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【例3】 某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
(1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求：A种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.
【解题思路】 (1)由销售收入＝销售单价×销售数量，结合表格可得方程组，问题(1)可解；(2)设出A种型号的电风扇最多能采购的台数，用含有未知数的式子表示出该情形下B种型号可采购的台数，根据所给的采购金额可得不等式，解出不等式，找出可采购的最大值；(3)根据利润＝销售收入－进货成本，计算出1400元利润时，两种型号的电风扇各需要卖出多少台，再判断是否与(2)中的采购方式符合，最后得出结论.
【解答过程】 解:(1)设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元.由题意，得
$\begin{cases}3x + 5y = 1800, \\4x + 10y = 3100,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 250, \\y = 210.\end{cases}$
答:A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元.
(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇$(30 - a)$台.由题意，得
$200a + 170(30 - a) ≤ 5400$，解得:$a ≤ 10$.
答:超市最多能采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元.
(3)依题意有:$(250 - 200)a + (210 - 170)(30 - a) = 1400$，解得$a = 20$.此时，$a ＞ 10$.
所以在(2)的条件下超市不能实现利润为1400元的目标.
元的目标.
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是不能从表格中抽象出其中隐含的等量关系和实际问题的数量关系，建立不了方程(组)或不等式(组).
【思维模式】 对于实际问题的解决，主要是正确分析题意，找出满足条件的等量关系，然后根据等量关系列出方程或方程组，解不等式组的应用题，要注意题目中的表示不等关系的词语，如“不大于”“不小于”“不超过”“不低于”等.解决实际问题的时候还要注意实际意义.
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
(1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求：A种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.
【解题思路】 (1)由销售收入＝销售单价×销售数量，结合表格可得方程组，问题(1)可解；(2)设出A种型号的电风扇最多能采购的台数，用含有未知数的式子表示出该情形下B种型号可采购的台数，根据所给的采购金额可得不等式，解出不等式，找出可采购的最大值；(3)根据利润＝销售收入－进货成本，计算出1400元利润时，两种型号的电风扇各需要卖出多少台，再判断是否与(2)中的采购方式符合，最后得出结论.
【解答过程】 解:(1)设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元.由题意，得
$\begin{cases}3x + 5y = 1800, \\4x + 10y = 3100,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 250, \\y = 210.\end{cases}$
答:A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元.
(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇$(30 - a)$台.由题意，得
$200a + 170(30 - a) ≤ 5400$，解得:$a ≤ 10$.
答:超市最多能采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元.
(3)依题意有:$(250 - 200)a + (210 - 170)(30 - a) = 1400$，解得$a = 20$.此时，$a ＞ 10$.
所以在(2)的条件下超市不能实现利润为1400元的目标.
元的目标.
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是不能从表格中抽象出其中隐含的等量关系和实际问题的数量关系，建立不了方程(组)或不等式(组).
【思维模式】 对于实际问题的解决，主要是正确分析题意，找出满足条件的等量关系，然后根据等量关系列出方程或方程组，解不等式组的应用题，要注意题目中的表示不等关系的词语，如“不大于”“不小于”“不超过”“不低于”等.解决实际问题的时候还要注意实际意义.
