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1. 计算:
(1)$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{98}}$；
(2)$\frac{\sqrt{20}-1}{\sqrt{5}}$；
(3)$\frac{\sqrt{5} × \sqrt{15}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{32} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$；
(4)$2\sqrt{12} ÷ \frac{1}{2}\sqrt{50} × \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{4}} - \frac{3}{5}\sqrt{2}$；
(5)$(3\sqrt{12} - 2\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{48}) ÷ 2\sqrt{3}$；
(6)$(1+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{6}) - (2\sqrt{2}-1)^2$。
(1)$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{98}}$；
(2)$\frac{\sqrt{20}-1}{\sqrt{5}}$；
(3)$\frac{\sqrt{5} × \sqrt{15}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{32} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$；
(4)$2\sqrt{12} ÷ \frac{1}{2}\sqrt{50} × \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{4}} - \frac{3}{5}\sqrt{2}$；
(5)$(3\sqrt{12} - 2\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{48}) ÷ 2\sqrt{3}$；
(6)$(1+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{6}) - (2\sqrt{2}-1)^2$。
答案
(1)原式=$\frac{2\sqrt{5}}{7}$；(2)原式=$\frac{10-\sqrt{5}}{5}$；
(3)原式=3；(4)原式=0；
(5)原式=$\frac{14}{3}$；(6)原式=$2\sqrt{2}-9$。
(3)原式=3；(4)原式=0；
(5)原式=$\frac{14}{3}$；(6)原式=$2\sqrt{2}-9$。
解析
【分析】
这是一组二次根式的四则运算题，解题通用思路为：①先将所有非最简二次根式化简为最简二次根式；②按照运算顺序计算：先算乘除、后算加减，有括号先计算括号内的部分；③乘除运算可灵活运用二次根式的乘除法则（$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$，$a≥0,b＞0$）简化计算，涉及分母带根号的可通过分母有理化处理，多项式的运算可类比整式运算法则（乘法分配律、完全平方公式、平方差公式等）计算；④最后合并同类二次根式，确保结果为最简形式。
【解析】
(1) 利用二次根式商的性质计算：
原式 = $\sqrt{\frac{40}{98}}$ = $\sqrt{\frac{20}{49}}$ = $\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{49}}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{7}$
(2) 分母有理化计算：
原式 = $\frac{(\sqrt{20}-1)×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$ = $\frac{\sqrt{20}×\sqrt{5} - \sqrt{5}}{5}$ = $\frac{\sqrt{100} - \sqrt{5}}{5}$ = $\frac{10-\sqrt{5}}{5}$
(3) 分开计算两部分再作差：
第一部分：$\frac{\sqrt{5}×\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$ = $\sqrt{\frac{75}{3}}$ = $\sqrt{25}$ = 5
第二部分：$\frac{\sqrt{32}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}$ - $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{16}$ - $\sqrt{4}$ = 4 - 2 = 2
原式 = 5 - 2 = 3
(4) 先算乘除部分，再算减法：
系数部分：$2 ÷ \frac{1}{2} × \frac{1}{2}$ = $2×2×\frac{1}{2}$ = 2
根式部分：$\sqrt{12} ÷ \sqrt{50} × \sqrt{\frac{3}{4}}$ = $\sqrt{12 ÷ 50 × \frac{3}{4}}$ = $\sqrt{\frac{9}{50}}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{10}$
乘除结果：$2 × \frac{3\sqrt{2}}{10}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{5}$
原式 = $\frac{3\sqrt{2}}{5}$ - $\frac{3\sqrt{2}}{5}$ = 0
(5) 先化简括号内的二次根式，再做除法：
括号内化简：$3\sqrt{12}=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，$2\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
括号内合并：$6\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} + 4\sqrt{3}$ = $\frac{18\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 12\sqrt{3}}{3}$ = $\frac{28\sqrt{3}}{3}$
除法计算：$\frac{28\sqrt{3}}{3} ÷ 2\sqrt{3}$ = $\frac{28\sqrt{3}}{3} × \frac{1}{2\sqrt{3}}$ = $\frac{14}{3}$
(6) 利用运算律展开计算，注意符号：
