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15. （14 分）先化简，再求值：
（1）$-3(x^{2}y-xy)+2(x^{2}y+xy)-4x^{2}y$，其中 $x=1,y=-1$；
（2）$2(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{3}{10}ab^{2})-3(\dfrac{4}{3}b-3a)+\dfrac{1}{5}(3ab^{2}-55b)$，其中 $2a-3b=6$。
（1）$-3(x^{2}y-xy)+2(x^{2}y+xy)-4x^{2}y$，其中 $x=1,y=-1$；
（2）$2(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{3}{10}ab^{2})-3(\dfrac{4}{3}b-3a)+\dfrac{1}{5}(3ab^{2}-55b)$，其中 $2a-3b=6$。
答案
(1) 原式$=-3x^2y+3xy+2x^2y+2xy-4x^2y=-5x^2y+5xy$. 当$x=1,y=-1$时,原式$=-5×1^2×(-1)+5×1×(-1)=5-5=0$
(2) 原式$=a-\dfrac{3}{5}ab^2-4b+9a+\dfrac{3}{5}ab^2-11b=10a-15b$. 因为$2a-3b=6$,所以原式$=5(2a-3b)=5×6=30$
(2) 原式$=a-\dfrac{3}{5}ab^2-4b+9a+\dfrac{3}{5}ab^2-11b=10a-15b$. 因为$2a-3b=6$,所以原式$=5(2a-3b)=5×6=30$
解析
【分析】
这是整式化简求值的两类典型题型，解题思路如下：
1. 第(1)题已知所有字母的具体取值，先按照去括号法则去掉原式的括号，注意括号前的系数要乘括号内每一项、括号前为负号时括号内各项要变号，再合并同类项将式子化简到最简形式，最后把给定的x、y值代入最简式计算，比直接代入原式计算更简便、出错率更低。
2. 第(2)题没有给出单个字母的取值，仅给出了部分代数式的整体值，先去括号合并同类项化简后，观察化简后的式子和已知条件“2a-3b=6”的关联，把化简后的式子变形为含2a-3b的形式，直接整体代入数值计算，不需要单独求a、b的具体值，大幅降低计算量。
【解析】
(1) 先对原式去括号：
$\begin{aligned}原式&=-3x^2y+3xy+2x^2y+2xy-4x^2y\\&=(-3+2-4)x^2y+(3+2)xy\\&=-5x^2y+5xy\end{aligned}$
将$x=1,y=-1$代入最简式：
$\begin{aligned}原式&=-5×1^2×(-1)+5×1×(-1)\\&=5-5\\&=0\end{aligned}$
(2) 先对原式逐项去括号：
$\begin{aligned}原式&=a-\frac{3}{5}ab^2-4b+9a+\frac{3}{5}ab^2-11b\\&=(a+9a)+(-\frac{3}{5}ab^2+\frac{3}{5}ab^2)+(-4b-11b)\\&=10a-15b\end{aligned}$
对化简结果提取公因数5，匹配已知条件$2a-3b=6$：
$原式=5(2a-3b)=5×6=30$
【答案】
(1) 化简结果为$-5x^2y+5xy$，最终值为$0$；(2) 化简结果为$10a-15b$，最终值为$30$
【知识点】
整式去括号，合并同类项，整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础常考题，第(1)题侧重考察去括号、合并同类项的基础运算能力，提醒学生运算时注意符号变化，不要漏乘括号内的项；第(2)题考察整体代入的求值技巧，不需要单独求解a、b的具体值，通过变形匹配已知条件即可快速算出结果，能有效锻炼学生的观察能力，避免无意义的复杂计算。