答案
解：(1)设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元。
由题意得：
$\begin{cases}3x + 5y = 1800 \\4x + 10y = 3100\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 250 \\y = 210\end{cases}$
答：A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元。
(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇$(30-a)$台。
由题意得：
$200a + 170(30 - a) ≤ 5400$
解得：$a ≤ 10$。
答：A种型号的电风扇最多能采购10台。
(3)假设总利润为1400元，由题意得：
$(250 - 200)a + (210 - 170)(30 - a) = 1400$
解得：$a = 20$。
由(2)知$a ≤ 10$，$20＞10$，不符合采购金额的限制条件。
答：在(2)的条件下，超市不能实现利润为1400元的目标。
由题意得：
$\begin{cases}3x + 5y = 1800 \\4x + 10y = 3100\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 250 \\y = 210\end{cases}$
答：A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元。
(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇$(30-a)$台。
由题意得：
$200a + 170(30 - a) ≤ 5400$
解得：$a ≤ 10$。
答：A种型号的电风扇最多能采购10台。
(3)假设总利润为1400元，由题意得：
$(250 - 200)a + (210 - 170)(30 - a) = 1400$
解得：$a = 20$。
由(2)知$a ≤ 10$，$20＞10$，不符合采购金额的限制条件。
答：在(2)的条件下，超市不能实现利润为1400元的目标。
解析
【分析】
(1)要求A、B两种型号电风扇的销售单价，可分别设两个未知数，结合表格中两周的销售数量和销售收入，利用“总销售收入=A型号单价×A销量+B型号单价×B销量”的等量关系列二元一次方程组，解方程组即可求出单价。
(2)要求A型号最多采购的台数，设采购A型号a台，则B型号为(30-a)台，根据“采购总金额=A进价×A采购量+B进价×B采购量”，结合采购金额不超过5400元的不等关系列一元一次不等式，解不等式后取最大符合要求的正整数解即可。
(3)判断能否实现1400元利润目标，可根据“总利润=A单台利润×A数量+B单台利润×B数量”列方程求解对应a值，再和(2)中a的取值范围对比，符合限制则能实现，反之则不能。
【解析】
(1)设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元。
由题意得：
$\begin{cases}3x + 5y = 1800 \\4x + 10y = 3100\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 250 \\y = 210\end{cases}$
答：A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元。
(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇$(30-a)$台。
由题意得：
$200a + 170(30 - a) ≤ 5400$
化简得$30a ≤ 300$，解得：$a ≤ 10$。
答：A种型号的电风扇最多能采购10台。
(3)假设总利润为1400元，由题意得：
$(250 - 200)a + (210 - 170)(30 - a) = 1400$
化简得$10a = 200$，解得：$a = 20$。
由(2)知$a ≤ 10$，$20＞10$，不符合采购金额的限制条件。
答：在(2)的条件下，超市不能实现利润为1400元的目标。
【答案】
(1)A型号销售单价250元，B型号销售单价210元；
(2)A种型号的电风扇最多能采购10台；
(3)不能实现利润为1400元的目标。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.一元一次不等式的应用
3.销售利润计算
【点评】
本题是典型的实际应用类综合题，解题关键是从题干和表格中准确提取等量、不等关系，建立对应的方程(组)、不等式求解，同时要注意实际问题的未知数取值需符合题目的前置限制条件，避免忽略前提出现错误。
【难度系数】
0.65
(1)要求A、B两种型号电风扇的销售单价，可分别设两个未知数，结合表格中两周的销售数量和销售收入，利用“总销售收入=A型号单价×A销量+B型号单价×B销量”的等量关系列二元一次方程组，解方程组即可求出单价。
(2)要求A型号最多采购的台数，设采购A型号a台，则B型号为(30-a)台，根据“采购总金额=A进价×A采购量+B进价×B采购量”，结合采购金额不超过5400元的不等关系列一元一次不等式，解不等式后取最大符合要求的正整数解即可。
(3)判断能否实现1400元利润目标，可根据“总利润=A单台利润×A数量+B单台利润×B数量”列方程求解对应a值，再和(2)中a的取值范围对比，符合限制则能实现，反之则不能。
【解析】
(1)设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元。
由题意得：
