19.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$A(5,3),B(3,1),C(1,2)$.将三角形$ABC$向左平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度,可以得到三角形$A_1B_1C_1$,其中点$A_1,B_1,C_1$分别与点$A,B,C$对应.
(1)画出平移后的三角形$A_1B_1C_1$;
(2)求三角形$A_1B_1C_1$的面积;
(3)若点$P$在$y$轴上,以$A_1,B_1,P$为顶点的三角形面积为2,求点$P$的坐标.

19.解:(1)如图,三角形$A_1B_1C_1$即为所求.
(2)三角形$A_1B_1C_1$的面积为$2×4-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×1×4=3$.
(3)设点P(0,m),则有$\frac{1}{2}×|m-6|×2=2$.解得m=8或m=4.
∴P(0,8)或(0,4).

【分析】
(1) 平移画图先依据平移规则：横坐标左移减、右移加，纵坐标上移加、下移减，先算出A、B、C三点平移后的对应点坐标，再描点连线即可得到平移后的三角形。
(2) 平移不改变图形的形状和大小，因此三角形$A_1B_1C_1$的面积和原三角形$ABC$面积相等，采用割补法：将三角形置于矩形内，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可求解。
(3) 点P在y轴上，可设其坐标为$(0,m)$，$A_1$坐标为$(0,6)$也在y轴上，因此$△ A_1B_1P$的底为$A_1P$的长度$|m-6|$，高为$B_1$到y轴的距离，结合三角形面积公式列方程，解绝对值方程即可得到P的坐标。
【解析】
(1) 计算平移后各点坐标：
$A_1$：横坐标$5-5=0$，纵坐标$3+3=6$，即$A_1(0,6)$
$B_1$：横坐标$3-5=-2$，纵坐标$1+3=4$，即$B_1(-2,4)$
$C_1$：横坐标$1-5=-4$，纵坐标$2+3=5$，即$C_1(-4,5)$
在坐标系中描出三点并依次连接，得到三角形$A_1B_1C_1$。
(2) 平移前后面积相等，用割补法计算：
包围三角形的矩形面积为$2×4=8$，减去周围3个直角三角形的面积：
$S=8-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×1×4=3$
(3) 设$P(0,m)$，则$A_1P$的长度为$|m-6|$，$B_1$到y轴的距离为$|-2|=2$，根据面积公式列方程：
$\frac{1}{2}×|m-6|×2=2$
化简得$|m-6|=2$，解得$m=8$或$m=4$
因此点P坐标为$(0,8)$或$(0,4)$。
【答案】
(1) 如图,三角形$A_1B_1C_1$即为所求.
(2) 3
(3) $(0,8)$或$(0,4)$
【知识点】
坐标平移规律，割补法求面积，坐标与图形面积
【点评】
本题综合考查了坐标系内图形平移、不规则图形面积计算及动点坐标求解，需要熟练掌握平移坐标变化规律，涉及绝对值运算时注意分类讨论，避免漏解，是坐标系章节的典型题型。
【难度系数】
0.7

20.治理污水，保护环境.某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备每台的价格和月处理污水量如表：

(1)经调查:购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元,购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元,求a,b的值.
(2)经预算:该市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元,若两种设备都要购买,你认为该公司有哪几种购买方案?
(3)在(2)的条件下,若每月要求处理的污水量不低于2260 t,为了节约资金,请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案.

20.解:(1)根据题意,得$\begin{cases}a-b=3,\\3b-a=3.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=6,\\b=3.\end{cases}$
(2)设购买A型设备x台,则购买B型设备(12-x)台.
根据题意,得6x+3(12-x)≤50.$\therefore x≤\frac{14}{3}$.
∵x取正整数,
∴x=1,2,3,4.
∴12-x=11,10,9,8.
∴有四种购买方案:
①A型设备1台,B型设备11台;
②A型设备2台,B型设备10台;
③A型设备3台,B型设备9台;
④A型设备4台,B型设备8台.
(3)由题意,得220x+180(12-x)≥2260.$\therefore x≥\frac{5}{2}$.
又$x≤\frac{14}{3}$,$\therefore \frac{5}{2}≤x≤\frac{14}{3}$.
∵x取正整数,
∴x为3,4.
当x=3时,购买资金为3×6+9×3=45(万元);
当x=4时,购买资金为4×6+8×3=48(万元).
∵45＜48,
∴为了节约资金,应购买A型设备3台,B型设备9台.

【分析】
（1）第一问根据题目给出的两个等量关系：1台A型设备价格比1台B型多3万元、1台A型设备价格比3台B型少3万元，列出二元一次方程组，求解即可得到a、b的值。
（2）第二问设购买A型设备x台，那么B型设备为(12-x)台，根据“购买总资金不超过50万元”列一元一次不等式，结合x是正整数、两种设备都要购买的要求，求出x的正整数解，对应得到所有购买方案。
（3）第三问在第二问的基础上，增加“每月处理污水量不低于2260t”的限制条件，再列一元一次不等式，筛选出同时满足两个条件的x的取值，分别计算对应x的购买总资金，比较资金大小即可选出最省钱的方案。
【解析】
(1) 根据题意列方程组：
$\begin{cases}a-b=3\\3b-a=3\end{cases}$
将两个方程相加得$2b=6$，解得$b=3$，把$b=3$代入$a-b=3$，得$a=6$。
(2) 设购买A型设备$x$台，则购买B型设备$(12-x)$台。
根据购买资金不超过50万元列不等式：
$6x+3(12-x)≤50$
化简得$3x≤14$，解得$x≤\frac{14}{3}$。
因为x为正整数且两种设备都要购买，所以x可取1、2、3、4，对应$12-x$为11、10、9、8，共4种方案：
①A型设备1台，B型设备11台；
②A型设备2台，B型设备10台；
③A型设备3台，B型设备9台；
④A型设备4台，B型设备8台。
(3) 根据每月处理污水量不低于2260t列不等式：
$220x+180(12-x)≥2260$
化简得$40x≥100$，解得$x≥\frac{5}{2}$。
结合(2)中$x≤\frac{14}{3}$，且x为正整数，所以x可取3、4。
当$x=3$时，购买资金为$3×6+9×3=45$（万元）；
当$x=4$时，购买资金为$4×6+8×3=48$（万元）。
因为$45＜48$，所以选择购买A型3台、B型9台的方案最省钱。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=6,b=3}$
(2) 共4种购买方案：①A型1台，B型11台；②A型2台，B型10台；③A型3台，B型9台；④A型4台，B型8台
(3) 最省钱的方案为购买A型设备3台，B型设备9台
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，最优方案设计
【点评】
本题结合环保实际背景，综合考查了方程、不等式的实际应用能力，解题时需要注意未知数的取值要符合实际意义（设备台数为正整数），要根据多个限制条件筛选可行方案，最后通过比较得到最优解，能很好地锻炼数学应用意识。
【难度系数】
0.65