第一部分：$(1+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{6})$ = $(1+\sqrt{3})×\sqrt{2}×(1-\sqrt{3})$ = $\sqrt{2}×(1 - (\sqrt{3})^2)$ = $\sqrt{2}×(1-3)$ = $-2\sqrt{2}$
第二部分：$(2\sqrt{2}-1)^2$ = $(2\sqrt{2})^2 - 2×2\sqrt{2}×1 + 1^2$ = $8 - 4\sqrt{2} + 1$ = $9 - 4\sqrt{2}$
原式 = $-2\sqrt{2} - (9 - 4\sqrt{2})$ = $-2\sqrt{2} -9 +4\sqrt{2}$ = $2\sqrt{2} -9$
【答案】
(1)$\frac{2\sqrt{5}}{7}$；(2)$\frac{10-\sqrt{5}}{5}$；(3)$3$；(4)$0$；(5)$\frac{14}{3}$；(6)$2\sqrt{2}-9$
【知识点】
二次根式化简，二次根式混合运算，分母有理化
【点评】
本组题目重点考查二次根式的运算能力，解题时要注意先化简再计算，灵活运用乘法公式、运算律可以大幅简化计算过程，运算时要注意运算顺序和符号处理，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.6
这是一组二次根式的四则运算题，解题通用思路为：①先将所有非最简二次根式化简为最简二次根式；②按照运算顺序计算：先算乘除、后算加减，有括号先计算括号内的部分；③乘除运算可灵活运用二次根式的乘除法则（$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$，$a≥0,b＞0$）简化计算，涉及分母带根号的可通过分母有理化处理，多项式的运算可类比整式运算法则（乘法分配律、完全平方公式、平方差公式等）计算；④最后合并同类二次根式，确保结果为最简形式。
【解析】
(1) 利用二次根式商的性质计算：
原式 = $\sqrt{\frac{40}{98}}$ = $\sqrt{\frac{20}{49}}$ = $\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{49}}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{7}$
(2) 分母有理化计算：
原式 = $\frac{(\sqrt{20}-1)×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$ = $\frac{\sqrt{20}×\sqrt{5} - \sqrt{5}}{5}$ = $\frac{\sqrt{100} - \sqrt{5}}{5}$ = $\frac{10-\sqrt{5}}{5}$
(3) 分开计算两部分再作差：
第一部分：$\frac{\sqrt{5}×\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$ = $\sqrt{\frac{75}{3}}$ = $\sqrt{25}$ = 5
第二部分：$\frac{\sqrt{32}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}$ - $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{16}$ - $\sqrt{4}$ = 4 - 2 = 2
原式 = 5 - 2 = 3
(4) 先算乘除部分，再算减法：
系数部分：$2 ÷ \frac{1}{2} × \frac{1}{2}$ = $2×2×\frac{1}{2}$ = 2
根式部分：$\sqrt{12} ÷ \sqrt{50} × \sqrt{\frac{3}{4}}$ = $\sqrt{12 ÷ 50 × \frac{3}{4}}$ = $\sqrt{\frac{9}{50}}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{10}$
乘除结果：$2 × \frac{3\sqrt{2}}{10}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{5}$
原式 = $\frac{3\sqrt{2}}{5}$ - $\frac{3\sqrt{2}}{5}$ = 0
(5) 先化简括号内的二次根式，再做除法：
括号内化简：$3\sqrt{12}=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，$2\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
括号内合并：$6\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} + 4\sqrt{3}$ = $\frac{18\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 12\sqrt{3}}{3}$ = $\frac{28\sqrt{3}}{3}$
除法计算：$\frac{28\sqrt{3}}{3} ÷ 2\sqrt{3}$ = $\frac{28\sqrt{3}}{3} × \frac{1}{2\sqrt{3}}$ = $\frac{14}{3}$
(6) 利用运算律展开计算，注意符号：
第一部分：$(1+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{6})$ = $(1+\sqrt{3})×\sqrt{2}×(1-\sqrt{3})$ = $\sqrt{2}×(1 - (\sqrt{3})^2)$ = $\sqrt{2}×(1-3)$ = $-2\sqrt{2}$
第二部分：$(2\sqrt{2}-1)^2$ = $(2\sqrt{2})^2 - 2×2\sqrt{2}×1 + 1^2$ = $8 - 4\sqrt{2} + 1$ = $9 - 4\sqrt{2}$
原式 = $-2\sqrt{2} - (9 - 4\sqrt{2})$ = $-2\sqrt{2} -9 +4\sqrt{2}$ = $2\sqrt{2} -9$
【答案】
(1)$\frac{2\sqrt{5}}{7}$；(2)$\frac{10-\sqrt{5}}{5}$；(3)$3$；(4)$0$；(5)$\frac{14}{3}$；(6)$2\sqrt{2}-9$
【知识点】
二次根式化简，二次根式混合运算，分母有理化
【点评】
本组题目重点考查二次根式的运算能力，解题时要注意先化简再计算，灵活运用乘法公式、运算律可以大幅简化计算过程，运算时要注意运算顺序和符号处理，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.6
2. 已知 $x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}, y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$, 求 $x^2+6xy+y^2$ 的值.