$\begin{cases}3x + 5y = 1800 \\4x + 10y = 3100\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 250 \\y = 210\end{cases}$
答：A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元。
(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇$(30-a)$台。
由题意得：
$200a + 170(30 - a) ≤ 5400$
化简得$30a ≤ 300$，解得：$a ≤ 10$。
答：A种型号的电风扇最多能采购10台。
(3)假设总利润为1400元，由题意得：
$(250 - 200)a + (210 - 170)(30 - a) = 1400$
化简得$10a = 200$，解得：$a = 20$。
由(2)知$a ≤ 10$，$20＞10$，不符合采购金额的限制条件。
答：在(2)的条件下，超市不能实现利润为1400元的目标。
【答案】
(1)A型号销售单价250元，B型号销售单价210元；
(2)A种型号的电风扇最多能采购10台；
(3)不能实现利润为1400元的目标。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.一元一次不等式的应用
3.销售利润计算
【点评】
本题是典型的实际应用类综合题，解题关键是从题干和表格中准确提取等量、不等关系，建立对应的方程(组)、不等式求解，同时要注意实际问题的未知数取值需符合题目的前置限制条件，避免忽略前提出现错误。
【难度系数】
0.65
1. 不等式$3+2x≤ -1$的解集是
$x≤ -2$
.答案
1. $x ≤ -2$
解析
【分析】
这是一元一次不等式求解的基础题，解题思路和一元一次方程求解逻辑相近，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步计算即可。解题时要注意移项需改变符号，本题中x的系数为正数，系数化为1时不等号方向不需要调整。
【解析】
解：对不等式$3+2x≤ -1$逐步计算：
1. 移项：将左侧常数项3移到不等号右侧，符号改变，得$2x ≤ -1 - 3$
2. 合并同类项：计算右侧结果，得$2x ≤ -4$
3. 系数化为1：不等号两边同时除以正数2，不等号方向不变，得$x ≤ -2$
【答案】
$x ≤ -2$
【知识点】
一元一次不等式的解法，不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元一次不等式的基本求解步骤，运算量小，掌握核心求解规则、注意移项变号和不等号方向的变化规则即可得分。
【难度系数】
0.9
这是一元一次不等式求解的基础题，解题思路和一元一次方程求解逻辑相近，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步计算即可。解题时要注意移项需改变符号，本题中x的系数为正数，系数化为1时不等号方向不需要调整。
【解析】
解：对不等式$3+2x≤ -1$逐步计算：
1. 移项：将左侧常数项3移到不等号右侧，符号改变，得$2x ≤ -1 - 3$
2. 合并同类项：计算右侧结果，得$2x ≤ -4$
3. 系数化为1：不等号两边同时除以正数2，不等号方向不变，得$x ≤ -2$
【答案】
$x ≤ -2$
【知识点】
一元一次不等式的解法，不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元一次不等式的基本求解步骤，运算量小，掌握核心求解规则、注意移项变号和不等号方向的变化规则即可得分。
【难度系数】
0.9
2. 关于x的某个不等式组的解集在数轴上可表示为：
，则原不等式组的解集是
，则原不等式组的解集是$-2＜x≤ 3$
。答案
2. $-2＜x≤ 3$
解析
【分析】
要确定该不等式组的解集，需先掌握数轴表示不等式解集的规则：空心圆圈代表不包含该点，对应不等号为“＞”或“＜”；实心圆点代表包含该点，对应不等号为“≥”或“≤”；折线向右表示大于，向左表示小于。我们先分别读取数轴上两个不等式的解集，再取公共部分即可得到不等式组的解集。
【解析】
观察数轴可得：
1. 左侧在-2的位置是空心圆圈，折线向右，对应不等式为$x ＞ -2$；
2. 右侧在3的位置是实心圆点，折线向左，对应不等式为$x ≤ 3$；
两个解集的公共部分为$-2 ＜ x ≤ 3$，即为原不等式组的解集。
【答案】
$-2＜x≤ 3$
【知识点】
1. 不等式解集的数轴表示
2. 一元一次不等式组的解集
【点评】
本题是基础类题目，重点考查从数轴上提取不等式解集的能力，只要掌握空心、实心的区别以及折线方向的含义，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
要确定该不等式组的解集，需先掌握数轴表示不等式解集的规则：空心圆圈代表不包含该点，对应不等号为“＞”或“＜”；实心圆点代表包含该点，对应不等号为“≥”或“≤”；折线向右表示大于，向左表示小于。我们先分别读取数轴上两个不等式的解集，再取公共部分即可得到不等式组的解集。
【解析】
观察数轴可得：
1. 左侧在-2的位置是空心圆圈，折线向右，对应不等式为$x ＞ -2$；
2. 右侧在3的位置是实心圆点，折线向左，对应不等式为$x ≤ 3$；
两个解集的公共部分为$-2 ＜ x ≤ 3$，即为原不等式组的解集。
【答案】
$-2＜x≤ 3$
【知识点】
1. 不等式解集的数轴表示
2. 一元一次不等式组的解集
【点评】
本题是基础类题目，重点考查从数轴上提取不等式解集的能力，只要掌握空心、实心的区别以及折线方向的含义，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
3. 不等式组$\begin{cases}x-1＞0, \\ 2x+3＞x\end{cases}$的解集是 ______ .
