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1. 某商品每件的进价为 30 元，每件以 $ x $ 元出售，可卖出 $ (100 - x) $ 件，应如何定价才能使利润最大？
答案
1. 设最大利润为 w 元.
由题意,得 $w=(x-30)(100-x)=-(x-65)^2+1\ 225$.
$\because -1＜0,0＜x＜100$,
$\therefore$ 当 $x=65$ 时,$w$ 有最大值 1 225,
$\therefore$ 每件商品的定价是 65 元时,利润最大.
由题意,得 $w=(x-30)(100-x)=-(x-65)^2+1\ 225$.
$\because -1＜0,0＜x＜100$,
$\therefore$ 当 $x=65$ 时,$w$ 有最大值 1 225,
$\therefore$ 每件商品的定价是 65 元时,利润最大.
解析
【分析】
要解决定价使利润最大的问题，首先回忆销售利润的基本等量关系：总利润=单件商品的利润×销售数量。首先表示出单件利润为售价x减去进价30元，销售数量题目已给出是(100-x)件，由此可列出总利润关于x的函数关系式，观察可知是二次函数，再结合二次函数的最值性质，因为二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处函数值最大，通过配方求出顶点坐标即可得到对应定价和最大利润。
【解析】
设最大利润为w元。
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$w=(x-30)(100-x)$
展开并配方：
$w=-x^2+130x-3000=-(x^2-130x+4225)+4225-3000=-(x-65)^2+1225$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，且售价需满足$0＜x＜100$（售价为正且销售量为正），
$\therefore$ 抛物线开口向下，当$x=65$时，w取得最大值，最大值为1225元。
【答案】
当每件商品定价为65元时，利润最大。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类最值问题的典型题型，解题关键是先根据利润的等量关系列出正确的函数表达式，再利用二次函数的图象与性质求解最值，解题时要注意结合实际情况确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
要解决定价使利润最大的问题，首先回忆销售利润的基本等量关系：总利润=单件商品的利润×销售数量。首先表示出单件利润为售价x减去进价30元，销售数量题目已给出是(100-x)件，由此可列出总利润关于x的函数关系式，观察可知是二次函数，再结合二次函数的最值性质，因为二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处函数值最大，通过配方求出顶点坐标即可得到对应定价和最大利润。
【解析】
设最大利润为w元。
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$w=(x-30)(100-x)$
展开并配方：
$w=-x^2+130x-3000=-(x^2-130x+4225)+4225-3000=-(x-65)^2+1225$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，且售价需满足$0＜x＜100$（售价为正且销售量为正），
$\therefore$ 抛物线开口向下，当$x=65$时，w取得最大值，最大值为1225元。
【答案】
当每件商品定价为65元时，利润最大。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类最值问题的典型题型，解题关键是先根据利润的等量关系列出正确的函数表达式，再利用二次函数的图象与性质求解最值，解题时要注意结合实际情况确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
2. 已知抛物线 $y=x^2 - 2(m+1)x + m$ 的顶点在直线 $y=-4x -1$ 上，求抛物线的顶点坐标。
答案
2. $x=-\frac{-2(m+1)}{2}=m+1$,
$y=\frac{4m-4(m+1)^2}{4×1}=-m^2-m-1$,
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(m+1,-m^2-m-1)$.
$\because$ 抛物线的顶点在直线 $y=-4x-1$ 上,
$\therefore -4(m+1)-1=-m^2-m-1$.
整理,得 $m^2-3m-4=0$,
解得 $m_1=-1,m_2=4$.
当 $m=-1$ 时,顶点坐标为 $(0,-1)$;当 $m=4$ 时,顶点坐标为 $(5,-21)$.
$y=\frac{4m-4(m+1)^2}{4×1}=-m^2-m-1$,
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(m+1,-m^2-m-1)$.
$\because$ 抛物线的顶点在直线 $y=-4x-1$ 上,
$\therefore -4(m+1)-1=-m^2-m-1$.
整理,得 $m^2-3m-4=0$,
解得 $m_1=-1,m_2=4$.