答案
$\because x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2},y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2},$
$\therefore x+y=\sqrt{5},xy=\frac{1}{2},$
$\therefore x^2+6xy+y^2=x^2+2xy+y^2+4xy=(x+y)^2+4xy=(\sqrt{5})^2+4×\frac{1}{2}=7.$
$\therefore x+y=\sqrt{5},xy=\frac{1}{2},$
$\therefore x^2+6xy+y^2=x^2+2xy+y^2+4xy=(x+y)^2+4xy=(\sqrt{5})^2+4×\frac{1}{2}=7.$
解析
【分析】
如果直接将x、y的取值代入原式计算，涉及大量根式运算，过程繁琐且容易出错。观察所求代数式$x^2+6xy+y^2$的结构，可拆项变形为$(x+y)^2+4xy$，因此只需先计算出$x+y$和$xy$的值，再整体代入变形后的式子即可快速求解，大幅简化计算过程。
【解析】
$\because x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2},y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2},$
$\therefore x+y=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}=\sqrt{5}$，
$xy=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2×2}=\frac{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}{4}=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$，
$\therefore x^2+6xy+y^2=x^2+2xy+y^2+4xy=(x+y)^2+4xy=(\sqrt{5})^2+4×\frac{1}{2}=5+2=7.$
【答案】
$7$
【知识点】
完全平方公式；二次根式运算；整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题关键是灵活运用完全平方公式对所求式子进行合理变形，通过整体代入的方法简化运算，避免直接代入产生的复杂计算，平时要注意积累乘法公式的常见变形应用。
【难度系数】
0.7
如果直接将x、y的取值代入原式计算，涉及大量根式运算，过程繁琐且容易出错。观察所求代数式$x^2+6xy+y^2$的结构，可拆项变形为$(x+y)^2+4xy$，因此只需先计算出$x+y$和$xy$的值，再整体代入变形后的式子即可快速求解，大幅简化计算过程。
【解析】
$\because x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2},y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2},$
$\therefore x+y=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}=\sqrt{5}$，
$xy=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2×2}=\frac{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}{4}=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$，
$\therefore x^2+6xy+y^2=x^2+2xy+y^2+4xy=(x+y)^2+4xy=(\sqrt{5})^2+4×\frac{1}{2}=5+2=7.$
【答案】
$7$
【知识点】
完全平方公式；二次根式运算；整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题关键是灵活运用完全平方公式对所求式子进行合理变形，通过整体代入的方法简化运算，避免直接代入产生的复杂计算，平时要注意积累乘法公式的常见变形应用。
【难度系数】
0.7
3. 已知 $ x = 5 - \sqrt{5} $，求 $ x^3 - 80x + 201 $ 的值.
