$,令$y=3x-6=0$,则$x=2$,$\therefore P(2,0)$.

【方法归纳】几何分析定思路,函数工具算坐标,实现“几何直观”与“代数计算”的深度融合,解决综合问题.

(1) $y=x+2$；(2) $(2,0)$

(1) 设直线AB的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(1,3)$、$B(4,6)$代入得方程组：
$\begin{cases}k + b = 3 \\4k + b = 6\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=3$，解得$k=1$，将$k=1$代入$k + b = 3$，得$b=2$，因此直线AB的函数解析式为$y=x+2$。
(2) $△ PAB$的周长为$PA+PB+AB$，其中AB长度固定，要使周长最小，只需$PA+PB$最小。作点A关于x轴的对称点$A'(1,-3)$，由对称性质得$PA=PA'$，故$PA+PB=PA'+PB$，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$PA'+PB$最小，此时P为直线$A'B$与x轴的交点。
设直线$A'B$的函数解析式为$y=mx+n(m≠0)$，将$A'(1,-3)$、$B(4,6)$代入得方程组：
$\begin{cases}m + n = -3 \\4m + n = 6\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3m=9$，解得$m=3$，将$m=3$代入$m + n = -3$，得$n=-6$，因此直线$A'B$的函数解析式为$y=3x-6$。
令$y=0$，则$3x-6=0$，解得$x=2$，故点P的坐标为$(2,0)$。

15. 如图,直线 $ l_1:y=x+a $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(-3,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $, $ C $ 点在 $ x $ 轴上 $ A $ 点的右边, $ AC=7 $. 经过点 $ C $ 的直线 $ l_2 $ 与正比例函数 $ y=-\dfrac{1}{2}x $ 的图象平行,直线 $ l_1 $ 与直线 $ l_2 $ 相交于点 $ D $,$ P $ 为直线 $ l_1 $ 上一动点.
(1)求点 $ D $ 的坐标;
(2)若 $ 7S_{△ PCD}=6S_{△ ACD} $,求点 $ P $ 的坐标.

15.(1)$D(-\dfrac{2}{3},\dfrac{7}{3})$ (2)点 $P$ 的坐标为
$(-\dfrac{8}{3},\dfrac{1}{3})$或$(\dfrac{4}{3},\dfrac{13}{3})$