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幻方起源于中国,是我国古代数学的杰作之一.
“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一,对于其来源于何处,如今有各种传说.图1即洛书.数出图1中各处的圆圈和圆点个数,并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中,就得到一个幻方(图2).在这个幻方中,9个格中的数分别是1,2,3,4,5,6,7,8,9,每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为15.
请将−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4这9个数分别填入如图3所示的幻方中的9个空格中,使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等.
与同学交流一下,你们填这个幻方的方法相同吗?
练习
“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一,对于其来源于何处,如今有各种传说.图1即洛书.数出图1中各处的圆圈和圆点个数,并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中,就得到一个幻方(图2).在这个幻方中,9个格中的数分别是1,2,3,4,5,6,7,8,9,每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为15.
请将−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4这9个数分别填入如图3所示的幻方中的9个空格中,使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等.
与同学交流一下,你们填这个幻方的方法相同吗?
练习
答案
解:填法不同,填法之一如图所示.
| -1 | 4 | -3 |
| -2 | 0 | 2 |
| 3 | -4 | 1 |
| -1 | 4 | -3 |
| -2 | 0 | 2 |
| 3 | -4 | 1 |
解析
【分析】
要完成这个三阶幻方，我们可以按逻辑逐步推导：首先先计算给出的9个数的总和，因为三行的和完全相等，用总和除以3就能得到每行、每列、斜对角线的和（也就是幻和）。其次三阶幻方的中间数是9个数的平均数，我们可以先确定中间格要填的数。最后把剩下的数凑成和相等的数对，放在中间格的对称位置，再微调位置保证所有行、列、对角线的和都等于幻和即可，本题填法不唯一。
【解析】
1. 先计算9个数的总和：
$(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4=0$
2. 计算幻和：三行的和相等，因此每行的和为$0÷3=0$，即每列、斜对角线的和也为0。
3. 确定中间格的数：9个数的平均数是$0÷9=0$，因此中间方格填0。
4. 将剩余8个数分成和为0的4组：$(-4,4)$、$(-3,3)$、$(-2,2)$、$(-1,1)$，每组放在关于中间格对称的位置，调整位置后保证每行、每列、对角线的和都是0，就得到了一种可行填法。
【答案】
填法不唯一，示例如下：
| -1 | 4 | -3 |
| -2 | 0 | 2 |
| 3 | -4 | 1 |
【知识点】
有理数加法，三阶幻方规律，数的分组配对
【点评】
本题是经典的幻方构造题，核心是先确定幻和与中间数，再通过对称配对完成填数，解法灵活，能有效锻炼运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要完成这个三阶幻方，我们可以按逻辑逐步推导：首先先计算给出的9个数的总和，因为三行的和完全相等，用总和除以3就能得到每行、每列、斜对角线的和（也就是幻和）。其次三阶幻方的中间数是9个数的平均数，我们可以先确定中间格要填的数。最后把剩下的数凑成和相等的数对，放在中间格的对称位置，再微调位置保证所有行、列、对角线的和都等于幻和即可，本题填法不唯一。
【解析】
1. 先计算9个数的总和：
$(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4=0$
2. 计算幻和：三行的和相等，因此每行的和为$0÷3=0$，即每列、斜对角线的和也为0。
3. 确定中间格的数：9个数的平均数是$0÷9=0$，因此中间方格填0。
4. 将剩余8个数分成和为0的4组：$(-4,4)$、$(-3,3)$、$(-2,2)$、$(-1,1)$，每组放在关于中间格对称的位置，调整位置后保证每行、每列、对角线的和都是0，就得到了一种可行填法。
【答案】
填法不唯一，示例如下：
| -1 | 4 | -3 |
| -2 | 0 | 2 |
| 3 | -4 | 1 |
【知识点】
有理数加法，三阶幻方规律，数的分组配对
【点评】
本题是经典的幻方构造题，核心是先确定幻和与中间数，再通过对称配对完成填数，解法灵活，能有效锻炼运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
1.在如图所示的幻方中，“△”处的值为
-6
。答案
1. -6
解析
【分析】
