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1. (2026·江苏扬州月考)某校八年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.
（1）如图①，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，直线$l$经过点$A$，$BD ⊥$直线$l$，$CE ⊥$直线$l$，垂足分别为$D,E$，则$DE$、$BD$和$CE$之间的数量关系为
（2）组员小丽想，如果将图①中的直角变为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将(1)中的条件更改如下：在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D,A,E$三点都在直线$l$上，并且$∠ BDA=∠ AEC=∠ BAC=α$，其中$α$为任意钝角.请问(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
（1）如图①，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，直线$l$经过点$A$，$BD ⊥$直线$l$，$CE ⊥$直线$l$，垂足分别为$D,E$，则$DE$、$BD$和$CE$之间的数量关系为
$DE=BD+CE$
;（2）组员小丽想，如果将图①中的直角变为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将(1)中的条件更改如下：在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D,A,E$三点都在直线$l$上，并且$∠ BDA=∠ AEC=∠ BAC=α$，其中$α$为任意钝角.请问(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
答案
1.（1）$DE=BD+CE$ 解析：因为 $BD ⊥ l,CE ⊥ l$，所以$∠BDA=∠AEC=90°$,即$∠BAD+∠DBA=90°$.又$∠BAC=90°$,所以$∠BAD+∠EAC=180°-∠BAC=90°$,即$∠DBA=∠EAC$. 因为 $AB=CA$,所以$△ABD≌△CAE$(AAS). 所以 $BD=AE,AD=CE$. 所以 $DE=AE+AD=BD+CE$.
（2）（1）中的结论成立. 证明如下:因为$∠BDA=∠AEC=∠BAC=α$,所以$∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC=180°-α$,$∠BAD+∠ABD=180°-∠BDA=180°-α$,即$∠ABD=∠CAE$. 因为 $AB=CA$,所以$△ABD≌△CAE$(AAS). 所以 $BD=AE$,$AD=CE$. 所以 $DE=AE+AD=BD+CE$.
（2）（1）中的结论成立. 证明如下:因为$∠BDA=∠AEC=∠BAC=α$,所以$∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC=180°-α$,$∠BAD+∠ABD=180°-∠BDA=180°-α$,即$∠ABD=∠CAE$. 因为 $AB=CA$,所以$△ABD≌△CAE$(AAS). 所以 $BD=AE$,$AD=CE$. 所以 $DE=AE+AD=BD+CE$.
2.【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上两点，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE，EF，DF之间的数量关系。
(1)小王同学探究此问题的方法如下:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是
【探索延伸】
(2)如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上两点,且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;
【学以致用】
(3)如图③,四边形ABCD是边长为5的正方形,∠EBF=45°,则△DEF的周长为
(1)小王同学探究此问题的方法如下:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是
$EF=BE+DF$
;【探索延伸】
(2)如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上两点,且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;
【学以致用】
(3)如图③,四边形ABCD是边长为5的正方形,∠EBF=45°,则△DEF的周长为
$10$
.答案
2.（1）$EF=BE+DF$ 解析：因为$∠B=∠ADC=90°$,所以 $∠ADG=180°-∠ADC=90°$,即 $∠B=∠ADG$. 又 $AB=AD,BE=DG$,所以 $△ABE≌△ADG$(SAS). 所以 $AE=AG,∠BAE=∠DAG$. 又$∠EAF=60°$,$∠BAD=120°$,所以 $∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=60°$. 所以$∠DAG+∠DAF=60°$,即 $∠GAF=60°$. 所以 $∠EAF=∠GAF$. 又 $AF=AF$, 所以 $△EAF≌△GAF$(SAS). 所以 $EF=GF$. 又 $GF=DG+DF$,所以 $EF=BE+DF$.
（2）（1）中的结论仍然成立,即 $EF=BE+DF$. 理由如下:延长 FD 到点 H,使 $DH=BE$,连接 AH. 所以 $HF=DH+DF=BE+DF$,$∠ADC+∠ADH=180°$. 因为 $∠B+∠ADC=180°$,所以 $∠B=∠ADH$. 又 $AB=AD$, 所以 $△ABE≌△ADH$(SAS). 所以 $AE=AH,∠BAE=∠DAH$. 因为$∠EAF=\frac{1}{2}∠BAD$,所以 $∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=\frac{1}{2}∠BAD$. 所以 $∠DAH+∠DAF=\frac{1}{2}∠BAD$,即 $∠HAF=\frac{1}{2}∠BAD$. 所以$∠EAF=∠HAF$. 又 $AF=AF$,所以$△EAF≌△HAF$(SAS). 所以 $EF=HF$,即 $EF=BE+DF$.
（3）10 解析:延长 DC 到点 M,使 $CM=AE$,连接 BM. 因为四边形 ABCD 是边长为 5 的正方形,所以$∠A=∠ABC=∠BCD=90°$,$AB=BC=AD=CD=5$. 所以 $∠BCM=180°-∠BCD=90°$,即 $∠A=∠BCM$. 所以$△AEB≌△CMB$(SAS). 所以 $BE=BM$,$∠ABE=∠CBM$. 因为 $∠EBF=45°$,所以 $∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠EBF=45°$. 所以 $∠CBF+∠CBM=45°$,即 $∠MBF=45°$. 所以 $∠MBF=∠EBF$. 又 $BF=BF$,所以 $△EBF≌△MBF$(SAS). 所以 $EF=MF$. 所以$△DEF$ 的周长为 $EF+ED+DF=MF+DE+DF=CM+CF+DE+DF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=5+5=10$.
（2）（1）中的结论仍然成立,即 $EF=BE+DF$. 理由如下:延长 FD 到点 H,使 $DH=BE$,连接 AH. 所以 $HF=DH+DF=BE+DF$,$∠ADC+∠ADH=180°$. 因为 $∠B+∠ADC=180°$,所以 $∠B=∠ADH$. 又 $AB=AD$, 所以 $△ABE≌△ADH$(SAS). 所以 $AE=AH,∠BAE=∠DAH$. 因为$∠EAF=\frac{1}{2}∠BAD$,所以 $∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=\frac{1}{2}∠BAD$. 所以 $∠DAH+∠DAF=\frac{1}{2}∠BAD$,即 $∠HAF=\frac{1}{2}∠BAD$. 所以$∠EAF=∠HAF$. 又 $AF=AF$,所以$△EAF≌△HAF$(SAS). 所以 $EF=HF$,即 $EF=BE+DF$.
（3）10 解析:延长 DC 到点 M,使 $CM=AE$,连接 BM. 因为四边形 ABCD 是边长为 5 的正方形,所以$∠A=∠ABC=∠BCD=90°$,$AB=BC=AD=CD=5$. 所以 $∠BCM=180°-∠BCD=90°$,即 $∠A=∠BCM$. 所以$△AEB≌△CMB$(SAS). 所以 $BE=BM$,$∠ABE=∠CBM$. 因为 $∠EBF=45°$,所以 $∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠EBF=45°$. 所以 $∠CBF+∠CBM=45°$,即 $∠MBF=45°$. 所以 $∠MBF=∠EBF$. 又 $BF=BF$,所以 $△EBF≌△MBF$(SAS). 所以 $EF=MF$. 所以$△DEF$ 的周长为 $EF+ED+DF=MF+DE+DF=CM+CF+DE+DF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=5+5=10$.