【难度系数】
0.7
这是整式化简求值的两类典型题型，解题思路如下：
1. 第(1)题已知所有字母的具体取值，先按照去括号法则去掉原式的括号，注意括号前的系数要乘括号内每一项、括号前为负号时括号内各项要变号，再合并同类项将式子化简到最简形式，最后把给定的x、y值代入最简式计算，比直接代入原式计算更简便、出错率更低。
2. 第(2)题没有给出单个字母的取值，仅给出了部分代数式的整体值，先去括号合并同类项化简后，观察化简后的式子和已知条件“2a-3b=6”的关联，把化简后的式子变形为含2a-3b的形式，直接整体代入数值计算，不需要单独求a、b的具体值，大幅降低计算量。
【解析】
(1) 先对原式去括号：
$\begin{aligned}原式&=-3x^2y+3xy+2x^2y+2xy-4x^2y\\&=(-3+2-4)x^2y+(3+2)xy\\&=-5x^2y+5xy\end{aligned}$
将$x=1,y=-1$代入最简式：
$\begin{aligned}原式&=-5×1^2×(-1)+5×1×(-1)\\&=5-5\\&=0\end{aligned}$
(2) 先对原式逐项去括号：
$\begin{aligned}原式&=a-\frac{3}{5}ab^2-4b+9a+\frac{3}{5}ab^2-11b\\&=(a+9a)+(-\frac{3}{5}ab^2+\frac{3}{5}ab^2)+(-4b-11b)\\&=10a-15b\end{aligned}$
对化简结果提取公因数5，匹配已知条件$2a-3b=6$：
$原式=5(2a-3b)=5×6=30$
【答案】
(1) 化简结果为$-5x^2y+5xy$，最终值为$0$；(2) 化简结果为$10a-15b$，最终值为$30$
【知识点】
整式去括号，合并同类项，整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础常考题，第(1)题侧重考察去括号、合并同类项的基础运算能力，提醒学生运算时注意符号变化，不要漏乘括号内的项；第(2)题考察整体代入的求值技巧，不需要单独求解a、b的具体值，通过变形匹配已知条件即可快速算出结果，能有效锻炼学生的观察能力，避免无意义的复杂计算。
【难度系数】
0.7
16. (14 分) 如图①,线段 $AB=20\ \mathrm{cm}$,$CD=4\ \mathrm{cm}$,线段 $CD$ 在线段 $AB$ 上运动,$E,F$ 分别是 $AC,BD$ 的中点.
(1) 若 $AC=6\ \mathrm{cm}$,则 $EF=$
(2) 当线段 $CD$ 在线段 $AB$ 上运动时,$EF$ 的长度是否发生变化? 如果不变,请求出 $EF$ 的长度;如果变化,请说明理由.
(3) 对于角,也有和线段类似的规律. 如图②,$∠ COD$ 在 $∠ AOB$ 内部转动,$OE,OF$ 分别平分$∠ AOC$ 和 $∠ BOD$.
① 若 $∠ AOB=150°$,$∠ COD=30°$,则 $∠ EOF=$
② $∠ EOF$ 的大小是否发生变化? 如果不变,请确定 $∠ EOF$ 的大小;如果变化,请说明理由.
(1) 若 $AC=6\ \mathrm{cm}$,则 $EF=$
12
$\mathrm{cm}$.(2) 当线段 $CD$ 在线段 $AB$ 上运动时,$EF$ 的长度是否发生变化? 如果不变,请求出 $EF$ 的长度;如果变化,请说明理由.
(3) 对于角,也有和线段类似的规律. 如图②,$∠ COD$ 在 $∠ AOB$ 内部转动,$OE,OF$ 分别平分$∠ AOC$ 和 $∠ BOD$.
① 若 $∠ AOB=150°$,$∠ COD=30°$,则 $∠ EOF=$
$90°$
.② $∠ EOF$ 的大小是否发生变化? 如果不变,请确定 $∠ EOF$ 的大小;如果变化,请说明理由.