当 $m=-1$ 时,顶点坐标为 $(0,-1)$;当 $m=4$ 时,顶点坐标为 $(5,-21)$.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先利用二次函数顶点坐标公式，用含参数m的代数式表示出抛物线顶点的横、纵坐标；第二步，根据“顶点在直线上，则顶点坐标满足直线解析式”的性质，将含m的顶点坐标代入直线方程，得到关于m的一元二次方程；第三步，求解方程得到m的取值，再将m代回顶点坐标表达式，即可求出最终的顶点坐标。
【解析】
对于抛物线$y=x^2 - 2(m+1)x + m$，其中$a=1$，$b=-2(m+1)$，$c=m$：
1. 求顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2(m+1)}{2×1}=m+1$
2. 求顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1× m - [-2(m+1)]^2}{4×1}=-m^2-m-1$
因此抛物线顶点坐标为$(m+1,-m^2-m-1)$。
因为顶点在直线$y=-4x -1$上，将顶点坐标代入直线解析式得：
$-m^2-m-1=-4(m+1)-1$
整理方程得：$m^2-3m-4=0$
因式分解求解得：$(m-4)(m+1)=0$，即$m_1=-1$，$m_2=4$。
①当$m=-1$时，顶点横坐标为$-1+1=0$，纵坐标为$-(-1)^2-(-1)-1=-1$，顶点坐标为$(0,-1)$；
②当$m=4$时，顶点横坐标为$4+1=5$，纵坐标为$-4^2-4-1=-21$，顶点坐标为$(5,-21)$。
【答案】
$(0,-1)$和$(5,-21)$
【知识点】
二次函数顶点坐标公式，一次函数点的坐标特征，一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数与一次函数的基础综合题，核心考点是函数图象上的点与函数解析式的对应关系，解题关键是正确用参数表示顶点坐标，再列方程求解参数，注重考查基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先利用二次函数顶点坐标公式，用含参数m的代数式表示出抛物线顶点的横、纵坐标；第二步，根据“顶点在直线上，则顶点坐标满足直线解析式”的性质，将含m的顶点坐标代入直线方程，得到关于m的一元二次方程；第三步，求解方程得到m的取值，再将m代回顶点坐标表达式，即可求出最终的顶点坐标。
【解析】
对于抛物线$y=x^2 - 2(m+1)x + m$，其中$a=1$，$b=-2(m+1)$，$c=m$：
1. 求顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2(m+1)}{2×1}=m+1$
2. 求顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1× m - [-2(m+1)]^2}{4×1}=-m^2-m-1$
因此抛物线顶点坐标为$(m+1,-m^2-m-1)$。
因为顶点在直线$y=-4x -1$上，将顶点坐标代入直线解析式得：
$-m^2-m-1=-4(m+1)-1$
整理方程得：$m^2-3m-4=0$
因式分解求解得：$(m-4)(m+1)=0$，即$m_1=-1$，$m_2=4$。
①当$m=-1$时，顶点横坐标为$-1+1=0$，纵坐标为$-(-1)^2-(-1)-1=-1$，顶点坐标为$(0,-1)$；
②当$m=4$时，顶点横坐标为$4+1=5$，纵坐标为$-4^2-4-1=-21$，顶点坐标为$(5,-21)$。
【答案】
$(0,-1)$和$(5,-21)$
【知识点】
二次函数顶点坐标公式，一次函数点的坐标特征，一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数与一次函数的基础综合题，核心考点是函数图象上的点与函数解析式的对应关系，解题关键是正确用参数表示顶点坐标，再列方程求解参数，注重考查基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的对称轴为直线 $ x = 2 $，最小值为$-2$，求$\dfrac{c + 2}{a}$的值。
答案
3. 抛物线对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=2$,
所以 $b=-4a$. ①
当 $x=2$ 时,最小值为 $4a+2b+c=-2$,②
把①代入②,得 $4a+2×(-4a)+c=-2$,
整理,得 $c+2=4a$,所以 $\frac{c+2}{a}=4$.