答案
3. $x＞1$
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是“先分后合”：第一步先分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集，第二步再根据不等式组解集的判定规则（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到），找出两个解集的公共部分，该公共部分就是整个不等式组的解集。本题先分别求解两个一元一次不等式，再对比两个解集取公共部分即可。
【解析】
解：分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$x-1＞0$：
移项可得：$x＞1$；
2. 解不等式$2x+3＞x$：
将含$x$的项移到不等号左侧，合并同类项得：$2x-x＞-3$，即$x＞-3$。
根据“同大取大”的解集判定规则，$x＞1$和$x＞-3$的公共部分为$x＞1$。
【答案】
$x＞1$
【知识点】
一元一次不等式的解法；一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础考查题，难度较低，解题的关键是掌握解一元一次不等式的移项变号规则，以及不等式组解集的判定口诀，熟练掌握这两点就能快速求出正确解集。
【难度系数】
0.9
解一元一次不等式组的核心思路是“先分后合”：第一步先分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集，第二步再根据不等式组解集的判定规则（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到），找出两个解集的公共部分，该公共部分就是整个不等式组的解集。本题先分别求解两个一元一次不等式，再对比两个解集取公共部分即可。
【解析】
解：分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$x-1＞0$：
移项可得：$x＞1$；
2. 解不等式$2x+3＞x$：
将含$x$的项移到不等号左侧，合并同类项得：$2x-x＞-3$，即$x＞-3$。
根据“同大取大”的解集判定规则，$x＞1$和$x＞-3$的公共部分为$x＞1$。
【答案】
$x＞1$
【知识点】
一元一次不等式的解法；一元一次不等式组解集的确定
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础考查题，难度较低，解题的关键是掌握解一元一次不等式的移项变号规则，以及不等式组解集的判定口诀，熟练掌握这两点就能快速求出正确解集。
【难度系数】
0.9
4. 当x
$＜\dfrac{1}{2}$
时，分式$\frac{2x - 1}{x^2 + 1}$的值为负。答案
4. $＜\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决分式的值为负的问题，首先需明确：分式的值为负等价于分子、分母异号（即分子分母乘积小于0）。第一步先判断分母的符号：由于x²具有非负性，可得x²+1恒大于0，因此分式的符号完全由分子决定，只需令分子小于0，解对应的一元一次不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 对于任意实数x，都有$x^2 ≥ 0$
∴ $x^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，即该分式的分母恒为正数
要使分式$\frac{2x - 1}{x^2 + 1}$的值为负，需分子与分母异号，因此分子需小于0：
$2x - 1 ＜ 0$
移项得：$2x ＜ 1$
两边同时除以2得：$x ＜ \frac{1}{2}$
【答案】
$＜\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式值的符号判断、平方的非负性、解一元一次不等式
【点评】