三阶幻方的核心性质是每行、每列、每条对角线上的三个数之和（即幻和）相等。我们可以先找已知数全部给出的列算出幻和，再依次推导其他未知量，最终求出△的值：第一步先算第一列的和得到幻和；第二步用第三行的和等于幻和算出b的值；第三步用主对角线的和等于幻和算出a的值；最后用中间列的和等于幻和即可求出△。
【解析】
1. 计算幻和：第一列三个数已知，和为$-1 + 0 + (-5) = -6$，即这个幻方的幻和是$-6$。
2. 求$b$的值：第三行三个数的和等于幻和，可列算式：
$-5 + b + (-3) = -6$
解得$b = -6 + 5 + 3 = 2$
3. 求$a$的值：左上角到右下角的对角线三个数的和等于幻和，可列算式：
$-1 + a + (-3) = -6$
解得$a = -6 + 1 + 3 = -2$
4. 求△的值：中间列三个数的和等于幻和，代入$a=-2$、$b=2$可列算式：
$△ + (-2) + 2 = -6$
解得$△ = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
三阶幻方性质，有理数加减法
【点评】
本题是幻方的基础应用题，解题核心是先利用已知数完整的行/列/对角线求出幻和，再以幻和为等量关系逐步推导未知量，掌握幻方基本性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
三阶幻方的核心性质是每行、每列、每条对角线上的三个数之和（即幻和）相等。我们可以先找已知数全部给出的列算出幻和，再依次推导其他未知量，最终求出△的值：第一步先算第一列的和得到幻和；第二步用第三行的和等于幻和算出b的值；第三步用主对角线的和等于幻和算出a的值；最后用中间列的和等于幻和即可求出△。
【解析】
1. 计算幻和：第一列三个数已知，和为$-1 + 0 + (-5) = -6$，即这个幻方的幻和是$-6$。
2. 求$b$的值：第三行三个数的和等于幻和，可列算式：
$-5 + b + (-3) = -6$
解得$b = -6 + 5 + 3 = 2$
3. 求$a$的值：左上角到右下角的对角线三个数的和等于幻和，可列算式：
$-1 + a + (-3) = -6$
解得$a = -6 + 1 + 3 = -2$
4. 求△的值：中间列三个数的和等于幻和，代入$a=-2$、$b=2$可列算式：
$△ + (-2) + 2 = -6$
解得$△ = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
三阶幻方性质，有理数加减法
【点评】
本题是幻方的基础应用题，解题核心是先利用已知数完整的行/列/对角线求出幻和，再以幻和为等量关系逐步推导未知量，掌握幻方基本性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
2.在如图所示的幻方中，$a+b=$
答案P10
-3
。答案P10答案
2. -3
解析
【分析】
解决本题要利用三阶幻方的核心性质：每行、每列、每条对角线上的三个数之和（幻和）相等。首先找到三个数全已知的对角线，算出幻和，再分别根据第一行的和等于幻和求出a，第一列的和等于幻和求出b，最后计算a+b即可。
【解析】
1. 计算幻和：观察左上角到右下角的对角线，三个数为-6、-5、-4，因此幻和为：
$\quad -6 + (-5) + (-4) = -15$
2. 求a的值：第一行三个数的和等于幻和，列等式：
$\quad -6 + a + (-8) = -15$
$\quad a - 14 = -15$
$\quad a = -1$
3. 求b的值：第一列三个数的和等于幻和，列等式：
$\quad -6 + (-7) + b = -15$
$\quad b - 13 = -15$
$\quad b = -2$
4. 计算a+b：
$\quad a + b = (-1) + (-2) = -3$
【答案】
-3
【知识点】
三阶幻方性质，有理数加减运算
【点评】
本题是幻方的基础应用题型，解题的突破口是先找到数值完整的线求出幻和，再利用幻和相等的性质求解未知量，熟练掌握幻方的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解决本题要利用三阶幻方的核心性质：每行、每列、每条对角线上的三个数之和（幻和）相等。首先找到三个数全已知的对角线，算出幻和，再分别根据第一行的和等于幻和求出a，第一列的和等于幻和求出b，最后计算a+b即可。
【解析】
1. 计算幻和：观察左上角到右下角的对角线，三个数为-6、-5、-4，因此幻和为：
$\quad -6 + (-5) + (-4) = -15$
2. 求a的值：第一行三个数的和等于幻和，列等式：
$\quad -6 + a + (-8) = -15$
$\quad a - 14 = -15$
$\quad a = -1$
3. 求b的值：第一列三个数的和等于幻和，列等式：
$\quad -6 + (-7) + b = -15$
$\quad b - 13 = -15$
$\quad b = -2$
4. 计算a+b：
$\quad a + b = (-1) + (-2) = -3$
【答案】
-3
【知识点】
三阶幻方性质，有理数加减运算
【点评】
本题是幻方的基础应用题型，解题的突破口是先找到数值完整的线求出幻和，再利用幻和相等的性质求解未知量，熟练掌握幻方的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