所以 $b=-4a$. ①
当 $x=2$ 时,最小值为 $4a+2b+c=-2$,②
把①代入②,得 $4a+2×(-4a)+c=-2$,
整理,得 $c+2=4a$,所以 $\frac{c+2}{a}=4$.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数的相关性质：一是抛物线的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，二是二次函数的最值在对称轴处取得，所以当$x=2$时，函数值等于最小值-2。我们的目标是求$\frac{c+2}{a}$，因此可以先通过对称轴公式得到b与a的关系，再将x=2代入函数解析式，结合最小值的条件，把b用含a的式子替换后整理，就能得到$c+2$与a的关系，进而求出比值。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=2$，
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得：
$-\frac{b}{2a}=2$，整理得$b=-4a$ ①
∵ 抛物线最小值为-2，且最小值在对称轴处取得，
∴ 当$x=2$时，$y=4a+2b+c=-2$ ②
将①代入②得：
$4a+2×(-4a)+c=-2$
$4a-8a+c=-2$
移项整理得$c+2=4a$
∵ 二次函数二次项系数$a≠0$
∴ $\frac{c+2}{a}=\frac{4a}{a}=4$
【答案】
4
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数最值性质；代数式化简求值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是利用对称轴和最值的条件建立参数之间的关系，通过消元得到目标代数式中分子和分母的关系即可求解，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数的相关性质：一是抛物线的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，二是二次函数的最值在对称轴处取得，所以当$x=2$时，函数值等于最小值-2。我们的目标是求$\frac{c+2}{a}$，因此可以先通过对称轴公式得到b与a的关系，再将x=2代入函数解析式，结合最小值的条件，把b用含a的式子替换后整理，就能得到$c+2$与a的关系，进而求出比值。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=2$，
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得：
$-\frac{b}{2a}=2$，整理得$b=-4a$ ①
∵ 抛物线最小值为-2，且最小值在对称轴处取得，
∴ 当$x=2$时，$y=4a+2b+c=-2$ ②
将①代入②得：
$4a+2×(-4a)+c=-2$
$4a-8a+c=-2$
移项整理得$c+2=4a$
∵ 二次函数二次项系数$a≠0$
∴ $\frac{c+2}{a}=\frac{4a}{a}=4$
【答案】
4
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数最值性质；代数式化简求值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是利用对称轴和最值的条件建立参数之间的关系，通过消元得到目标代数式中分子和分母的关系即可求解，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 如图是窗子的形状,它是由矩形上面加一个半圆构成.已知窗框的用料是 6 m,要使窗子能透过最多的光线,它的尺寸应如何设计?
答案
4. $\because$ 窗框的用料是 6 m,
$\therefore$ 可设 $AD=2x$ m,$AB=\frac{6-π x-4x}{2}$ m,
$\therefore$ 窗子的面积为 $S=2x·\frac{6-π x-4x}{2}+\frac{1}{2}π x^2=(-\frac{π}{2}-4)x^2+6x$.
当 $x=-\frac{6}{2×(-\frac{π}{2}-4)}=\frac{6}{8+π}$ 时,此时面积最大,
$\therefore AD=\frac{12}{8+π}$ m,$AB=\frac{12}{8+π}$ m.
故当 $AD=\frac{12}{8+π}$ m,$AB=\frac{12}{8+π}$ m时,窗子能透过最多的光线.
$\therefore$ 可设 $AD=2x$ m,$AB=\frac{6-π x-4x}{2}$ m,
$\therefore$ 窗子的面积为 $S=2x·\frac{6-π x-4x}{2}+\frac{1}{2}π x^2=(-\frac{π}{2}-4)x^2+6x$.
当 $x=-\frac{6}{2×(-\frac{π}{2}-4)}=\frac{6}{8+π}$ 时,此时面积最大,
$\therefore AD=\frac{12}{8+π}$ m,$AB=\frac{12}{8+π}$ m.
故当 $AD=\frac{12}{8+π}$ m,$AB=\frac{12}{8+π}$ m时,窗子能透过最多的光线.