本题解题的核心是先利用平方的非负性确定分母恒为正，将分式正负性的判断简化为解一元一次不等式，本题分母永远不为0，无需额外限制x的取值。
【难度系数】
0.8
要解决分式的值为负的问题，首先需明确：分式的值为负等价于分子、分母异号（即分子分母乘积小于0）。第一步先判断分母的符号：由于x²具有非负性，可得x²+1恒大于0，因此分式的符号完全由分子决定，只需令分子小于0，解对应的一元一次不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 对于任意实数x，都有$x^2 ≥ 0$
∴ $x^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，即该分式的分母恒为正数
要使分式$\frac{2x - 1}{x^2 + 1}$的值为负，需分子与分母异号，因此分子需小于0：
$2x - 1 ＜ 0$
移项得：$2x ＜ 1$
两边同时除以2得：$x ＜ \frac{1}{2}$
【答案】
$＜\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式值的符号判断、平方的非负性、解一元一次不等式
【点评】
本题解题的核心是先利用平方的非负性确定分母恒为正，将分式正负性的判断简化为解一元一次不等式，本题分母永远不为0，无需额外限制x的取值。
【难度系数】
0.8
5. 方程组$\begin{cases}x + y = 1, \\ x - y = 2a\end{cases}$的解满足$x＞0,y＜0$,则a的取值范围是 ______ .
答案
5. $a＞\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，先解给定的二元一次方程组，把x、y都用含参数a的代数式表示出来；第二步，根据题目给出的x＞0、y＜0的条件，分别列出关于a的一元一次不等式；第三步，解这两个不等式，再取它们解集的公共部分，就能得到a的取值范围。
【解析】
首先解方程组$\begin{cases}x + y = 1① \\ x - y = 2a②\end{cases}$：
1. 用加减消元法，①+②得：$2x=1+2a$，解得$x=\frac{1+2a}{2}$；
2. ①-②得：$2y=1-2a$，解得$y=\frac{1-2a}{2}$。
根据题意$x＞0$，$y＜0$，列不等式组：
$\begin{cases}\frac{1+2a}{2} ＞ 0 \\ \frac{1-2a}{2} ＜ 0\end{cases}$
分别解两个不等式：
解第一个不等式：两边同乘2得$1+2a＞0$，移项得$2a＞-1$，解得$a＞-\frac{1}{2}$；
解第二个不等式：两边同乘2得$1-2a＜0$，移项得$2a＞1$，解得$a＞\frac{1}{2}$。
取两个解集的公共部分，可得$a＞\frac{1}{2}$。
【答案】
$a＞\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二元一次方程组求解，解一元一次不等式，不等式组解集确定
【点评】
本题属于方程组与不等式的基础综合题，解题核心是先通过解方程组用参数表示未知数，再结合不等关系列不等式求解，重点考察基础运算能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，先解给定的二元一次方程组，把x、y都用含参数a的代数式表示出来；第二步，根据题目给出的x＞0、y＜0的条件，分别列出关于a的一元一次不等式；第三步，解这两个不等式，再取它们解集的公共部分，就能得到a的取值范围。
【解析】
首先解方程组$\begin{cases}x + y = 1① \\ x - y = 2a②\end{cases}$：
1. 用加减消元法，①+②得：$2x=1+2a$，解得$x=\frac{1+2a}{2}$；
2. ①-②得：$2y=1-2a$，解得$y=\frac{1-2a}{2}$。
根据题意$x＞0$，$y＜0$，列不等式组：
$\begin{cases}\frac{1+2a}{2} ＞ 0 \\ \frac{1-2a}{2} ＜ 0\end{cases}$