答案
由$x-5=-\sqrt{5}$两边平方，
得$x^2-10x+25=5$,即$x^2-10x+20=0$,
$\therefore x^3-80x+201=x(x^2-10x+20)+10(x^2-10x+20)+1=1.$
一题多解 $\because x=5-\sqrt{5},$
$\therefore x^2=25-10\sqrt{5}+5=30-10\sqrt{5},$
$\therefore x^3-80x+201=x·(30-10\sqrt{5})-80x+201$
$=(-10\sqrt{5}-50)x+201$
$=-10(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})+201$
$=-10×20+201=1.$
得$x^2-10x+25=5$,即$x^2-10x+20=0$,
$\therefore x^3-80x+201=x(x^2-10x+20)+10(x^2-10x+20)+1=1.$
一题多解 $\because x=5-\sqrt{5},$
$\therefore x^2=25-10\sqrt{5}+5=30-10\sqrt{5},$
$\therefore x^3-80x+201=x·(30-10\sqrt{5})-80x+201$
$=(-10\sqrt{5}-50)x+201$
$=-10(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})+201$
$=-10×20+201=1.$
解析
【分析】
如果直接将$x=5-\sqrt{5}$代入三次多项式计算，运算量较大容易出错。我们可以先对已知条件变形，通过移项平方得到关于$x$的二次整式等于0的形式，再将所求的三次多项式拆分成含有这个二次整式的形式，利用整体代入0的方法降次计算，就能快速得出结果；也可以先计算$x^2$的值，再逐步代入$x^3$化简，同样能简化运算。
【解析】
方法一：
已知$x=5-\sqrt{5}$，移项得$x-5=-\sqrt{5}$，
将等式两边平方，得：
$(x-5)^2=(-\sqrt{5})^2$
展开左边：$x^2-10x+25=5$
整理得：$x^2-10x+20=0$
将所求代数式$x^3-80x+201$变形拆分：
$x^3-80x+201=x(x^2-10x+20)+10(x^2-10x+20)+1$
把$x^2-10x+20=0$代入上式，得：
原式$=x×0 +10×0 +1=1$
方法二：
$\because x=5-\sqrt{5}$
$\therefore x^2=(5-\sqrt{5})^2=25-10\sqrt{5}+5=30-10\sqrt{5}$
$\therefore x^3-80x+201=x·(30-10\sqrt{5})-80x+201$
$=(-10\sqrt{5}-50)x+201$
$=-10(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})+201$
$=-10×20+201=1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式运算、整式降次、整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是避免直接代入高次运算，通过对已知条件变形，运用降次思想或整体代入思想简化计算，能有效提升运算准确率和速度。
【难度系数】
0.6
如果直接将$x=5-\sqrt{5}$代入三次多项式计算，运算量较大容易出错。我们可以先对已知条件变形，通过移项平方得到关于$x$的二次整式等于0的形式，再将所求的三次多项式拆分成含有这个二次整式的形式，利用整体代入0的方法降次计算，就能快速得出结果；也可以先计算$x^2$的值，再逐步代入$x^3$化简，同样能简化运算。
【解析】
方法一：
已知$x=5-\sqrt{5}$，移项得$x-5=-\sqrt{5}$，
将等式两边平方，得：
$(x-5)^2=(-\sqrt{5})^2$
展开左边：$x^2-10x+25=5$
整理得：$x^2-10x+20=0$
将所求代数式$x^3-80x+201$变形拆分：
$x^3-80x+201=x(x^2-10x+20)+10(x^2-10x+20)+1$
把$x^2-10x+20=0$代入上式，得：
原式$=x×0 +10×0 +1=1$
方法二：
$\because x=5-\sqrt{5}$
$\therefore x^2=(5-\sqrt{5})^2=25-10\sqrt{5}+5=30-10\sqrt{5}$
$\therefore x^3-80x+201=x·(30-10\sqrt{5})-80x+201$
$=(-10\sqrt{5}-50)x+201$
$=-10(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})+201$
$=-10×20+201=1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式运算、整式降次、整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是避免直接代入高次运算，通过对已知条件变形，运用降次思想或整体代入思想简化计算，能有效提升运算准确率和速度。
【难度系数】
0.6