答案
(1) 12 (2) EF的长度不变 因为E,F分别是AC,BD的中点,所以$EC=\dfrac{1}{2}AC$,$DF=\dfrac{1}{2}DB$. 所以$EF=EC+CD+DF=\dfrac{1}{2}AC+CD+\dfrac{1}{2}DB=\dfrac{1}{2}(AC+DB)+CD=\dfrac{1}{2}(AC+CD+DB-CD)+CD=\dfrac{1}{2}(AB-CD)+CD=\dfrac{1}{2}AB+\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}(AB+CD)=\dfrac{1}{2}×(20+4)=12(\mathrm{cm})$
(3) ① $90°$ ② $∠EOF$的大小不会变化 因为OE,OF分别平分$∠AOC$和$∠BOD$,所以$∠EOC=\dfrac{1}{2}∠AOC$,$∠DOF=\dfrac{1}{2}∠DOB$. 所以$∠EOF=∠EOC+∠COD+∠DOF=\dfrac{1}{2}∠AOC+∠COD+\dfrac{1}{2}∠BOD=\dfrac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)+∠COD$. 因为$∠COD=∠AOB-∠AOC-∠BOD$,所以$∠EOF=\dfrac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)+∠AOB-∠AOC-∠BOD=∠AOB-\dfrac{1}{2}∠AOC-\dfrac{1}{2}∠BOD=∠AOB-\dfrac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)=∠AOB-\dfrac{1}{2}(∠AOB-∠COD)=\dfrac{1}{2}∠AOB+\dfrac{1}{2}∠COD=\dfrac{1}{2}(∠AOB+∠COD)$. 因为$∠AOB$与$∠COD$均为定值,所以$\dfrac{1}{2}(∠AOB+∠COD)$也是定值. 所以$∠EOF$的大小不变
(3) ① $90°$ ② $∠EOF$的大小不会变化 因为OE,OF分别平分$∠AOC$和$∠BOD$,所以$∠EOC=\dfrac{1}{2}∠AOC$,$∠DOF=\dfrac{1}{2}∠DOB$. 所以$∠EOF=∠EOC+∠COD+∠DOF=\dfrac{1}{2}∠AOC+∠COD+\dfrac{1}{2}∠BOD=\dfrac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)+∠COD$. 因为$∠COD=∠AOB-∠AOC-∠BOD$,所以$∠EOF=\dfrac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)+∠AOB-∠AOC-∠BOD=∠AOB-\dfrac{1}{2}∠AOC-\dfrac{1}{2}∠BOD=∠AOB-\dfrac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)=∠AOB-\dfrac{1}{2}(∠AOB-∠COD)=\dfrac{1}{2}∠AOB+\dfrac{1}{2}∠COD=\dfrac{1}{2}(∠AOB+∠COD)$. 因为$∠AOB$与$∠COD$均为定值,所以$\dfrac{1}{2}(∠AOB+∠COD)$也是定值. 所以$∠EOF$的大小不变
解析
【分析】
这道题分为线段计算和角的类比探究两部分，解题思路可以分步梳理：
1. 第(1)问：已知AB总长、CD长度和AC的长度，先通过线段和差算出BD的长度，再利用E、F是AC、BD中点的性质，得到EC和DF的长度，最后把EC、CD、DF相加就能得到EF的长度。
2. 第(2)问：判断EF长度是否变化，不需要代入具体数值，把EF拆成EC+CD+DF，将中点性质得到的EC=1/2 AC、DF=1/2 BD代入，再利用整体代换，把AC+BD转化为AB-CD，最终推导得到EF的表达式是仅和AB、CD有关的定值，就能得出长度不变的结论。
3. 第(3)问是角的类比问题，完全可以迁移线段部分的解题思路：①代入已知的∠AOB和∠COD的数值，用和线段完全一致的推导逻辑算出∠EOF；②同样把∠EOF拆成∠EOC+∠COD+∠DOF，代入角平分线的性质，整体代换后得到∠EOF仅和∠AOB、∠COD有关，是定值，因此大小不变。
【解析】