分别解两个不等式：
解第一个不等式：两边同乘2得$1+2a＞0$，移项得$2a＞-1$，解得$a＞-\frac{1}{2}$；
解第二个不等式：两边同乘2得$1-2a＜0$，移项得$2a＞1$，解得$a＞\frac{1}{2}$。
取两个解集的公共部分，可得$a＞\frac{1}{2}$。
【答案】
$a＞\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二元一次方程组求解，解一元一次不等式，不等式组解集确定
【点评】
本题属于方程组与不等式的基础综合题，解题核心是先通过解方程组用参数表示未知数，再结合不等关系列不等式求解，重点考察基础运算能力。
【难度系数】
0.7
6. 现定义一种新的运算：$a * b = a^2 - 2b$，例如$3 * 4 = 3^2 - 2 × 4 = 1$，则不等式$(-1) * x ≥ 0$的解集为
$x≤ \dfrac{1}{2}$
。答案
6. $x≤ \dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先要准确理解新定义的运算规则：$a*b$等于第一个数的平方减去2倍的第二个数。先将新运算形式的$(-1)*x$转化为我们熟悉的代数式，再根据不等关系列出一元一次不等式，最后按照解一元一次不等式的步骤求解即可，注意系数化为1时，若除以负数要改变不等号的方向。
【解析】
根据新运算$a*b=a^2-2b$，可得：
$(-1)*x=(-1)^2 - 2x=1 - 2x$
已知$(-1)*x≥0$，代入得不等式：
$1 - 2x ≥ 0$
移项，得：
$-2x ≥ -1$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：
$x ≤ \dfrac{1}{2}$
【答案】
$x≤ \dfrac{1}{2}$
【知识点】
新定义运算、解一元一次不等式
【点评】
本题是新定义结合不等式的基础题型，核心是正确将新运算转化为常规代数式，再按解一元一次不等式的步骤计算，易错点是系数化为1时忽略不等号方向的改变。
【难度系数】
0.8
解题时首先要准确理解新定义的运算规则：$a*b$等于第一个数的平方减去2倍的第二个数。先将新运算形式的$(-1)*x$转化为我们熟悉的代数式，再根据不等关系列出一元一次不等式，最后按照解一元一次不等式的步骤求解即可，注意系数化为1时，若除以负数要改变不等号的方向。
【解析】
根据新运算$a*b=a^2-2b$，可得：
$(-1)*x=(-1)^2 - 2x=1 - 2x$
已知$(-1)*x≥0$，代入得不等式：
$1 - 2x ≥ 0$
移项，得：
$-2x ≥ -1$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：
$x ≤ \dfrac{1}{2}$
【答案】
$x≤ \dfrac{1}{2}$
【知识点】
新定义运算、解一元一次不等式
【点评】
本题是新定义结合不等式的基础题型，核心是正确将新运算转化为常规代数式，再按解一元一次不等式的步骤计算，易错点是系数化为1时忽略不等号方向的改变。
【难度系数】
0.8
7. 某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位，要求租用的车辆不留空座，也不能超载。有
$2$
种租车方案。答案
7. $2$
解析
【分析】
这是一道实际生活中的租车方案设计题，解题思路如下：首先根据总人数和两种车的座位数找到等量关系，设出两种车的租用数量为未知数，列出二元一次方程；再结合“同时租用两种车辆”“车辆数为正整数”“不留空座不超载”的限制条件，转化为求方程的正整数解，正整数解的个数就是租车方案的种数。
【解析】
设租用每辆8个座位的车$x$辆，每辆4个座位的车$y$辆，根据题意可知：
1. 车辆数均为正整数，且两种车同时租用，因此$x≥1$，$y≥1$（$x,y$为整数）；
2. 总座位数等于总人数，可列方程：$8x + 4y = 20$，化简得：$2x + y = 5$，变形为$y = 5 - 2x$。
