4. (1)求$|x+7|+|x+2|+2|x-3|$的最小值.
(2)求$|x-1|+|2x-4|+|3x-9|+\dots+|10x-100|$的最小值.

(1)|x+7|+|x+2|+2|x-3|可以理解为在数轴上表示x的点到表示-7,-2,3,3的点的距离之和，根据奇点偶段法，当x在-2与3之间的线段上(即-2≤x≤3)时，|x+7|+|x+2|+2|x-3|=x+7+x+2+2(3-x)=15，所以|x+7|+|x+2|+2|x-3|的最小值为15.
(2)原式=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+…+10|x-10|=|x-1|+|x-2|+|x-2|+|x-3|+|x-3|+|x-3|+…+|x-10|+|x-10|+|x-10|+|x-10|+|x-10|+|x-10|+|x-10|+|x-10|+|x-10|，一共有1+2+3+…+10=55(个)点，根据奇点偶段法可知，在中间点处取最小值，中间点是第(55+1)÷2=28(个).因为(1+7)×7÷2=28，所以中间点表示的数是7，把x=7代入|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+…+10|x-10|，得6+2×5+3×4+4×3+5×2+6×1+0+8×1+9×2+10×3=112.

两个绝对值之差$|x-a|-|x-b|$，若$a＜b$，则$x≥ b$时有最大值$b-a$；若$a＞b$，则$x≤ b$时有最大值$a-b$。绝对值和差混合求最大值，先分组，求出每组绝对值之差的最大值，再相加。

解：
① 证明a ＜ b时的结论：
分三类讨论去绝对值：
当x ≥ b时，x-a＞0，x-b≥0，
原式 = (x - a) - (x - b) = b - a；
当a ≤ x ＜ b时，x-a≥0，x-b＜0，
原式 = (x - a) - (b - x) = 2x - a - b，
由a ≤ x ＜ b可得a - b ≤ 2x - a - b ＜ b - a；
当x ＜ a时，x-a＜0，x-b＜0，
原式 = (a - x) - (b - x) = a - b。
对比三类结果，可得a ＜ b时，x ≥ b时|x-a|-|x-b|有最大值b-a。
② 证明a ＞ b时的结论：
分三类讨论去绝对值：
当x ≤ b时，x-a＜0，x-b≤0，
原式 = (a - x) - (b - x) = a - b；
当b ＜ x ≤ a时，x-a≤0，x-b＞0，
原式 = (a - x) - (x - b) = a + b - 2x，
由b ＜ x ≤ a可得b - a ≤ a + b - 2x ＜ a - b；
当x ＞ a时，x-a＞0，x-b＞0，
原式 = (x - a) - (x - b) = b - a。
对比三类结果，可得a ＞ b时，x ≤ b时|x-a|-|x-b|有最大值a-b。
③ 绝对值和差混合求最大值规则：
将待求式拆分为若干组两个绝对值相减的形式，分别求出每组绝对值之差的最大值，再将各组最大值相加，即可得到原式的最大值。

5. (1)求$|x+1|-|x-2|$的最大值,并求出此时$x$的取值范围.
(2)求$|x-1|-|x-2|+|x-3|-|x-4|$的最大值.

(1)根据绝对值的几何意义，|x+1|-|x-2|是表示x的点到表示-1的点的距离与表示x的点到表示2的点的距离的差，由数轴可得当表示x的点在表示2的点的右侧，即x≥2时，|x+1|-|x-2|有最大值3.
(2)根据绝对值的几何意义，|x-1|-|x-2|+|x-3|-|x-4|是表示x的点到表示1的点的距离与表示x的点到表示2的点的距离的差与表示x的点到表示3的点的距离与表示x的点到表示4的点的距离的差的和，当x≥4时，有最大值为1+1=2.

6. (1)已知$|x-3|+|x+4|+|y-2|+|y+1|=10$，求$x+y$的最小值.
(2)$(|x+1|+|x-2|)(|y+2|+|y-3|)=15$，求$xy$的最大值和最小值.

(1)因为|x-3|+|x+4|的最小值为7，此时-4≤x≤3，|y-2|+|y+1|的最小值为3，此时-1≤y≤2，所以当|x-3|+|x+4|+|y-2|+|y+1|=10时，-4≤x≤3，-1≤y≤2，此时x+y的最小值为-4+(-1)=-5.
(2)(|x+1|+|x-2|)(|y+2|+|y-3|)=15，根据绝对值的几何意义可得|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时-1≤x≤2，|y+2|+|y-3|的最小值是5，此时-2≤y≤3，而3×5=15，因此-1≤x≤2，-2≤y≤3，所以xy的最大值为2×3=6，最小值为-2×2=-4.故xy的最大值是6，最小值是-4.