(1) 已知$AB=20\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$CD=4\ \mathrm{cm}$，
可得$BD = AB - AC - CD = 20 - 6 - 4 = 10\ \mathrm{cm}$，
因为E是AC中点，F是BD中点，
所以$EC = \frac{1}{2}AC = 3\ \mathrm{cm}$，$DF = \frac{1}{2}BD = 5\ \mathrm{cm}$，
因此$EF = EC + CD + DF = 3 + 4 + 5 = 12\ \mathrm{cm}$。
(2) $EF$的长度不会发生变化，推导如下：
∵ E,F分别是AC,BD的中点，
∴ $EC=\dfrac{1}{2}AC$，$DF=\dfrac{1}{2}DB$，
∴ $EF=EC+CD+DF=\dfrac{1}{2}AC+CD+\dfrac{1}{2}DB$
$=\dfrac{1}{2}(AC+DB)+CD$，
又
∵ $AC+DB=AB-CD$，代入得：
$EF=\dfrac{1}{2}(AB-CD)+CD=\dfrac{1}{2}AB+\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}(AB+CD)$，
代入$AB=20\ \mathrm{cm}$，$CD=4\ \mathrm{cm}$，得$EF=\dfrac{1}{2}×(20+4)=12\ \mathrm{cm}$，
因此EF长度为定值，不随CD运动发生变化。
(3) ① 已知$∠AOB=150°$，$∠COD=30°$，
可得$∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=120°$，
∵ OE,OF分别平分$∠AOC$和$∠BOD$，
∴ $∠EOC=\dfrac{1}{2}∠AOC$，$∠DOF=\dfrac{1}{2}∠BOD$，
∴ $∠EOF=∠EOC+∠COD+∠DOF=\dfrac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)+∠COD$
$=\dfrac{1}{2}×120°+30°=90°$。
② $∠EOF$的大小不会发生变化，推导如下：
∵ OE,OF分别平分$∠AOC$和$∠BOD$，
∴ $∠EOC=\dfrac{1}{2}∠AOC$，$∠DOF=\dfrac{1}{2}∠DOB$，
∴ $∠EOF=∠EOC+∠COD+∠DOF=\dfrac{1}{2}∠AOC+∠COD+\dfrac{1}{2}∠BOD$
$=\dfrac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)+∠COD$，
又
∵ $∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD$，代入得：
$∠EOF=\dfrac{1}{2}(∠AOB-∠COD)+∠COD=\dfrac{1}{2}∠AOB+\dfrac{1}{2}∠COD=\dfrac{1}{2}(∠AOB+∠COD)$，
因为$∠AOB$与$∠COD$均为定值，所以$\dfrac{1}{2}(∠AOB+∠COD)$也是定值，因此$∠EOF$的大小不变。
【答案】
(1) $\boldsymbol{12}$
(2) EF的长度不变，EF的长度为$12\ \mathrm{cm}$
(3) ① $\boldsymbol{90°}$ ② $∠EOF$的大小不会变化，恒等于$\dfrac{1}{2}(∠AOB+∠COD)$，为定值
【知识点】
线段中点性质，角平分线性质，整体代换思想
【点评】
本题属于线段与角的类比探究题型，先通过线段的和差、中点性质推导出定值规律，再将该规律迁移到角的场景中，有效考察了知识迁移能力和整体代换的解题技巧，不需要单独求解每个未知线段/角的具体值，通过整体代换即可快速得到定值，是几何入门阶段非常典型的规律探究题。
【难度系数】
0.6
这道题分为线段计算和角的类比探究两部分，解题思路可以分步梳理：
1. 第(1)问：已知AB总长、CD长度和AC的长度，先通过线段和差算出BD的长度，再利用E、F是AC、BD中点的性质，得到EC和DF的长度，最后把EC、CD、DF相加就能得到EF的长度。
2. 第(2)问：判断EF长度是否变化，不需要代入具体数值，把EF拆成EC+CD+DF，将中点性质得到的EC=1/2 AC、DF=1/2 BD代入，再利用整体代换，把AC+BD转化为AB-CD，最终推导得到EF的表达式是仅和AB、CD有关的定值，就能得出长度不变的结论。