解析
【分析】要使窗子透过最多光线，本质是求窗子的最大面积。我们可以通过设自变量的方式，结合窗框总用料的条件，把窗子面积表示为关于自变量的二次函数，再利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质求解。首先设半圆直径AD=2x m（方便后续半圆的弧长、面积计算，避免出现分数），再根据窗框总长度6m表示出矩形的竖直边AB的长度，再分别计算矩形和半圆的面积相加得到总面积的函数表达式，最后求二次函数取最大值时对应的x，进而求出AD和AB的尺寸即可。
【解析】
设半圆的直径$AD=2x$ m，则半圆的半径为$x$ m，半圆弧的长度为$π x$ m。
已知窗框总用料为6 m，窗框总长为半圆弧长、AB、CD、BC、AD的长度和，其中$BC=AD=2x$，$AB=CD$，因此：
$π x + AB + CD + BC + AD = 6$
代入等量关系得：$π x + 2AB + 2x + 2x = 6$
整理得$AB=\frac{6-π x -4x}{2}$ m。
窗子的总面积$S$为矩形面积与半圆面积之和：
$S = AD× AB + \frac{1}{2}π x^2$
将$AD=2x$、$AB=\frac{6-π x -4x}{2}$代入得：
$\begin{aligned}S&=2x· \frac{6-π x -4x}{2}+\frac{1}{2}π x^2\\&=(-\frac{π}{2}-4)x^2 +6x\end{aligned}$
该二次函数的二次项系数$-\frac{π}{2}-4＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$（其中$a=-\frac{π}{2}-4$，$b=6$），当面积最大时：
$x=-\frac{6}{2×(-\frac{π}{2}-4)}=\frac{6}{8+π}$
此时$AD=2x=\frac{12}{8+π}$ m，
$AB=\frac{6-π × \frac{6}{8+π} -4× \frac{6}{8+π}}{2}=\frac{12}{8+π}$ m。
【答案】当$AD=\frac{12}{8+π}\ \mathrm{m}$，$AB=\frac{12}{8+π}\ \mathrm{m}$时，窗子能透过最多的光线。
【知识点】二次函数最值应用；图形面积计算；列函数解析式
【点评】本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题的核心是将实际问题转化为二次函数求最值的数学问题，设自变量时可结合图形特点选择合适的量简化计算，求解时注意结合几何图形的周长、面积公式准确列式。
【难度系数】0.6
【解析】
设半圆的直径$AD=2x$ m，则半圆的半径为$x$ m，半圆弧的长度为$π x$ m。
已知窗框总用料为6 m，窗框总长为半圆弧长、AB、CD、BC、AD的长度和，其中$BC=AD=2x$，$AB=CD$，因此：
$π x + AB + CD + BC + AD = 6$
代入等量关系得：$π x + 2AB + 2x + 2x = 6$
整理得$AB=\frac{6-π x -4x}{2}$ m。
窗子的总面积$S$为矩形面积与半圆面积之和：
$S = AD× AB + \frac{1}{2}π x^2$
将$AD=2x$、$AB=\frac{6-π x -4x}{2}$代入得：
$\begin{aligned}S&=2x· \frac{6-π x -4x}{2}+\frac{1}{2}π x^2\\&=(-\frac{π}{2}-4)x^2 +6x\end{aligned}$
该二次函数的二次项系数$-\frac{π}{2}-4＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$（其中$a=-\frac{π}{2}-4$，$b=6$），当面积最大时：
$x=-\frac{6}{2×(-\frac{π}{2}-4)}=\frac{6}{8+π}$
此时$AD=2x=\frac{12}{8+π}$ m，
$AB=\frac{6-π × \frac{6}{8+π} -4× \frac{6}{8+π}}{2}=\frac{12}{8+π}$ m。
【答案】当$AD=\frac{12}{8+π}\ \mathrm{m}$，$AB=\frac{12}{8+π}\ \mathrm{m}$时，窗子能透过最多的光线。
【知识点】二次函数最值应用；图形面积计算；列函数解析式
【点评】本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题的核心是将实际问题转化为二次函数求最值的数学问题，设自变量时可结合图形特点选择合适的量简化计算，求解时注意结合几何图形的周长、面积公式准确列式。
【难度系数】0.6