将$y≥1$代入得：$5 - 2x ≥1$，解得$x≤2$。
结合$x≥1$且$x$为整数，可得$x$的取值为1、2：
当$x=1$时，$y=5-2×1=3$，符合要求；
当$x=2$时，$y=5-2×2=1$，符合要求。
因此共有2种符合条件的租车方案。
【答案】
$2$
【知识点】
二元一次方程的应用；正整数解求解；不等式的应用
【点评】
本题解题的关键是结合实际问题明确未知数的取值限制，尤其要注意“同时租用两种型号的车辆”这一隐藏条件，排除其中一种车数量为0的无效解，避免多算方案数。
【难度系数】
0.7
这是一道实际生活中的租车方案设计题，解题思路如下：首先根据总人数和两种车的座位数找到等量关系，设出两种车的租用数量为未知数，列出二元一次方程；再结合“同时租用两种车辆”“车辆数为正整数”“不留空座不超载”的限制条件，转化为求方程的正整数解，正整数解的个数就是租车方案的种数。
【解析】
设租用每辆8个座位的车$x$辆，每辆4个座位的车$y$辆，根据题意可知：
1. 车辆数均为正整数，且两种车同时租用，因此$x≥1$，$y≥1$（$x,y$为整数）；
2. 总座位数等于总人数，可列方程：$8x + 4y = 20$，化简得：$2x + y = 5$，变形为$y = 5 - 2x$。
将$y≥1$代入得：$5 - 2x ≥1$，解得$x≤2$。
结合$x≥1$且$x$为整数，可得$x$的取值为1、2：
当$x=1$时，$y=5-2×1=3$，符合要求；
当$x=2$时，$y=5-2×2=1$，符合要求。
因此共有2种符合条件的租车方案。
【答案】
$2$
【知识点】
二元一次方程的应用；正整数解求解；不等式的应用
【点评】
本题解题的关键是结合实际问题明确未知数的取值限制，尤其要注意“同时租用两种型号的车辆”这一隐藏条件，排除其中一种车数量为0的无效解，避免多算方案数。
【难度系数】
0.7
8. 把一些书分给几名同学，如果每人分4本，那么余9本；如果前面的每名同学分6本，那么最后一人就分得不超过2本，则这些书有
$37$
本。答案
8. $37$
解析
【分析】
这是典型的分配类实际问题，解题时先抓住不变量：总人数和总书数。第一步设同学人数为未知数x，根据“每人分4本余9本”用含x的代数式表示出总书数；第二步根据“前面每人分6本，最后一人分得不超过2本”找不等关系：最后一人分得的书本数≥0，且≤2，据此列出一元一次不等式组；第三步解不等式组得到x的取值范围，结合x是正整数确定x的取值，最后代入代数式算出总书数即可。
【解析】
解：设共有x名同学，根据题意，书的总数量为$(4x + 9)$本。
最后一名同学分得的书本数为：$(4x + 9) - 6(x - 1)$
由题意可得不等式组：
$\begin{cases}(4x + 9) - 6(x - 1) ≥ 0 \\(4x + 9) - 6(x - 1) ≤ 2\end{cases}$
化简不等式组：
第一个不等式：$4x +9 -6x +6 ≥0$，即$-2x +15 ≥0$，解得$x ≤ 7.5$
第二个不等式：$4x +9 -6x +6 ≤2$，即$-2x +15 ≤2$，解得$x ≥ 6.5$
因为x为正整数，所以$x = 7$
则总书数为：$4×7 +9 = 37$（本）
【答案】
$37$
【知识点】
一元一次不等式组的应用；实际问题的整数解
【点评】
本题考查不等式组在实际分配问题中的应用，解题的关键是准确挖掘隐含的不等关系，明确最后一名同学分得的书本数的取值范围，同时要注意实际问题中人数、书本数均为正整数，需对不等式组的解进行合理取舍。
【难度系数】
0.7
这是典型的分配类实际问题，解题时先抓住不变量：总人数和总书数。第一步设同学人数为未知数x，根据“每人分4本余9本”用含x的代数式表示出总书数；第二步根据“前面每人分6本，最后一人分得不超过2本”找不等关系：最后一人分得的书本数≥0，且≤2，据此列出一元一次不等式组；第三步解不等式组得到x的取值范围，结合x是正整数确定x的取值，最后代入代数式算出总书数即可。
【解析】
解：设共有x名同学，根据题意，书的总数量为$(4x + 9)$本。
