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1. 定义运算“$*$”如下:对任意有理数$x,y$和$z$都有$x * x=0,x *(y * z)=(x * y)+z$,这里“$+$”号表示数的加法,则$1\ 000 * 999$的值是（
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
A
）A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案
A 【解析】因为 $x * x=0,x * (y * z)=(x * y)+z$,所以$1\ 000 * 999=1\ 000 * 999+999-999=1\ 000 * (999 * 999)-999=1\ 000 * 0-999=1\ 000 * (1\ 000 * 1\ 000)-999=(1\ 000 * 1\ 000)+1\ 000-999=0+1\ 000-999=1$,故选 A.
2. (2025·南通校级月考)将1,2,3,4,5,…,61这61个连续整数不重不漏地填入61个空格中.要求:从左至右,第1个数是第2个数的倍数,第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数,第1,2,3个数之和是第4个数的倍数,…,前60个数的和是第61个数的倍数.若第1个空格填入61,则第2个空格所填入的数为
1
,第61个空格所填入的数为31
.答案
1 31 【解析】因为从左至右第1个空格填入61,第1个数是第2个数的倍数,所以第2个空格所填入的数为1.因为前60个数的和是第61个数的倍数,所以这61个数的和也是第61个数的倍数.又因为$1+2+3+\dots+61=(1+61)+(2+60)+\dots+(30+32)+31=30×62+31=1\ 891=31×61$,所以第61个空格所填入的数为31.
3. 【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后.小芳对类似于$(-5)÷(-5)÷(-5)÷(-5)$这样几个相同有理数(均不等于0)的除法运算产生了兴趣,决定探究学习.经过查阅资料,类比有理数的乘方运算,小芳知道这种除法运算叫作除方,并把$(-5)÷(-5)÷(-5)÷(-5)$记作$(-5)_{4}$,读作“-5的4次商”.
【概念归纳】一般地,我们把$n$个$a(a≠0)$相除记作$a_{n}$,读作“$a$的$n$次商”.
(1)【概念理解】直接写出结果:$(-1)_{3}=$
(2)关于除方,下列说法正确的
①任何非零数的2次商都等于1;②对于任何正整数$n,(-1)_{n}=-1$;③$3_{4}=4_{3}$;④负数的奇数次商结果是负数,负数的偶数次商结果是正数.
(3)【概念运用】经过探究,小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算,例:$3_{4}=3÷3÷3÷3=3×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=(\frac{1}{3})^{2}$.仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成乘方(幂)的形式:
$(-5)_{4}=$
(4)计算:$5_{2}÷(-\frac{1}{3})_{5}×(-\frac{1}{2})_{3}+(-\frac{1}{7})_{3}×\frac{1}{7}$.
＞＞ 对点专练 P55
【概念归纳】一般地,我们把$n$个$a(a≠0)$相除记作$a_{n}$,读作“$a$的$n$次商”.
(1)【概念理解】直接写出结果:$(-1)_{3}=$
-1
.(2)关于除方,下列说法正确的
①④
. (填序号)①任何非零数的2次商都等于1;②对于任何正整数$n,(-1)_{n}=-1$;③$3_{4}=4_{3}$;④负数的奇数次商结果是负数,负数的偶数次商结果是正数.
(3)【概念运用】经过探究,小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算,例:$3_{4}=3÷3÷3÷3=3×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=(\frac{1}{3})^{2}$.仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成乘方(幂)的形式:
$(-5)_{4}=$
$(-\dfrac{1}{5})^{2}$
;$(\frac{1}{3})_{n}=$$3^{n-2}$
.(4)计算:$5_{2}÷(-\frac{1}{3})_{5}×(-\frac{1}{2})_{3}+(-\frac{1}{7})_{3}×\frac{1}{7}$.
＞＞ 对点专练 P55
答案
(1) $-1$ 【解析】由题意得 $(-1)_{3}=(-1)÷(-1)÷(-1)=-1$.
(2) ①④ 【解析】①任何非零数的2次商都等于这两个数相除,所以结果为1,原说法正确;②对于任何正整数$n$,当$n$为奇数时,$(-1)_{n}=-1$,当$n$为偶数时,$(-1)_{n}=1$,原说法错误;③$3_{4}=3÷3÷3÷3=\frac{1}{9}$,$4_{3}=4÷4÷4=\frac{1}{4}$,则$3_{4}≠4_{3}$,原说法错误;④负数的奇数次商结果是负数,负数的偶数次商结果是正数,原说法正确.故答案为①④.
(3) $(-\dfrac{1}{5})^{2}$ $3^{n-2}$ 【解析】由题意可得$(-5)_{4}=(-5)÷(-5)÷(-5)÷(-5)=(-5)×(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})=(-\dfrac{1}{5})^{2}$,$(\dfrac{1}{3})_{n}=\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dots÷\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}×3×3×\dots×3=3^{n-2}$.
(4) $5_{2} ÷ (-\dfrac{1}{3})_{5} × (-\dfrac{1}{2})_{3} + (-\dfrac{1}{7})_{3} × \dfrac{1}{7} = 5 ÷ 5 ÷ (-3)^{5-2} × (-2)^{3-2} + (-7)^{3-2} × \dfrac{1}{7} = 1 ÷ (-3)^{3} × (-2)^{1} + (-7)^{1} × \dfrac{1}{7} = 1 ÷ (-27) × (-2) + (-1) = 1 × (-\dfrac{1}{27}) × (-2) - 1 = \dfrac{2}{27} - 1 = -\dfrac{25}{27}$.
(2) ①④ 【解析】①任何非零数的2次商都等于这两个数相除,所以结果为1,原说法正确;②对于任何正整数$n$,当$n$为奇数时,$(-1)_{n}=-1$,当$n$为偶数时,$(-1)_{n}=1$,原说法错误;③$3_{4}=3÷3÷3÷3=\frac{1}{9}$,$4_{3}=4÷4÷4=\frac{1}{4}$,则$3_{4}≠4_{3}$,原说法错误;④负数的奇数次商结果是负数,负数的偶数次商结果是正数,原说法正确.故答案为①④.
(3) $(-\dfrac{1}{5})^{2}$ $3^{n-2}$ 【解析】由题意可得$(-5)_{4}=(-5)÷(-5)÷(-5)÷(-5)=(-5)×(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})=(-\dfrac{1}{5})^{2}$,$(\dfrac{1}{3})_{n}=\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dots÷\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}×3×3×\dots×3=3^{n-2}$.
(4) $5_{2} ÷ (-\dfrac{1}{3})_{5} × (-\dfrac{1}{2})_{3} + (-\dfrac{1}{7})_{3} × \dfrac{1}{7} = 5 ÷ 5 ÷ (-3)^{5-2} × (-2)^{3-2} + (-7)^{3-2} × \dfrac{1}{7} = 1 ÷ (-3)^{3} × (-2)^{1} + (-7)^{1} × \dfrac{1}{7} = 1 ÷ (-27) × (-2) + (-1) = 1 × (-\dfrac{1}{27}) × (-2) - 1 = \dfrac{2}{27} - 1 = -\dfrac{25}{27}$.