3. 第(3)问是角的类比问题，完全可以迁移线段部分的解题思路：①代入已知的∠AOB和∠COD的数值，用和线段完全一致的推导逻辑算出∠EOF；②同样把∠EOF拆成∠EOC+∠COD+∠DOF，代入角平分线的性质，整体代换后得到∠EOF仅和∠AOB、∠COD有关，是定值，因此大小不变。
【解析】
(1) 已知$AB=20\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$CD=4\ \mathrm{cm}$，
可得$BD = AB - AC - CD = 20 - 6 - 4 = 10\ \mathrm{cm}$，
因为E是AC中点，F是BD中点，
所以$EC = \frac{1}{2}AC = 3\ \mathrm{cm}$，$DF = \frac{1}{2}BD = 5\ \mathrm{cm}$，
因此$EF = EC + CD + DF = 3 + 4 + 5 = 12\ \mathrm{cm}$。
(2) $EF$的长度不会发生变化，推导如下：
∵ E,F分别是AC,BD的中点，
∴ $EC=\dfrac{1}{2}AC$，$DF=\dfrac{1}{2}DB$，
∴ $EF=EC+CD+DF=\dfrac{1}{2}AC+CD+\dfrac{1}{2}DB$
$=\dfrac{1}{2}(AC+DB)+CD$，
又
∵ $AC+DB=AB-CD$，代入得：
$EF=\dfrac{1}{2}(AB-CD)+CD=\dfrac{1}{2}AB+\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}(AB+CD)$，
代入$AB=20\ \mathrm{cm}$，$CD=4\ \mathrm{cm}$，得$EF=\dfrac{1}{2}×(20+4)=12\ \mathrm{cm}$，
因此EF长度为定值，不随CD运动发生变化。
(3) ① 已知$∠AOB=150°$，$∠COD=30°$，
可得$∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=120°$，
∵ OE,OF分别平分$∠AOC$和$∠BOD$，
∴ $∠EOC=\dfrac{1}{2}∠AOC$，$∠DOF=\dfrac{1}{2}∠BOD$，
∴ $∠EOF=∠EOC+∠COD+∠DOF=\dfrac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)+∠COD$
$=\dfrac{1}{2}×120°+30°=90°$。
② $∠EOF$的大小不会发生变化，推导如下：
∵ OE,OF分别平分$∠AOC$和$∠BOD$，
∴ $∠EOC=\dfrac{1}{2}∠AOC$，$∠DOF=\dfrac{1}{2}∠DOB$，
∴ $∠EOF=∠EOC+∠COD+∠DOF=\dfrac{1}{2}∠AOC+∠COD+\dfrac{1}{2}∠BOD$
$=\dfrac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)+∠COD$，
又
∵ $∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD$，代入得：
$∠EOF=\dfrac{1}{2}(∠AOB-∠COD)+∠COD=\dfrac{1}{2}∠AOB+\dfrac{1}{2}∠COD=\dfrac{1}{2}(∠AOB+∠COD)$，
因为$∠AOB$与$∠COD$均为定值，所以$\dfrac{1}{2}(∠AOB+∠COD)$也是定值，因此$∠EOF$的大小不变。
【答案】
(1) $\boldsymbol{12}$
(2) EF的长度不变，EF的长度为$12\ \mathrm{cm}$
(3) ① $\boldsymbol{90°}$ ② $∠EOF$的大小不会变化，恒等于$\dfrac{1}{2}(∠AOB+∠COD)$，为定值
【知识点】
线段中点性质，角平分线性质，整体代换思想
【点评】
本题属于线段与角的类比探究题型，先通过线段的和差、中点性质推导出定值规律，再将该规律迁移到角的场景中，有效考察了知识迁移能力和整体代换的解题技巧，不需要单独求解每个未知线段/角的具体值，通过整体代换即可快速得到定值，是几何入门阶段非常典型的规律探究题。
【难度系数】
0.6