最后一名同学分得的书本数为：$(4x + 9) - 6(x - 1)$
由题意可得不等式组：
$\begin{cases}(4x + 9) - 6(x - 1) ≥ 0 \\(4x + 9) - 6(x - 1) ≤ 2\end{cases}$
化简不等式组：
第一个不等式：$4x +9 -6x +6 ≥0$，即$-2x +15 ≥0$，解得$x ≤ 7.5$
第二个不等式：$4x +9 -6x +6 ≤2$，即$-2x +15 ≤2$，解得$x ≥ 6.5$
因为x为正整数，所以$x = 7$
则总书数为：$4×7 +9 = 37$（本）
【答案】
$37$
【知识点】
一元一次不等式组的应用；实际问题的整数解
【点评】
本题考查不等式组在实际分配问题中的应用，解题的关键是准确挖掘隐含的不等关系，明确最后一名同学分得的书本数的取值范围，同时要注意实际问题中人数、书本数均为正整数，需对不等式组的解进行合理取舍。
【难度系数】
0.7
9. 如果 $ ab ＜ 0 $，那么下列判断正确的是 （
A.$ a ＜ 0, b ＜ 0 $
B.$ a ＞ 0, b ＞ 0 $
C.$ a ≥ 0, b ≤ 0 $
D.$ a ＜ 0, b ＞ 0 $ 或 $ a ＞ 0, b ＜ 0 $
D
）A.$ a ＜ 0, b ＜ 0 $
B.$ a ＞ 0, b ＞ 0 $
C.$ a ≥ 0, b ≤ 0 $
D.$ a ＜ 0, b ＞ 0 $ 或 $ a ＞ 0, b ＜ 0 $
答案
9. D
解析
【分析】
本题核心是利用有理数乘法的符号规律判断a、b的符号关系。首先回忆乘法符号法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且乘积为0时至少有一个因数为0。已知ab＜0，说明乘积为负，首先排除乘积为正或为0的情况，即可得出a、b异号的结论，再逐一比对选项选出正确答案。
【解析】
根据有理数乘法的符号法则分析各选项：
1. 选项A：a＜0，b＜0，两数同号，乘积ab＞0，不符合ab＜0的要求，错误；
2. 选项B：a＞0，b＞0，两数同号，乘积ab＞0，不符合ab＜0的要求，错误；
3. 选项C：若a=0或b=0，乘积ab=0，不满足ab＜0，该选项包含a、b取0的情况，错误；
4. 选项D：a＜0，b＞0或a＞0，b＜0，两数异号，乘积ab＜0，符合要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法符号法则，不等式的概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题关键是牢记有理数乘法“同号得正、异号得负”的符号规律，同时注意乘积小于0时两个因数都不能为0，避免错选包含0的选项。
【难度系数】
0.9
本题核心是利用有理数乘法的符号规律判断a、b的符号关系。首先回忆乘法符号法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且乘积为0时至少有一个因数为0。已知ab＜0，说明乘积为负，首先排除乘积为正或为0的情况，即可得出a、b异号的结论，再逐一比对选项选出正确答案。
【解析】
根据有理数乘法的符号法则分析各选项：
1. 选项A：a＜0，b＜0，两数同号，乘积ab＞0，不符合ab＜0的要求，错误；
2. 选项B：a＞0，b＞0，两数同号，乘积ab＞0，不符合ab＜0的要求，错误；
3. 选项C：若a=0或b=0，乘积ab=0，不满足ab＜0，该选项包含a、b取0的情况，错误；
4. 选项D：a＜0，b＞0或a＞0，b＜0，两数异号，乘积ab＜0，符合要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法符号法则，不等式的概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题关键是牢记有理数乘法“同号得正、异号得负”的符号规律，同时注意乘积小于0时两个因数都不能为0，避免错选包含0的选项。
【难度系数】
0.9
